2024-2025学年高中数学第2讲讲明不等式的基本方法第4课时反证法作业含解析新人教A版选修4-5

PAGE其次讲第4课时A．基础巩固1．(2024年宁德期中)用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B肯定是锐角”时，应假设()A．∠A不是锐角 B．∠B不是锐角C．∠C不是锐角 D．以上都不对【答案】B【解析】反证法证明先否定结论“∠B肯定是锐角”．2．(2024年天门联考)用反证法证明命题：“已知a，b∈N*，若ab不能被7整除，则a与b都不能被7整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被7整除 B．a，b不都能被7整除C．a，b至少有一个能被7整除 D．a，b至多有一个能被7整除【答案】C【解析】假设“a与b都不能被7整除”不成立，即假设“a，b至少有一个能被7整除”．故选C．3．不等式eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)≤1的充要条件是()A．ab＞0 B．ab＜0C．a2＋b2≠0 D．ab≠0【答案】D【解析】eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)≤1⇔|a＋b|≤|a|＋|b|，且|a|＋|b|≠0，而|a＋b|≤|a|＋|b|恒成立．所以只需|a|＋|b|≠0，即ab≠0.4．假如△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1肯定是锐角三角形，△A2BA．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C【解析】因为三角形内角的正弦均为正值，故△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正，所以△A1B1C1为锐角三角形．由于sinA2＝cosA1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A1))，sinB2＝cosB1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B1))，sinC2＝cosC1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C1))，若△A2B2C2是锐角三角形，则A2＋B2＋C2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C1))＝eq\f(π,2)，与三角形内角和为π弧度冲突；若△A2B2C2是直角三角形，不妨令A2＝eq\f(π,2)，则cosA1＝sinA2＝1，故A1＝0，与△A1B1C1为锐角三角形冲突；故△A2B2C2是钝角三角形．5．(2024年徐州期末)用反证法证明“a，b∈N*，若ab是偶数，则a，b中至少有一个是偶数”时，应假设____________________．【答案】a，b都不是偶数【解析】“a，b中至少有一个是偶数”的否定是“a，b都不是偶数”.6．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，则a，b，c，d中____________有一个负数．(填“至少”“至多”或“有且只有”)【答案】至少【解析】假设a，b，c，d都是非负数，则a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，即ac＋bd≤1×1＝1，这与ac＋bd＞1冲突．所以假设不成立．代入a＝2，b＝－1，c＝2，d＝－1，满意上述条件，故解除“有且只有”．7．设a＞0，b＞0且a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不行能同时成立．【证明】(1)a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)，∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，∴ab＝1.又a＋b≥2eq\r(ab)＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．故不等式得证．(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2可能同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1，则由b2＋b＜2及a＞0，得0＜b＜1，此时0＜ab＜1与ab＝1相冲突．故假设不成立．所以a2＋a＜2与b2＋b＜2不行能同时成立．B．实力提升8.(2024年绍兴模拟)已知等差数列{an}中，首项a1>0，公差d>0.(1)若a1＝1，d＝2，且eq\f(1,a\o\al(2,1))，eq\f(1,a\o\al(2,4))，eq\f(1,a\o\al(2,m))成等比数列，求整数m的值；(2)求证：对随意正整数n，eq\f(1,a\o\al(2,n))，eq\f(1,a\o\al(2,n＋1))，eq\f(1,a\o\al(2,n＋2))都不成等差数列.【解析】(1)∵a1＝1，d＝2，∴a4＝7，am＝2m－1.∵eq\f(1,a\o\al(2,1))，eq\f(1,a\o\al(2,4))，eq\f(1,a\o\al(2,m))成等比数列，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,72)))2＝eq\f(1,(2m－1)2).∴(2m－1)2＝492.∵a1>0，d>0，∴m＝25.(2)证明：假设存在k∈N*，使eq\f(1,a\o\al(2,k))，eq\f(1,a\o\al(2,k＋1))，eq\f(1,a\o\al(2,k＋2))成等差数列，即eq\f(2,a\o\al(2,k＋1))＝eq\f(1,a\o\al(2,k))＋eq\f(1,a\o\al(2,k＋2))，则eq\f(2,a\o\al(2,k＋1))＝eq\f(1,(ak＋1－d)2)＋eq\f(1,(ak＋1＋d)2)＝eq\f(2a\o\al(2,k＋1)＋2d2,(a\o\al(