2024-2025学年新教材高中数学第六章概率2离散型随机变量及其分布列学案北师大版选择性必修第一册

PAGE§2离散型随机变量及其分布列必备学问·自主学习导思1．什么叫随机变量？2．如何求离散型随机变量的分布列？1.随机变量(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的改变而改变．像这种取值随着试验结果的改变而改变的量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．2．离散型随机变量(1)定义：取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量．(2)特征：①可用数值表示．②试验之前可以推断其出现的全部值．③在试验之前不能确定取何值．④试验结果能一一列出．离散型随机变量的取值必需是有限个吗？提示：离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1，2，…，n；也可以是无限个，如取值为1，2，…，n，….3．离散型随机变量的分布列(1)定义：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…).以表格的形式表示如下：xix1x2…xn…P(X＝xi)p1p2…pn…这个表格称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列．(2)性质①pi＞0，i＝1，2，…，n，…；②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1．求离散型随机变量的分布列应按几步进行？提示：求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)找出随机变量全部可能的取值xi(i＝1，2，3，…，n，…)；(2)求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…，n，…)；(3)列成表格形式．4．两点分布假如随机变量X的分布列如表：X10Ppq其中0<p<1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X听从参数为p的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布).1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(2)在抛掷一枚质地匀称的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．()(3)离散型随机变量的取值是随意的实数．()(4)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布探讨．()提示：(1)√.因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)√.因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面对上或反面对上，以一个标准如正面对上的次数来描述这一随机试验，那么正面对上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1.(3)×.由离散型随机变量的定义可知它的取值能够一一列出，因此离散型随机变量的取值是随意的实数的说法错误．(4)√.依据两点分布的概念知，该说法正确．2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次随意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所须要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1，2，3，…，6B．1，2，3，…，7C．0，1，2，…，5D．1，2，…，5【解析】选B.由于取到白球嬉戏结束，由题意可知X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7.3．若离散型随机变量X的分布列为X01P2a3a则a＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)【解析】选A.由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，所以a＝eq\f(1,5).4．(教材二次开发：例题改编)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq\f(i,a)(i＝1，2，3，4)，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(7,2)))＝__________．【解析】P(X＝i)＝eq\f(i,a)(i＝1，2，3，4)，得a＝10，所以，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(7,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)关键实力·合作学习类型一随机变量的可能取值及试验结果(逻辑推理)【典例】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.【思路导引】eq\x(分析题意)→eq\x(写出X可能取的值)→eq\x(分别写出取值所表示的结果)【解析】(1)X可取0，1，2，3.X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．(2)X可取3，4，5.X＝3表示取出的球编号为1，2，3.X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4.X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5.在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？【解析】ξ可取10，7，4，1.ξ＝10表示取5个球全是红球；ξ＝7表示取1个白球，4个红球；ξ＝4表示取2个白球，3个红球；ξ＝1表示取3个白球，2个红球．用随机变量表示随机试验的结果的关键点和留意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的全部可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．(2)留意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．【补偿训练】写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)在北京高校的自主招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示.【解析】(1)X可能取值为0，1，2，3，4，5，X=i表示面试通过的有i人，其中i=0，1，2，3，4，5.(2)ξ可能取值为0，1，当ξ=0时，表明该射手在本次类型二分布列的性质及应用(数学运算)【典例】设随机变量X的分布列Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1，2，3，4，5).(1)求常数a的值；(2)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5))).【解析】分布列可改写为：Xeq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(3,5)eq\f(4,5)eq\f(5,5)Pa2a3a4a5a(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝eq\f(1,15).(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(4,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(5,5)))＝eq\f(3,15)＋eq\f(4,15)＋eq\f(5,15)＝eq\f(4,5)，或Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))＝1－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≤\f(2,5)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)＋\f(2,15)))＝eq\f(4,5).利用离散型分布列的性质解题时要留意以下两个问题(1)X＝Xi的各个取值表示的事务是互斥的．(2)不仅要留意p1＋p2＋…＋pn＋…＝1而且要留意pi＞0，i＝1，2，…，n，….若离散型随机变量X的分布列为：X01P4a－13a2＋a求常数a及相应的分布列．【解析】由分布列的性质可知：3a2＋a＋4a－1＝1，即3a2＋5a－2＝0，解得a＝eq\f(1,3)或a＝－2，又因为4a－1>0，即a>eq\f(1,4)，故a≠－2.所以a＝eq\f(1,3)，此时4a－1＝eq\f(1,3)，3a2＋a＝eq\f(2,3).所以随机变量X的分布列为：X01Peq\f(1,3)eq\f(2,3)【学问拓展】求离散型随机变量y=f(ξ)的分布列(1)若ξ是一个随机变量，a，b是常数，则η=aξ+b也是一个随机变量，推广到一般状况有：若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则η=f(ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η=f(ξ)也为离散型随机变量.(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η=f(ξ)的分布列的关键是弄清晰ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事务的概率相加，列出概率分布列即可.【补偿训练】已知随机变量ξ的分布列为ξ-2-10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,12)分别求出随机变量η1=QUOTEξ，η2=ξ2的分布列.【解析】由η1=QUOTEξ知，对于ξ取不同的值-2，-1，0，1，2，3时，η1的值分别为-1，-QUOTE，0，QUOTE，1，QUOTE，所以η1的分布列为η1-1-QUOTE01Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,12)由η2=ξ2知，对于ξ的不同取值-2，2及-1，1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率eq\f(1,12)与eq\f(1,6)的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率eq\f(1,4)与eq\f(1,12)的和，所以η2的分布列为η20149Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)【拓展训练】设离散型随机变量X的分布列为：X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．【解析】由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.首先列表为X012342X＋113579|X－1|10123从而由表得两个分布列为(1)2X＋1的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列：|X－1|0123P0.10.30.30.3类型三利用排列组合求分布列(逻辑推理、数学运算)【典例】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为eq\f(1,7)，现有甲、乙两人从袋中轮番摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所须要的取球次数．(1)求袋中全部的白球的个数．(2)求随机变量ξ的分布列．(3)求甲取到白球的概率．【思路导引】可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．【解析】(1)设袋中原有n个白球，由题意知eq\f(1,7)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(\f(n（n－1）,2),\f(7×6,2))＝eq\f(n（n－1）,7×6).可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．(2)由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5.P(ξ＝1)＝eq\f(3,7)；P(ξ＝2)＝eq\f(4×3,7×6)＝eq\f(2,7)；P(ξ＝3)＝eq\f(4×3×3,7×6×5)＝eq\f(6,35)；P(ξ＝4)＝eq\f(4×3×2×3,7×6×5×4)＝eq\f(3,35)；P(ξ＝5)＝eq\f(4×3×2×1×3,7×6×5×4×3)＝eq\f(1,35).所以ξ的分布列为：ξ12345Peq\f(3,7)eq\f(2,7)eq\f(6,35)eq\f(3,35)eq\f(1,35)(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事务A，则P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝eq\f(22,35).求离散型随机变量分布列时应留意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事务，进一步利用排列、组合学问求出ξ取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以削减运算量，还可以验证分布列是否正确．【补偿训练】口袋中有6个同样大小的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列.【解析】随机变量X的可能取值为3，4，5，6.从袋中随机取3个球，包含的基本领件总数为，事务“X=3”包含的基本领件总数为QUOTE，事务“X=4”包含的基本领件总数为QUOTE，事务“X=5”包含的基本领件总数为QUOTE，事务“X=6”包含的基本领件总数为QUOTE.从而有P(X=3)=QUOTE，P(X=4)=QUOTE，P(X=5)=QUOTE，P(X=6)=，所以随机变量X的分布列为X3456P备选类型离散型随机变量的判定(逻辑推理)【典例】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某教学资源网站一天内的点击量．(2)你明天上学进入校门的时间．(3)某市明年下雨的次数．(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差．【思路导引】依据随机变量的实际背景，推断随机变量的取值是否可以一一列出，从而推断是否为离散型随机变量．【解析】(1)某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量．(2)你明天上学进入校门的时间，可以是某区间内随意实数，不能一一列出，不是离散型随机变量．(3)某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量．(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．离散型随机变量判定的关键及方法(1)关键：推断随机变量X的全部取值是否可以一一列出．(2)详细方法：①明确随机试验的全部可能结果；②将随机试验的试验结果数量化；③确定试验结果所对应的实数是否可按肯定次序一一列出，假如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．给出下列四种变量(1)某电话亭内的一部电话1小时内运用的次数记为X.(2)某人射击2次，击中目标的环数之和记为X.(3)测量一批电阻，在950Ω和1200Ω之间的阻值记为X.(4)一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中离散型随机变量的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】选B.(1)某电话亭内的一部电话1小时内运用的次数记为X，X是离散型随机变量；(2)某人射击2次，击中目标的环数之和记为X，X是离散型随机变量；(3)测量一批电阻，阻值在950Ω～1200Ω之间，是连续型随机变量；(4)一个在数轴上运动的质点，它在数轴上的位置记为X，X不是随机变量．故离散型随机变量个数是2个．课堂检测·素养达标1．随机变量X是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y是某城市1天之内的温度，随机变量ξ是某火车站1小时内的旅客流淌人数．这三个随机变量中不是离散型随机变量的是()A．X和ξB．只有YC．Y和ξD．只有ξ【解析】选B.某城市1天之内的温度不能一一列举，故Y不是离散型随机变量．2．设某项试验的胜利率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验的胜利次数，则P(X＝0)等于()A．0B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)【解析】选B.设P(X＝1)＝p，则P(X＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝eq\f(2,3).故P(X＝0)＝1－p＝eq\f(1,3).3．(2024·福州高二检测)设离散型随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,2)1－2qq2则q＝()A．eq\f(1,2)B．1－eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\f(\r(2),2)D．1±eq\f(\r(2),2)【解析】选B.由题意得eq\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，1－2q∈(0，1)，q2∈(0，1)⇒q＝1－eq\f(\r(2),2).4．(2024·南昌高二检测)一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5，在袋