2025届高考数学统考二轮复习增分强化练二十九椭圆双曲线抛物线理含解析

PAGE增分强化练(二十九)考点一圆锥曲线的定义及标准方程1．(2024·榆林模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大eq\f(1,2)，则抛物线的标准方程为()A．y2＝x B．y2＝2xC．y2＝4x D．y2＝8x解析：由抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大eq\f(1,2)，依据抛物线的定义可得eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)，∴p＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝2x.故选B.答案：B2．(2024·株洲模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线l的倾斜角为eq\f(π,3)，且C的一个焦点到l的距离为eq\r(3)，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1解析：由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0可得y＝±eq\f(b,a)x，即渐近线的方程为y＝±eq\f(b,a)x，又一条渐近线l的倾斜角为eq\f(π,3)，所以eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).因为双曲线C的一个焦点(c,0)到l的距离为eq\r(3)，所以eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b＝eq\r(3)，所以a＝1，所以双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.故选D.答案：D3．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为()A.eq\f(4x2,25)＋eq\f(y2,6)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1解析：依题意椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，椭圆C的长轴长与焦距之和为6,2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1，则b＝eq\r(3)，所以椭圆C的标准方程为：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故选D.答案：D4．设F1，F2是椭圆E：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左右焦点，P是椭圆E上的点，则|PF1|·|PF2|的最小值是________．解析：由椭圆方程可知a＝5，c＝3，依据椭圆的定义，有|PF2|＝2a－|PF1|＝10－|PF1|，故|PF1|·|PF2|＝|PF1|·(10－|PF1|)，由于|PF1|∈[a－c，a＋c]＝[2,8]留意到二次函数y＝x(10－x)的对称轴为x＝5，故当x＝2，x＝8时，都是函数的最小值，即最小值为2×8＝16.答案：16考点二圆锥曲线的性质1．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为eq\f(1,2) B．焦距为eq\f(\r(3),4)C．短轴长为eq\f(1,4) D．离心率为eq\f(\r(3),2)解析：由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得eq\f(x2,\f(1,16))＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，所以a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(\r(3),4)，长轴为2a＝1，焦距2c＝eq\f(\r(3),2)，短轴2b＝eq\f(1,2)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).故选D.答案：D2．(2024·九江模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b>0)的右顶点A和右焦点F到一条渐近线的距离之比为1∶eq\r(2)，则C的渐近线方程为()A．y＝±x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±2x D．y＝±eq\r(3)x解析：由双曲线方程可得渐近线为：y＝±eq\f(b,a)x，A(a,0)，F(c,0)，则点A到渐近线距离d1＝eq\f(|ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(ab,c)，点F到渐近线距离d2＝eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc,c)＝b，∴d1∶d2＝eq\f(ab,c)∶b＝a∶c＝1∶eq\r(2)，即c＝eq\r(2)a，则eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\f(a,a)＝1，∴双曲线渐近线方程为y＝±x.故选A.答案：A3．已知双曲线C：x2－y2＝1，则点(4,0)到C的渐近线的距离为________．解析：双曲线C：x2－y2＝1(a＞b＞0)的渐近线方程y＝±x，点(4,0)到C的渐近线的距离为eq\f(|±4|,\r(2))＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)4．(2024·株洲模拟)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点，B是短轴的一个端点，线段BF2的延长线交椭圆C于点D，若△F1BD为等腰三角形，则椭圆C的离心率为________．解析：如图，不妨设点B是椭圆短轴的上端点，则点D在第四象限内，设点D(x，y)．由题意得△F1BD为等腰三角形，且|DF1|＝|DB|.由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝eq\f(a,2).作DE⊥x轴于E，则有|DE|＝|DF2|sin∠DF2E＝|DF2|sin∠BF2O＝eq\f(a,2)×eq\f(b,a)＝eq\f(b,2)，|F2E|＝|DF2|cos∠DF2E＝|DF2|cos∠BF2O＝eq\f(a,2)×eq\f(c,a)＝eq\f(c,2)，∴|OE|＝|OF2|＋|F2E|＝c＋eq\f(c,2)＝eq\f(3c,2)，∴点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2)，－\f(b,2))).又点D在椭圆上，∴eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2)))2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))2,b2)＝1，整理得3c2＝a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)考点三直线与圆锥曲线的相关问题1．(2024·内江模拟)设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，上下顶点分别为A、B，直线AF2与该椭圆交于A、M两点．若∠F1AF2＝120°，则直线BM的斜率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)解析：由题意，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且满意∠F1AF2＝120°，如图所示，则在△AF2O中，|OA|＝b，|AF2|＝a，且∠OAF2＝60°，所以a＝2b，不妨设b＝1，则a＝2，所以c＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)，则椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，又由A(0,1)，F2(eq\r(3)，0)，所以kAF2＝－eq\f(\r(3),3)，所以直线AF2的方程为y＝－eq\f(\r(3),3)x＋1，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(\r(3),3)x＋1,\f(x2,4)＋y2＝1))，整理得7x2－8eq\r(3)x＝0，解得x＝0或x＝eq\f(8\r(3),7)，把x＝eq\f(8\r(3),7)代入直线y＝－eq\f(\r(3),3)x＋1，解得y＝－eq\f(1,7)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),7)，－\f(1,7)))，又由点B(0，－1)，所以BM的斜率为kBM＝eq\f(－\f(1,7)－－1,\f(8\r(3),7)－0)＝eq\f(\r(3),4)，故选B.答案：B2．已知直线l：y＝2x＋b被抛物线C：y2＝2px(p>0)截得的弦长为5，直线l经过C的焦点，M为C上的一个动点，设点N的坐标为(3,0)，则MN的最小值为________．解析：(1)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋b,y2＝2px))⇒4x2＋(4b－2p)x＋b2＝0,则52＝(1＋22)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b－p,2)))2－4×\f(b,4)2))，又直线l经过C的焦点，则－eq\f(b,2)＝eq\f(p,2)，∴b＝－p，由此解得p＝2,抛物线方程为y2＝4x，M(x0，y0)，∴yeq\o\al(2,0)＝4x0，则|MN|2＝(x0－3)2＋yeq\o\al(2,0)＝(x0－3)2＋4x0＝(x0－1)2＋8,故当x0＝1时，|MN|min＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)3．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆上．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点G(0,1)作直线l与曲线交于A，B两点，求△ABO面积的最大值．解析：(1)由题意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝3a－c,a2＝b2＋c2,\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1))，解得a＝2，b＝eq\r(3)，∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)易知直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))，消去y得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，则x1＋x2＝eq\f(－8k,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(－8,3＋4k2)，∴|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(4\r(6)·\r(1＋2k2),3＋4k2)d＝eq\f(1,\r(k2＋1))，∴S△ABO