2024-2025学年新教材高中数学第8章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直课时分层作业含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时分层作业(三十)直线与直线垂直(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3A[①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．]2．如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为(A．30° B．45°C．60° D．90°C[连接BC1、A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1故异面直线A1B与AD1所成角为60°.]3．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AEC．AE，B1C1D．AE与B1C1C[由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，面对角线中与AD1A．4条 B．6条C．8条 D．10条C[如图所示在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△AD1B1是等边三角形，故B1D1，AB1与AD1所成的角是60°，同理△ACD1也是等边三角形，AC，CD1与AD1也成60°角，则在面对角线中，与AC，CD1，B1D1，AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角．]5．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是()A．60° B．75°C．90° D．105°C[设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以ACeq\o\al(2,2)＝ABeq\o\al(2,1)＋B1Ceq\o\al(2,2)，则∠AB1C2＝90°.]二、填空题6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN90°[如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a，则A1M＝eq\f(3,2)a，ME＝eq\f(\r(5),4)a，A1E＝eq\f(\r(41),4)a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，则异面直线A1M7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．5[取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.]8.一个正方体纸盒绽开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．①③[把正方体平面绽开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]三、解答题9．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．[解]如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq\f(1,2)CD，GF＝eq\f(1,2)AB．∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.10．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD中点．求证：CD1⊥[解]取CD1的中点G，连接EG，DG，∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC．∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝eq\f(1,2)BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．又∵A1A＝AB∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1.∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.∴CD1⊥EF.11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θA．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°D[如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线冲突，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.]12．(多选题)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小可以是()A．15° B．30°C．60° D．75°

AD[取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB，且EG＝eq\f(1,2)AB，FG∥CD，且FG＝eq\f(1,2)CD，由AB＝CD知EG＝FG.易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.]13.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D160°[连接BC1，AD1，AB1，则EF为△BCC1的中位线，∴EF∥BC1.又∵ABCDC1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1.∴∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角．在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，∴△AB1D1为正三角形，∴∠AD1B1＝60°.∴EF与B1D1所成的角为60°.]14.如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1的长．[解]连接CD1，AC．由题意得四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C∵四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2eq\r(3)，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝eq\f(\r(2),2)AC．∵底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，∴AC＝2eq\r(3)×sin60°×2＝6，AD1＝eq\f(\r(2),2)AC＝3eq\r(2)，∴AA1＝eq\r(AD\o\al(2,1)－A1D\o\al(2,1))＝eq\r(3\r(2)2－2\r(3)2)＝eq\r(6).15.如图，空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD＝BC＝a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于点E，F，G，H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？[解]∵AD与BC成60°角，∴∠HGF＝60°或120°.设AE∶AB＝x，则eq\f(EF,BC)＝eq\f(AE,AB)＝x.又BC＝a，∴EF＝ax.由eq\f(EH,AD)＝eq\f(BE,AB)＝1－x，得EH＝a(1－x)．