第11章简单几何体（基础典型易错新文化压轴）分类分项训练

第11章简单几何体（基础、典型、易错、新文化、压轴）分类专项训练【基础】一、填空题1．（2021·上海市吴淞中学高二阶段练习）若一个球的体积为，则该球的表面积为_________．【答案】【详解】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为.2．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）在长方体中，，，，则=___________【答案】【分析】利用长方体的体对角线公式求解.【详解】因为在长方体中，，，，所以，故答案为：3．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=__．【答案】试题分析：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．考点：异面直线及其所成的角点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题4．（2021·上海市大同中学高二期末）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的高为______．【答案】试题分析：设圆锥母线为，底面圆的半径，圆锥侧面积，所以，又半圆面积，所以，，故，所以答案应填：．考点：1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质．5．（2021·上海交大附中高二期末）已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____．【答案】【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．故答案为2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.6．（2021·上海市宝山中学高二期中）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为.【答案】【分析】根据正方体的性质，结合球的体积公式进行求解即可.【详解】因为正方体体的对角线就是正方体的外接球的直径，所以由外接球的体积公式得：，即，则，故答案为：．【点睛】本题考查了正方体外接球的性质，考查了球的体积公式的应用，考查了空间想象能力和数学运算能力.7．（2016·上海·位育中学高二期中）已知球的半径为25,有两个平行平面截球所得的截面面积分别是49和400,则这两个平行平面间的距离为___________【答案】9或39【分析】先根据两个截面圆的面积分别求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的两种情况，最后对每一种情况分别求出两个平行平面的距离即可.【详解】解：设两个截面圆的半径别为，球心到截面的距离分别为.球的半径为.由，得.由，得.如图①所示.当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差，即.如图②所示.当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和.即.故答案为：9或39.【点睛】本题主要考查两个平行平面间的距离计算问题.此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系以及空间想象能力和计算能力.本题的易错点在于只考虑一种情况，从而漏解.8．（2021·上海·高二专题练习）正三棱锥的三条侧棱两两垂直，它的底面积为，则它的侧面积为________．【答案】【分析】设底面边长为，求出斜高和底面三角形的高，从而得底面积、侧面积，得出结论．【详解】如图，正三棱锥，两两垂直，设为中点，则，，又，所以，，，所以侧＝，故答案为：．【点睛】本题考查棱锥的侧面积，掌握正棱锥的性质是解题关键．9．（2020·上海·曹杨二中高二期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为______________公里.【答案】18【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果.【详解】如图，展开圆锥的侧面，过点作的垂线，垂足为，记点为上任意一点，联结，，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的，，上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的，由，得.故答案为：18【点睛】本题考查圆锥侧面展开图、解三角形，考查等价转化思想方法以及基本分析求解能力，属基础题.10．（2021·上海·位育中学高二期中）在平面上，将曲线与轴围成的封闭图形记为，记绕轴旋转一周而成的几何体为，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出的体积值为________．【答案】【分析】由曲线与轴围成的封闭图形为半椭圆，绕轴旋转一周而成的几何体为，根据对称性构造圆柱和倒立的圆锥，利用祖暅原理，即可求解.【详解】根据题意知，曲线与轴围成的封闭图形为半椭圆，如图所示，该平面图形绕轴旋转一周而成的几何体为，构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理，可知的体积为.故答案为：.11．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）①直四棱柱一定是长方体；②正方体一定是正四棱柱；③底面是正多边形的棱柱是正棱柱；④有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；⑤平行六面体的六个面均为平行四边形；⑥直棱柱的侧棱长与高相等．以上说法中正确的命题有_________．【答案】②④⑤⑥【分析】根据直棱柱、正四棱柱、平行六面体的概念和结构特征依次判断选项即可.【详解】①侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是长方形的直四棱柱才是长方体.底面如果不是长方形，则该直四棱柱不是长方体，故①错误；②上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故②正确；③底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形且侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故③错误；④有两个相邻的侧面是矩形，说明侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，所以，有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故④正确；⑤底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，而棱柱的各个侧面都是平行四边形，故⑤正确；⑥直棱柱的侧棱垂直于底面，因此侧棱长与高相等，故⑥正确.故答案为：②④⑤⑥12．（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）暂堵､阳马､鳖膈出自中国古代名著《九章算术.商功》，其中阳马.鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼，取一长方体，如图长方体，沿平面斜切，一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为暂堵.再沿平面切开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥以矩形为底，棱与底面垂直，称为阳马，余下的三棱锥是四个面都是直角三角形的四面体，称为整膈.已知长方体中，，，，按以上操.作得到阳马，则该阳马的最长棱长为___________.【答案】【分析】根据题设所描述阳马的特征，应用勾股定理求各棱长，即可知最长棱长.【详解】由题设结合题图，由阳马的结构特征可知：各棱长为，∴最长棱长为.故答案为：.13．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆锥的表面积为，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的底面半径为______.【答案】2【分析】根据圆锥展开图的特征列出关于半径，母线长的方程组，解出即可.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意，有①，由于侧面展开扇形的圆心角大小为，所以，即②，由①②得，，即圆锥的底面半径为2，故答案为：2.【典型】一、单选题1．（2021·上海·高二专题练习）如图，N，S是球O直径的两个端点，圆是经过N和S点的大圆，圆和圆分别是所在平面与垂直的大圆和小圆，圆，交于点A，B，圆，交于点C，D．设a，b，c分别表示圆上劣弧的弧长，圆上半圆弧的弧长，圆上半圆弧的弧长，则a，b，c的大小为A． B． C． D．【答案】D【分析】设球的半径为，求出，可得再根据球面距离的定义可得，得出结论.【详解】设球的半径为，则，则是圆上劣弧的弧长，而圆是大圆，是在球面上距离，是圆上半圆弧的弧长，由球面距离的定义可知，所以.故选:D【点睛】本题以球为背景，考查比较弧长大小，以及球面距离的定义，属于中档题.2．（2021·上海市洋泾中学高二期中）(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛【答案】B试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式二、填空题3．（2019·上海市实验学校高二期末）若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍；【答案】3；【分析】分别计算侧面积和底面积后再比较．【详解】由题意，，，∴．故答案为3．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题关键．属于基础题．4．（2021·上海交大附中高二期末）已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____．【答案】【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．故答案为2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.5．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=__．【答案】试题分析：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．考点：异面直线及其所成的角点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题【易错】一．选择题（共1小题）1．（2021秋•奉贤区校级期末）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n＝5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，但显然球的半径不等于棱长，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．二．填空题（共7小题）2．（2021秋•黄浦区校级月考）若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为，则球的体积为．【分析】根据题意求出球的半径，再计算球的体积．【解答】解：如图所示，依题意知，截面圆的半径为r＝AC＝，球心O到截面圆的距离为d＝OC＝，所以球的半径为R＝OA＝＝3，所以球的体积为V＝π×33＝36π．故答案为：36π．【点评】本题考查了球的体积计算问题，也考查了球面被平面所截的截面圆问题，是基础题．3．（2021秋•宝山区校级月考）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1，1，，则此三棱锥的高为．【分析】根据题意，利用等体积法，即可求出三棱锥P﹣ABC高的大小．【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且PA＝PB＝1，PC＝，所以AB＝，AC＝BC＝，所以△ABC的面积为S△ABC＝××＝，设此三棱锥的高为h，则××1××1＝××h，解得h＝．故答案为：．【点评】本题考查了利用等体积法计算三棱锥高的问题，是基础题．4．（2021秋•徐汇区校级期中）已知长方体的表面积是24cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6cm，则它的对角线长是．【分析】设出长方体的长、宽、高，利用已知条件，容易得到解答．【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为：a、b、c，由题意可知：a+b+c＝6…①2（ab+bc+ca）＝24…②①的平方﹣②得a2+b2+c2＝12所以长方体的对角线是：故答案为：【点评】本题考查长方体的有关计算问题，是基础题．5．（2021秋•杨浦区校级期末）如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为．【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【解答】解：由圆锥的侧面积公式S＝LR＝×（2πr）×R＝×2π×1×2＝2π．故答案为：2π【点评】考查圆锥的侧面积公式，属于基础题．6．（2021秋•奉贤区校级期中）两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为．【分析】由题意，设两个球的半径，表示出求的表面积和体积；根据体积比，得到表面积的比．【解答】解：设两个球的半径分别为r，R，由两个球的体积之比为8：27，得到r3：R3＝8：27，所以r：R＝2：3，那么这两个球的表面积的比为r2：R2＝4：9；故答案为：4：9．【点评】本题考查了球的体积和表面积；明确体积、表面积公式是关键．7．（2021秋•黄浦区校级期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为．【分析】根据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出体积．【解答】解：根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为：4，∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，∴d＝8﹣6＝2，∴球的半径为：R＝，R＝5∴球的体积为π×（5）3＝cm3故答案为．【点评】本题考查了球的几何性质，运用求解体积面积，属于中档题．8．（2021秋•徐汇区校级期中）水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部．若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就要精确计算带子的“缠绕角度α”（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则“缠绕角度”α的余弦值为．【分析】本题使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），即斜边长为水管的周长为2π．利用展开图解决．【解答】解：其展开图如图所示．∵水管直径为2，∴水管的周长为2π，∴cos∠α＝故答案为：【点评】本题考查锐角三角函数的概念，转化思想，空间想象能力．三．解答题（共1小题）9．（2021秋•长宁区校级期中）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．（1）求该蒙古包的侧面积；（2）求该蒙古包的体积．【分析】（1）先计算圆锥和圆柱部分的侧面积，再求和即可．（2）先求出圆锥和圆柱部分的体积，再求和．【解答】解：由题意可知BC＝DE＝3米，AE＝2米，BE＝3米，所以（米）．（1）圆锥部分的侧面积为（平方米）．圆柱部分的侧面积为S2＝2π⋅BC⋅BE＝2π×3×3＝18π（平方米）．所以该蒙古包的侧面积为（平方米）．（2）圆锥部分的体积为（立方米），圆柱部分的体积为（立方米）．所以该蒙古包的体积为V＝V1+V2＝6π+27π＝33π（立方米）．【点评】本题考查了简单组合体的表面积和体积的计算问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题．【新文化】一、填空题1．（2021·上海市七宝中学高二期中）2021年10月，麻省理工大学的数学家团队解决了维空间中的等角线问题等角线是组直线，这组直线中任意两条直线所成的角都相等.三维空间中，最大的等角线组有6条直线，它们是连接正二十面体的12个相对顶点形成的6条直线.已知棱长为1的正二十面体，其外接球半径为，则三维空间最大等角线组中，任意两条直线形成的角的大小为________（精确到）【答案】【分析】根据正二十面体的结构，取等角线组中两条线段，及相应的对棱围成一个矩形，求出这个矩形的对角线的夹角即得．【详解】如图，取根据正二十面体的结构，取等角线组中两条线段，及相应的对棱围成一个矩形，矩形对角线交点为，是正二十面体外接球球心，，棱，，．故答案为：2．（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）暂堵､阳马､鳖膈出自中国古代名著《九章算术.商功》，其中阳马.鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼，取一长方体，如图长方体，沿平面斜切，一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为暂堵.再沿平面切开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥以矩形为底，棱与底面垂直，称为阳马，余下的三棱锥是四个面都是直角三角形的四面体，称为整膈.已知长方体中，，，，按以上操.作得到阳马，则该阳马的最长棱长为___________.【答案】【分析】根据题设所描述阳马的特征，应用勾股定理求各棱长，即可知最长棱长.【详解】由题设结合题图，由阳马的结构特征可知：各棱长为，∴最长棱长为.故答案为：.3．（2021·上海·高二专题练习）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，若球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为_________.【答案】【解析】设球的半径为，高为,则圆柱的底面半径为由球的表面积等于圆柱的侧面积,得,由圆柱和球的体积公式可求出其体积之比.【详解】设球的半径为，高为，则圆柱的底面半径为.由球的表面积等于圆柱的侧面积，有，得.设球的体积为，则，圆柱的体积为,则所以故答案为：【点睛】本题考查球和圆柱的体积和表面积的计算及其应用，考查球和圆柱的性质，属于中档题.二、解答题4．（2021·上海市控江中学高二期中）如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C．(1)求球冠所在球的半径R(结果用h､r表示)；(2)已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面积.【答案】(1)；(2)；【分析】(1)根据给定信息结合球的截面小圆性质，再借助勾股定理列式计算即得.(2)根据给定条件结合(1)的结论求出球半径R即可计算作答.(1)如图，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高，依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B=h，OO1