2024-2025学年高中数学第2章数列2.5第1课时等比数列的前n项和学案含解析新人教A版必修5

PAGE10-2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学习目标核心素养1.驾驭等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2.会用错位相减法求数列的和．(重点)3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简洁的实际问题．1.通过等比数列前n项和的实际应用，培育数学建模素养．2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培育数学运算素养．1．等比数列前n项和公式思索：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?[提示]可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．2．错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①用公比q乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)(q≠1).(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.思索：等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？[提示]依据等比数列的定义，有：eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝eq\f(a4,a3)＝…＝eq\f(an,an－1)＝q，再由合比定理，则得eq\f(a2＋a3＋a4＋…＋an,a1＋a2＋a3＋…＋an－1)＝q，即eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q，进而可求Sn.1．等比数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn为()A．eq\f(1－xn,1－x) B．eq\f(1－xn－1,1－x)C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn,1－x)（x≠1），,n（x＝1）)) D．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn－1,1－x)（x≠1），,n（x＝1）))C[当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n.当x≠1时，q＝x，Sn＝eq\f(a1（1－xn）,1－x)＝eq\f(1－xn,1－x).]2．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则S5＝．31[S5＝eq\f(a1（1－q5）,1－q)＝eq\f(1－25,1－2)＝31.]3．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为．4[由S5＝eq\f(a1[1－（－2）5],1－（－2）)＝44，解得a1＝4.]4．某厂去年产值为a，安排在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为．11(1.15－1)a[去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a等比数列基本量的运算【例1】在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＝8，an＝eq\f(1,4)，Sn＝eq\f(63,4)，求n；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.[解](1)由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1（1＋q）＝30，,a1（1＋q＋q2）＝155，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6)．))从而Sn＝eq\f(1,4)×5n＋1－eq\f(5,4)或Sn＝eq\f(1080×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))\s\up12(n))),11).(2)明显q≠1，由Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，即eq\f(8－\f(1,4)q,1－q)＝eq\f(63,4)，∴q＝eq\f(1,2).又an＝a1qn－1，即8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\f(1,4)，∴n＝6.(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＝2，,a1＝64.))又Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝126，所以q为2或eq\f(1,2).1．在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的详细应用．2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行推断，若两种状况都有可能，则要分类探讨．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．在等比数列{an}中．(1)若a1＝eq\r(2)，an＝16eq\r(2)，Sn＝11eq\r(2)，求n和q；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.[解](1)由Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)得11eq\r(2)＝eq\f(\r(2)－16\r(2)q,1－q)，∴q＝－2，又由an＝a1qn－1得16eq\r(2)＝eq\r(2)(－2)n－1，∴n＝5.(2)若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，∴q≠1，∴S4＝eq\f(a1（1－q4）,1－q)＝1，S8＝eq\f(a1（1－q8）,1－q)＝17，两式相除得eq\f(1－q8,1－q4)＝17＝1＋q4，∴q＝2或q＝－2，∴a1＝eq\f(1,15)或a1＝－eq\f(1,5)，∴an＝eq\f(1,15)·2n－1或－eq\f(1,5)·(－2)n－1.等比数列前n项和公式的实际应用【例2】借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后其次个月起先等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)思路探究：解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．[解]法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10000，a1＝1.01a0－aa2＝1.01a1－a＝1.012a0…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]aa＝eq\f(1.016×102,1.016－1).∵1.016≈1.061，∴a＝eq\f(1.061×102,1.061－1)≈1739.故每月应支付1739元．法二：一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元).另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝eq\f(a[（1＋0.01）6－1],1.01－1)＝a[1.016－1]×102(元).由S1＝S2，得a＝eq\f(1.016×102,1.016－1).以下解法同法一，得a≈1739，故每月应支付1739元．解数列应用题的详细方法步骤(1)仔细审题，精确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特殊要留意精确弄清项数是多少．②弄清题目中主要的已知事项．(2)抓住数量关系，联想数学学问和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满意题意的数学关系式．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上上升度的80%.这个热气球上升的高度能超过125[解]用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝eq\f(4,5)an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝eq\f(4,5)的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(25×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(n))),1－\f(4,5))＝125×[1－(eq\f(4,5))n]<125.故这个热气球上升的高度不行能超过125m错位相减法求和[探究问题]1．对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?[提示]比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝eq\f(1－264,1－2)＝264－1.2．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？[提示]由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.3．在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？仔细视察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？[提示]在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①两边同乘以{2n}的公比可变形为2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．【例3】已知等比数列{an}满意：a1＝eq\f(1,2)，a1，a2，a3－eq\f(1,8)成等差数列，公比q∈(0，1)，(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.思路探究：(1)依据a1，a2，a3－eq\f(1,8)成等差数列求得公比q，写出通项公式；(2)由bn＝nan可知利用错位相减法求和．[解](1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝eq\f(1,2)，因为a1，a2，a3－eq\f(1,8)成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－eq\f(1,8)，即得4q2－8q＋3＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝eq\f(3,2)，又因为q∈(0，1)，所以q＝eq\f(1,2)，所以an＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\f(1,2n).(2)依据题意得bn＝nan＝eq\f(n,2n)，Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n,2n)，①eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋eq\f(3,24)＋…＋eq\f(n,2n＋1)，②作差得eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)，Sn＝2－(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).本题中设cn＝eq\f(n,an)，求数列{cn}的前n项和Sn′.[解]由题意知cn＝n·2n，所以Sn′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n，2Sn′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1，两式相减得：－Sn′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1＝eq\f(2（1－2n）,1－2)－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Sn′＝(n－1)·2n＋1＋2.错位相减法的适用题目及留意事项(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．(2)留意事项：①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应留意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．②利用此法时要留意探讨公比q是否等于1的状况．1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，留意前n项和公式要分类探讨，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不行忽视q＝1的状况．3．一般地，假如数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采纳错位相减法求和．1．推断正误(1)求等比数列{an}的前n项和时可干脆套用公式Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)来求． ()(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na. ()(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列肯定是等比数列． ()[答案](1)×(2)√(3)√[提示](1)错误．在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q≠1，可干脆套用，否则应探讨求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.(3)正确．依据等比数列前n项和公式Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)(q≠0且q≠1)变形为Sn＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)qn(q≠0且q≠1)，若令a＝eq\f(a1,1－q)，则和式可变形为Sn＝a－aqn.2．在等比数列{an}中，a3＝eq\f(3,2)，其前三项的和S3＝eq\f(9,2)，则数列{an}的公比q＝()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)或1D．eq\f(1,2)或1C[由题意，可得a1q2＝eq\f(3,2)，a1＋a1q＋a1q2＝eq\f(9,2)，两式相除，得eq\f(1＋q＋q2,q2)＝3，解得q＝－eq\f(1,2)或1.]3．在公比为整数的等比数列{an}中，假如a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝．510[a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，两式联立解得q