景德镇市2025届高三第一次质检（一检）数学试卷（含答案解析）

景德镇市2025届高三第一次质检试题数学 2024.11本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I卷(选择题)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∈Z|-2≤x≤0,B=x|x²-2x-3≤0,则A∩B=()A.[-2,-1]B.[-1,3]C.{-2,3}D.{-1,0}2.已知z=1+iA.一B.二C.三D.四3.已知a=20,A.1B.2C.3D.44.已知sinα+cosα=-A.-518B.518C.-55.过点A(0,1)且与曲线fxA.y=5x+1B.y=2x+1C.y=x+1D.y=-2x+16.函数fxA.5B.6C.7D.87.函数f(x)的定义域为R,f(2x+1)是奇函数,当x>1时.fx=log₂2ˣ⁻¹-1,则f(A.[0,1)∪[2,+∞)B.[0,1]∪[2,+∞)C.(-∞,0)∪[2,+∞)D.(-∞,0]∪[2,+∞)8.甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为CH₄，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点ABCD处，碳原子位于正四面体的中心O处.若正四面体ABCD的棱长为1，则平面OAB和平面OCD位于正四面体内部的交线长度为()A.22C.63D高三数学第1页共4页二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.函数fx=B.若a=11,a⋅bC.P是抛物线y²=2x上一点,A(1,0),则|PA|的最小值为1D.已知两直线l₁:mx+2y-1=0与l₂:x+(m-1)y+1=0,则“m=2”是“l₁,l₂互相平行”的充分不必要条件10.在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中m名男生的数学平均成绩为77分，n名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩.X~N(μ,16),μ近似为样本均值，则下列正确的是()参考数据：若X~N(μ,σ²),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9974A.m=200B.总体是35万人C.样本均值为73.5D.估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人11.已知A，B分别为双曲线x2a2-y2b2=1a0,b>0)的左、右顶点,离心率为e,P(x₀,y₀)为双曲线上位于第一象限内任意一点，设∠PABA.|PA||PB|的值随着x₀的增大而减小B.C.tanα-tanβ≤2baD第II卷(非选择题)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知公比不为1的等比数列{an},a₁=1且3a₁,2a₂,a₃成等差,则(a₂₀₂₅13.已知⊙C₁:x²+y²-2ax-1+a²=0与⊙C₂:x-1²+y+1²=r²r0),若存在实数14.甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是.高三数学第2页共4页四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数f(1)求函数f(x)的单调递减区间和对称中心；(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若fA=0,AB⋅BC=-16.(15分)如图四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形，平面PCD⊥平面PAD,PA=AD,PA⊥BC.(1)求证:CD⊥(2)求二面角B-PC-D的余弦值.17.(15分)已知O为坐标原点,椭圆Γx2a2+y(1)求Γ的方程;(2)斜率为12的直线l交Γ于A，B两点，P在以AB为直径的圆上，求|OP高三数学第3页共4页18.(17分)已知函数fx=alnx+2x+b(1)已知b=-2,若f(x)在定义域内单调递增,求a的最小值;(2)求证：存在常数m使得fx+fm(3)在(2)的条件下,若方程2f(x)-a=0存在三个根x₁,x₂,x₃(x₁<x₂<x₃),且x₃+x₁<e+1,求a的取值范围.19.(17分)第一组数据((x₁,x₂,…,xn),其中x1<x2<⋯<xn,第二组数据z1z2⋯znzn+1,这n+1个数互不相等，z₁,z₂分别为其中最大与第二大的数.先从第二组数据中剔除一个数(剩余数相对位置保持不变)得到一组新数据，若将该组数据中相邻两数对换位置称为一次对换，经过至少k次对换得到最终数据y1y2⋯yn,简记系数(1)第一组数据(-3,0,2,5,9),第二组数据(10,8,2,5,-1,4),若剔除10,经过τ(k₁)后得到(8,5,4,2,-1)拟合最佳;若剔除8,经过τ(k₂)得到(-1,2,4,5,10)最佳.求/k₁+k₂的值；(2)在一组互不相等的数的排列(a1a2⋯an中，定义在a₁的右边比其小的数的个数称为a₁的逆序数.已知a₁，a₃的逆序数分别为n--l,n-3,剩余各数按相对顺序从大到小排列.若经过τ((3)若剔除z₁后经过至少m₁次对换τ(m₁)后得到拟合效果最佳，相关系数为r₁.剔除z₂后经过至少m₂次对换τ(m₂)后得到拟合效果最佳，相关系数为r₂.若r₁r₂<0,求证：m₁+m₂为定值，并求出该定值.双击打开原卷扫描版高三数学第4页共4页景德镇市2025届高三第一次质检试题数学参考答案第I卷(选择题共58分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1234567891011DDBCABBABCADABD1.D【解析】A={-2,-1,0},B=[-1,3],A∩B={-1,0}.故选D.2.D【解析】z=1+i2+i=1+i2-i53.B【解析】a-2b=4.C【解析】sin2α=2sinα5.A【解析】f'x=3x²+2,点A不在曲线上，由已知可求得切线过点(-1，-4)，得直线方程为,y=5x+17.B【解析】∵f(2x+1)是奇函数,∴f(2x+1)+f(-2x+1)=0,即f(x)关于(1,0)点对称.又函数f(x)的定义域为R,故f(1)=0.6.B【解析】数形结合故选B.6.B【解析】数形结合故选B.且当x>1时fx=log₂2ˣ⁻¹-1,令f(x)≥0,即log22x-1-1≥0,x>1,解得x≥2综上所述,f(x)≥0的解集是[0,1]U[2,+∞).故选B.8.A【解析】分别取AB,CD的中点E,F,不难发现平面OAB即平面FAB,平面OCD即平面ECD,∴平面OAB和平面OCD位于正四面体内部的交线为线段EF，高三数学第1页共9页∵正四面体ABCD的棱长为1，不难计算得出|EF|=22.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.9.BC【解析】∵cosπ2x-π2=sinπ2x,显然f(x)是奇函数，故A错误；b往a方向上的投影长为a⋅b|a|=2,故B正确;设P(x₀,y₀),其中y02=2x0,∴|PA|=x0-12+y02=x0-12+2x0=x010.AD【解析】由分层随机抽样的特征可知：m=350×2035=200,故A正确；总体是35万考生的数学成绩，故B错误；根据分层随机抽样的均值知样本均值x=77×2035+70×1535=74,故C错误;∵μ=74,σ2=16,μ-2σ=66,P(X<μ-2σ≈1-0.95442=0.0228,11.ABD【解析】在△PAB中,由正弦定理可知|PA|||PB|=sinβsinα=sinπ-βsinα,显然π-β，α均为锐角且随着x₀的增大分别减小与增大,即sin(π-β),由于为定值，故B正确；tanα-tanβ=y高三数学第2页共9页

∴tanα-tan∴S⋅tanα+β=-a2a2+b2⋅2第II卷(非选择题共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.12.32024【解析】由题知:∵3a₁,2a₂,a₃成等差,∴4a₂=3a₁+a₃,又{an}是公比不为1的等比数列，∴4q=3+q²,∴q=3,a₂₀₂₅=3²⁰²⁴.故答案为3²⁰²⁴.13.2【解析】⊙C₁:x-a²+y²=1,∴C₁a0,半径为1，⊙C₂:x-1²+y+1²=r²,∴C₂(1，-1)，半径为r.若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，∴|C₁C₂|=|r-1|.由于|C1C2|=a-114.15【解析】第一次给出黑球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为112,第一次给出黑球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为0，第一次给出白球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为2∴在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率112112高三数学第3页共9页四、解答题：本大题共5小题，满分77分.15.(本小题13分)解：1fx=该函数的单调递减区间为：kπ+π12kπ+7π12令2x+π3=kπ,∴函数f(x)的对称中心坐标为3k-1π6-3,其中k2∵fA=0,∴sin2A+π3=32∴A=π6.∵AB⋅BCf解得：b=1c=3……11由余弦定理可知，a=b2+16.(本小题15分)解:(1)取PD中点E,连接AE,∵PA=AD,故AE⊥PD.∵AE⊥PD,平面PCD⊥平面PAD,AE⊂平面PAD,∴AE⊥平面PCD,∴AE⊥CD.……………4分又∵AD⊥CD,∴CD⊥平面PAD.…………6分(2)由上可知CD⊥PA,又PA⊥BC,∴PA⊥平面ABCD.……………7分如图以A为坐标原点，AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系.……8分∴A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),………………9分设平面PBC的法向量n1=x1y1z1高三数学第4页共9页解得分…………………………11同理，平面PDC的法向量…………………13∴平面PBC与平面PDC夹角余弦值…………14∵二面角B-PC-D为钝角,…………………15分17.(本小题15分)解析:(1)由题意3a……………5分(2)设直线l为y=12x+m,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),设AB联立y=根据韦达定理可知x其中……………8∴Ml高三数学第5页共9页∴|AB|=52|∴|OP|≤|OM|+12|AB|=令等号分…………………14…………………………1518.(本小题17分)解:（1）依题意可知当x>0时,恒成立，…………………1即而的最小值为4,故a+4≥0,分…………3解得a≥-4,即a的最小值为-4.………4分2…………………6分解得m=eb=-2e即当b=-2e时,fx+fe(3)构造函数gx=fx-a2=alnx+2x-数函数g（x）存在三个零点……………10分……………11高三数学第6页共9页若g(x)存在零点x₃,且x3>e,由gx3+gex3=0可知，则g(x)必存在相应的零点x₁，且x1若g'x=ax+2+2ex2≥0恒成立，即a+2x+e若a<-4e,则g'e=ae+4<0,且g''x=-ax-4ex3>0,∴g'(x在(√e,+∞)上单调递增,故g'(x)在(e+∞上存在零点x₀，当x∈ex0时,g∵x₃+x₁<e+1,即x3+ex3<e+1,解得∴ge>gx₃=0,即a>综上所述，a的取值范围是4-4e-4e.19.(本小题17分)解:(1)第一次将(8,2,5,-1,4)对换得到((8,5,4,2,-1),∴k₁=3.…2分第二次将(10,2,5,-1,4)对换得到((-1,2,4,5,10),∴k₂=7.故k₁+k₂=10.………………………4分(2)∵a₁的逆序数分别为n--