85空间直线平面的平行(典例精讲)-2021-2022学年高一下学期数学精讲检测(人教A版2019)(原卷版)

8.5空间直线、平面的平行典例精讲典例精讲本节课知识点目录：基本事实4的应用等角定理的应用直线平行有关的计算直线与平面平行的判定定理的应用直线与平面平行性质定理的应用线面平行有关计算。平面与平面平行的判定定理平面与平面平行性质定理的应用面面平行的计算平行关系求最值与范围联考与联赛题选一、基本事实4的应用文字语言平行于同一条直线的两条直线平行图形语言符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c作用证明两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性【典型例题】【例1】如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是A． B． C． D．【例2】如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（）A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．l与BD平行【例3】在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例4】在空间四边形ABCD中，AC=BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接各边中点E，F，G，H，所得四边形EFGH的形状是（

）A．梯形 B．矩形C．正方形 D．菱形【例5】在正方体中，，分别是平面，平面的中心，，分别是线段，的中点，则直线与直线的位置关系是A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直【例6】如图,在四面体中,分别是的中点,则下列说法中不正确的是A．四点共面 B．C． D．四边形为梯形【例7】如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).8.5空间直线、平面的平行（精练）20212022学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）【例8】已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．【对点实战】1.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定2.如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是边AC，CD，BD，AB的中点，且AD=BC，那么四边形EFGH是（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形3.如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（

）A．3条 B．4条C．5条 D．6条4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是_____.

5.已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若，证明:四边形EFGH为梯形.6.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且，.（1）证明：E，F，G，H四点共面.（2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？二、等角定理的应用文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补【典型例题】【例1】已知，则等于A． B．或 C． D．以上答案都不对【例2】不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形（

）A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似【例3】若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行【例4】已知,,则与的位置关系是A．相交 B．异面 C．平行 D．以上均有可能【例5】若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（

）A．且方向相同 B．，方向可能不同C．OB与不平行 D．OB与不一定平行【例6】空间中有两个角、，且角、的两边分别平行.若，则________.【例7】如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.【对点实战】1.设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.2.长方体中，分别为棱的中点.（1）求证：；（2）求证：.3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1．4.在长方体中，求证：（1）；（2）.三、线线平行有关的计算利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即可求线段长度．【典型例题】【例1】已知在三棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【例2】已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（

）A．5 B．10C．12 D．不能确定【例3】如图，空间四边形中，分别是△和△的重心，若，则___.

【例4】如图，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且.（1）求证:A'B'∥AB，A'C'∥AC，B'C'∥BC;（2）求的值.【例5】在长方体中，底面是边长为的正方形，高为，分别是边与的中点.（1）求证：四边形是等腰梯形；（2）求梯形的面积.四、直线与平面平行的判定定理的应用文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α图形语言【典型例题】【例1】过平面外的直线l作一组平面与相交，若所得交线分别为a，b，c…，则这些交线的位置关系为（

）A．相交于同一点 B．相交但交于不同的点C．平行 D．平行或相交于同一点【例2】下列命题中正确的个数是（

）①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α；②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行；③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α；④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A．0 B．1 C．2 D．3【例3】若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是（

）A．内的所有直线均与直线a异面 B．直线a与平面有公共点C．内不存在与a平行的直线 D．内的直线均与a相交【例4】．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（）A．BD平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形【例5】在三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE︰EB＝CF︰FB＝2︰5，则直线AC与平面DEF的位置关系是()A．平行 B．相交C．直线AC在平面DEF内 D．不能确定【例6】如图，下列正三棱柱中，若、、分别为其所在棱的中点，则不能得出平面的是A． B．C． D．【例7】下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【对点实战】1.下列说法正确的是A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于α内的无数条直线2.在五棱台ABCDE­A1B1C1D1E1中，F，G分别是AA1和BB1上的点，且，则FG与平面ABCDE的位置关系是（

）A．平行 B．相交C．FG⊂平面ABCDE D．无法判断3.如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是（

）A． B．C． D．4.如图，正方体中，E为的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（

）A． B． C． D．EO5.如图，在以下四个正方体中，直线与平面平行的是（

）A． B．C． D．6.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设的中点为M，的中点为N，下列结论正确的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面7.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别在线段，，上，，分别是，的中点，，则（

）A．直线与直线平行 B．直线与直线相交C．直线与直线相交 D．直线与平面平行五、直线与平面平行性质定理的应用文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言【典型例题】【例1】若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线（

）A．只有1条 B．只有2条 C．只有4条 D．有无数条【例2】如图．四棱锥的底面为正方形，空间中存在点E，满足，则点E可能位于（

）A．平面与平面的交线上 B．平面与平面的交线上C．直线上 D．直线上【例3】一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是（

）A．异面 B．相交 C．不能确定 D．平行【例4】如图，在四面体中，分别为的中点，分别在上，且.给出下列四个命题：①平面；②平面；③平面；④直线交于一点.其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例5】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是（

）A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面【例6】．已知空间直线不在平面内，则“”是“直线上有两个点到平面的距离相等”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【例7】若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（

）A．0条 B．1条C．2条 D．4条【对点实战】1.已知α和β是两个不同平面如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是（

）A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面2.已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3.已知直线和平面，下列说法正确的是（

）A．如果，那么平行于经过的任意一个平面．B．如果，那么平行于平面内的任意一条直线．C．若，则．D．若且，则．4.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（

）A． B．C． D．六、线面平行有关的计算【典型例题】【例1】如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱的中点，点G为的交点，若点F在线段上，且满足平面，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．【例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点E在BB1上，动点F在A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则三棱锥O－AEF的体积（

）A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关【例3】如图，直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【例4】如图，几何体是一个三棱台，在、、、、、个顶点中取个点确定平面，平面，且，则所取的这个点可以是A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【例5】如图，为平行四边形所在平面外一点，为上一点，且，为上一点，当平面时，（

）A． B． C． D．【例6】如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，点M在线段PC上，，若平面MQB，则t等于（

）A． B． C． D．【例7】在正方体中，M是的中点，过M在平面内作直线交于N，若平面，则（

）A． B． C． D．【例8】四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在线段PC上，，平面，则实数t的值为（

）A． B． C． D．【对点实战】1.正方体的棱长为1，是的中点，点在上，则等于多少时，平面（

）A．1 B． C． D．2.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（）A．2 B．C． D．13.如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（

）A．1 B． C．3 D．24.如图，已知圆锥的顶点为，是底面圆的直径，点在底面圆上且，点为劣弧的中点，过直线作平面，使得直线平面，设平面与交于点，则的值为（

）A． B． C． D．七、平面与平面平行的判定定理的应用文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α，,a∩b＝A，,a∥β，b∥β))⇒α∥β图形语言【典型例题】【例1】设为两个不同的平面，则的充要条件是（

）A．内有无数条直线与平行B．垂直于同一平面C．平行于同一条直线D．内的任何直线都与平行【例2】设是直线，是平面，则能推出的条件是（

）A．存在一条直线，， B．存在一条直线，，C．存在一个平面，， D．存在一个平面，，【例3】下列命题正确的是（

）A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行【例4】六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有（

）A．1对 B．2对C．3对 D．4对【例5】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（

）A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1【例6】如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（

）A． B．C． D．【对点实战】1.设为两个平面，则下列条件可以推出的是（

）A．平行于同一条直线 B．内有无数条直线与平行C．内有两条相交直线与平行 D．内有三个不共线的点到的距离相等2.已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（

）A．内有无穷多条直线与平行B．直线////C．直线满足//////D．异面直线满足，且////3.在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（

）A．平面与平面 B．平面与平面C．平面与平面 D．平面与平面4.下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等，其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．05.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则“与为异面直线”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件八、平面与平面平行的性质定理的应用文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言【典型例题】【例1】若平面平面，，则与的位置关系是（

）A．与相交 B．与平行C．在内 D．无法判定【例2】已知直线，两个不重合的平面.若//，，则下列四个结论中正确的是（

）①与内的所有直线平行；

②与内的无数条直线平行；③与内任何一条直线都不垂直；

④与没有公共点.A．①② B．②④ C．②③ D．③④【例3】在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（

）A．三角形边界的一部分 B．一个点C．线段的一部分 D．圆的一部分【例4】下列说法正确的个数是（

）①两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；②如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；③平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例.A．1 B．2 C．3 D．0【对点实战】1.设，表示不同的直线，，表示不同的平面，且，．则“”是“且”的（

）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，则过点M的所有直线中（

）A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线3.已知棱长为1的正方体，是的中点，动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（

）A． B． C． D．九、面面平行的计算线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用【典型例题】【例1】如图所示，正方体，E在上，F在上，且，过E作交BD于H，则平面EFH与平面的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上都有可能【例2】如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点，点P在平面内，若直线平面，则与满足题意的P构成的平面截正方体的截面面积为（

）A． B． C． D．【例3】已知正方体的棱长为2，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面且面积为时，线段的长为（

）A． B．1 C． D．【例4】在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（

）A．平面 B．直线C．线段，但只含1个端点 D．圆【例5】棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，且，是边的中点，动点在四棱锥表面上运动，并且总保持平面，则动点的轨迹周长为（

）A． B． C． D．十、平行关系求最值与范围【典型例题】【例1】如图所示，在正方体中，点是平面内一点，且，则的最大值为．A． B． C．2 D．【例2】如图，在三角形中，上有一点满足，将沿折起使得，若平面分别交边，，，于点，，，，且平面，平