专题07函数的奇偶性与周期性（原卷版）

2023高考一轮复习讲与练07函数的奇偶性与周期性练高考明方向1、【2022年新高考I卷第12题】2、【2022年新高考I卷8题】3、【2022年新高考I卷8题】4．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是 ()A． B． C． D．5．(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 ()A． B． C． D．6、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减7、【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是A． B．C． D．8．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）9．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)函数在的图像大致为 ()A．B．C． D．10．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________．11．【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．12、【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是▲.13．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 ()A． B．0 C．2 D．5014．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是 ()A． B． C． D．15．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 ()A． B． C． D．讲典例备高考函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性奇函数的定义偶函数的定义函数的对称性奇偶性的判断奇偶性的应用周期性的判断周期性的应用类型一、奇函数、偶函数的判断基础知识：1、奇函数、偶函数的定义奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2、常用结论（1）①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)奇函数的特殊性质①若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0.②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c.基本题型：1．（利用定义判断函数奇偶性）下列函数中，是偶函数，且在上是增函数的是（）A． B． C． D．2．（利用定义、图象判断函数奇偶性）判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，x<0；))3．（利用性质法判断奇偶性）设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数4．（利用定义、性质判断函数奇偶性）(多选)设函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，则下列结论正确的有()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数基本方法：1、函数奇偶性的判定方法定义法图象法性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇类型二、奇函数、偶函数定义的应用1．（利用奇函数定义求值）函数为奇函数，则实数__________．2．（利用偶函数定义求值）若函数f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2＋1,ex＋1)))为偶函数，则a＝________.3、（利用奇偶性求解析式）函数是上的奇函数，当时，，则当时，（）A． B．C． D．4．（利用奇偶性求解析式）已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝()A．4 B．3C．2 D．15.（奇函数与单调性交汇）已知定义在上的函数满足，且在单调递增，对任意的，恒有，则使不等式成立的的取值范围是__________.6．（奇函数与单调性交汇）定义在的函数满足下列两个条件：①任意的都有；②任意的，当，都有，则不等式的解集是（）A． B． C． D．7、（偶函数与单调性交汇）已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（）A． B．C． D．8．（偶函数与单调性交汇）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数.设，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．类型三、函数的周期性基础知识：1、周期函数的定义：周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期2、函数周期性的常用结论（1）若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期（2）函数周期性的判定：①：可得为周期函数，其周期②的周期③的周期④（为常数）的周期⑤（为常数）的周期基本题型：1、（函数周期性的判断）函数f(x)是定义在R上的非常数函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)为偶函数，则f(x)()A．是偶函数，也是周期函数B．是偶函数，但不是周期函数C．是奇函数，也是周期函数D．是奇函数，但不是周期函数2．（函数周期性的判断）(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是()A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x－1)为奇函数D．函数f(x－3)为偶函数3．（利用周期性求值）设是定义在上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间上的图象，则（）A．0 B．1 C． D．24．（利用周期性求值）函数满足，且，则（）A． B． C． D．5．（利用周期性求解析式）设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(4,6]时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2,0)上的表达式为()A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1基本方法：1．函数周期性的判断方法判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．2．利用函数周期性求值的方法技巧根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．类型四、函数的对称性基础知识：1、（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）；（2）关于轴对称（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。（4）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．（5）若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)图象关于直线x＝a对称．（6）若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．2、对称性最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同基本题型：1．（函数对称性的判断）已知函数，则A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称2、（对称性与单调性交汇）已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是A． B．C． D．3、（对称性、周期性与奇偶性交汇）函数f(x)是定义在R上的非常数函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)为偶函数，则f(x)()A．是偶函数，也是周期函数B．是偶函数，但不是周期函数C．是奇函数，也是周期函数D．是奇函数，但不是周期函数4、（对称性、周期性与奇偶性交汇）已知是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称.若当时，，则（）A．0 B．1 C．2 D．45、（对称性、周期性与奇偶性交汇）（多选题）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（）A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数6.（对称性、周期性与奇偶性交汇）已知函数对满足，且，若的图象关于对称，，则=____________．新预测破高考1、（多选题）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（）A． B． C． D．2．已知函数，则不等式的解集为（）A．B． C． D．3、已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（）A．15 B．7 C．3 D．154、已知函数f(x)(x∈R)满足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝e－x.设a＝f(logeq\f(1,2)3)，b＝f(log210)，c＝f(log2200)，则()A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a5、若函数是奇函数，则使的的取值范围为（）A． B．C． D．6．（多选题）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（）A． B．C． D．7．（多选题）已知、都是定义在上的函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中正确的有（）A．y=gfx+1C．的图像关于直线对称 D．y=fg8．（多选题）下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（）A． B． C． D．9、关于函数QUOTEf(x)=x-sinxf(x)=x-sinxA．QUOTEfxfx是奇函数 B．QUOTEfxfx在QUOTE-∞,+∞-∞,+∞上单调递增C．QUOTEx=0x=0是QUOTEfxfx的唯一零点 D．QUOTEfxfx是周期函数10．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（）A． B． C． D．11．已知定义在上的函数满足，设，若的最大值和最小值分别为和，则（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．13．设函数是上的偶函数，且在上单调递减，则的最小值为（）A． B． C． D．