金融数学课件ch8 期权定价的离散模型

金融数学第八章期权定价的离散模型中国人民大学出版社PAGE金融数学第八章期权定价的离散模型中国人民大学出版社PAGE10/43第八章期权定价的离散模型金融数学中国人民大学出版社引言引言期权定价的离散模型中最为著名的就是考克斯、罗斯和鲁宾斯坦（Cox，Ros，Rubinstei，1979）提出的二项式模型（binomialmode。约翰∙考克斯 斯蒂芬∙罗斯 马克∙鲁宾斯坦（1943—） （1944—2017）（1944—2019）本章内容本章内容1单期二项式模型12多期二项式模型欧式期权的定价美式期权的定价障碍期权的定价2其他期权品种的定价简介3CRR模型3CRR模型的设定CRR模型与B-S模型的联系单期二项式模型单期二项式模型单期二项式模型单期二项式模型eperiodbinomialmodel单期二项式模型t=0，结束时刻在t=1，并且在未来时刻1，股票（即标的资产）的价格只有两种可能状态的模型。SV；初始S(0)V(0)S(1)和V(1)。单期二项式模型单期二项式模型(cont.)单期二项式模型（up）（down）分别Su(1)Sd(1)Vu(1)Vd(1)单期二项式模型S(0)

Su(1)Sd(1)

V(0)

Vu(1)Vd(1)t=0 t=1股票的二叉树

t=0 t=1期权的二叉树构造一个组合，其在初始时刻的总价值为X(0)，假设采用自融资策略，购买了∆(0)股的股票，并将剩余资金全部用于购买一份期权。单期二项式模型单期二项式模型(cont.)单期二项式模型单期二项式模型X(0)=∆(0)S(0)+V(0)在未来时刻1，该组合的可能价值分别为：Xu(1)=∆(0)Su(1)+Vu(1)Xd(1)=∆(0)Sd(1)+Vd(1)我们希望得到满足条件的∆(0)和V(0)，使得在未来时刻1，组合的价值保持不变，即满足Xu(1)=Xd(1)。单期二项式模型单期二项式模型(cont.)单期二项式模型根据前面的定理可知：对于这种组合价值不变的资产，在无套利条X(0)X(1)单期二项式模型X(1)=X(0)(1+r)综合上面各式，可以得到：X(0)(1+r)=∆(0)Su(1)+Vu(1) (1)X(0)(1+r)=∆(0)Sd(1)+Vd(1) (2)取0<q<1，并对式(1)两端同乘以q，对式(2)两端同乘以(1−q)，并将两式相加可得：X(0)(1+r)=∆(0)[qSu(1)+(1−q)Sd(1)]+[qVu(1)+(1−q)Vd(1)]单期二项式模型单期二项式模型(cont.)单期二项式模型将X(0)=∆(0)S(0)+V(0)单期二项式模型∆(0)[qSu(1)+(1−q)Sd(1)−S(0)(1+r)]=V(0)(1+r)−[qVu(1)+(1−q)Vd(1)]若令上式的左右两侧均等于零，则有：{qSu(1)+(1−q)Sd(1)−S(0)(1+r)=0V(0)(1+r)−[qVu(1)+(1−q)Vd(1)]=0

S(0)=Su(1)+(1−q)Sd(1)1+rV(0)=Vu(1)+(1−q)Vd1+r“概率”“概率”单期二项式模型qS(0)可以看作未单期二项式模型S(0)=Su(1)+(1−q)Sd(1)1+rV(0)=qVu(1)+(1−q)Vd1+rqS(0)

Su(1)

q(1−q(1−q)

Vu(1)(1−q)

Sd(1)

Vd(1)t=0 t=1股票的二叉树

t=0 t=1期权的二叉树风险中性概率风险中性概率单期二项式模型需要说明的是，这里的概率q并不是真实市场上的概率，而是我们在推导过程中人为构造的概率，称为风险中性概率（单期二项式模型probability。将这种由风险中性概率所组成的概率测度称作风险中性测度（risk-neutralmeasur，记作Q。p，相应的概率测度记作P。这样的两个概率测度是等价的equivalen，记作P∼Q。等价测度的定义等价测度的定义单期二项式模型在同一个样本空间S内的两个概率测度P和Q，若对S中的任意子样本空间A单期二项式模型P(A)=0⇐⇒Q(A)=0或者P(A)̸=0⇐⇒Q(A)̸=0两个概率测度等价，则意味着事件A在测度P下有可能发生，相应地在测度Q下也有可能发生；反之亦然。则称P和Q是等价测度（equivalentmeasur，记作两个概率测度等价，则意味着事件A在测度P下有可能发生，相应地在测度Q下也有可能发生；反之亦然。风险中性概率的表达式风险中性概率的表达式单期二项式模型如果进一步假设未来时刻股票价格上涨的倍数为u，下跌的倍数为d，并且0<d<1<u单期二项式模型Su(1)=u·S(0), Sd(1)=d·S(0)将上式代入S(0)=qSu(1)+(1−q)Sd(1)，最终可得：1+rq=(1+r)−du−d由此可见，风险中性概率q只与无风险利率r、期限t=1、上涨倍数u和下跌倍数d有关，而与股票的价格S(0)无关。例题例题1：看涨期权单期二项式模型一只股票的当前价格为20元，3个月后股价有可能涨至22单期二项式模型有可能跌至18元。3个月后到期的该股票看涨期权的行权价为21元，假设无风险利率为4%。问：该看涨期权的当前价格应为多少？解答解答单期二项式模型单期二项式模型u=22=1.1, d=18=0.920 20相应的股票和期权的二叉树如下所示：q22q20(1−q) 18

V(0)

q(1−q)

max(0,22−21)=1max(0,18−21)=0股票的二叉树 (b)期权的二叉树相应地：

q=1+r)−d=(1+4%/4)−0.9=0.55u−d 1.1−0.9解答解答(cont.)单期二项式模型q单期二项式模型q(1−q(1−q)0由于期权剩余到期时间仅有三个月，因此在单利计息下，将年利率1/4作为利息的计算依据。于是可得：1+4%/41+4%/4V(0)= 1 [q·1+(1−q)·1+4%/41+4%/4例题例题2：看跌期权单期二项式模型一只股票的当前价格为20元，三个月后股价有可能涨至22单期二项式模型有可能跌至18元。该股票三个月后到期的看跌期权的行权价为21元，假设无风险利率为4%。问：该看跌期权的当前价格应为多少？解答解答单期二项式模型单期二项式模型u=22/20=1.1,d=18/20=0.9,K=21。q22q20(1−q) 18

V(0)

q(1−q)

max(0,21−22)=0max(0,21−18)=3(a)股票的二叉树 (b)期权的二叉树于是可得：1+4%/41+1%V(0)= 1 [q·0+(1−q)·3]=0.451+4%/41+1%多期二项式模型多期二项式模型多期二项式模型二项式模型所得的结果尽可能地符合或接近实际，只需要将标的资产价格变动的期间（period）增加到两个或两个以上，从而使单期二项式模型变为多期二项式模型（multi-periodbinomialmode多期二项式模型Sr，每期的时间跨度1uu>d0<d<uuSuSS udSdSddS当前 第1期 第2期多期二项式模型的风险中性概率多期二项式模型的风险中性概率多期二项式模型由于风险中性概率q只与无风险利率r、时间跨度t=1、上涨倍数u和下跌倍数d有关，而与股票的价格S多期二项式模型q=1+r)−du−d注意：因此，风险中性概率可以应用于整个二叉树的各个分支。注意：金融中通常使用连续复利计息法，于是上面的风险中性概率计算公式相应地改写为：=q ert−d=u−d其中，r是无风险利率，t是各期之间的时间跨度。在后面所述的多期二项式模型定价中，将使用上式计算风险中性概率。例题例题3：欧式期权的定价多期二项式模型假设标的股票的当前价格为100元，每期的时间跨度为欧式期权的定价多期二项式模型每年结束时，价格有两种可能的变化：要么上涨至原来的1.1倍，要么下跌至原来的0.9倍。当前距离期权到期还有两期，已知每期的无风险利率均为5%。求：行权价为105元的欧式看涨期权的当前价格。行权价为105元的欧式看跌期权的当前价格。解答解答100

q(1−q)

欧式期权的定价欧式期权的定价90

121q(1−qq(1−q)q多期二项式模型(1−(1−q)当前 第1期 第2期−−已知u=1.1,d=0.9,K=105,r=5%,t=1，可以计算得到风险中性概率q：−−ert dq=u−d=

e5% 0.9=0.7561.1−0.9解答：看涨期权的二叉树解答：看涨期权的二叉树q欧式期权的定价q欧式期权的定价多期二项式模型(1−q)q(1−q)qC0 0(1−q)(1−q(1−q)0当前 第1期 第2期由此可得：最终：

C11=e−rt[q·16+(1−q)·0]=e−5%(0.756×16)=11.51C12=e−rt[q·0+(1−q)·0]=0C0=e−rt[q·C11+(1−q)·C12]=e−5%(0.756×11.43)=8.27解答：看跌期权的二叉树解答：看跌期权的二叉树q欧式期权的定价q欧式期权的定价多期二项式模型(1−q)q(1−q)qP0 6(1−q)(1−q(1−q)24当前 第1期 第2期由此可得：P11=e−rt[q·0+(1−q)·6]=e−5%(0.244×11)=1.39P12=e−rt[q·6+(1−q)·24]=e−5%(0.756×11+0.25×29)=9.89最终：P0=e−rt[q·P11+(1−q)·P12]=e−5%(0.756×1.39+0.244×9.89)=3.3归纳归纳欧式期权的定价多期二项式模型假设期权的剩余期限为T，将期权的期间数分为欧式期权的定价多期二项式模型∆t，因此∆t=T/n。由于在n次二项步骤后，i次上涨和(n−i)次下跌的风险中性概率为：P(u=,#d=n−i)=()qi(1−)−i= n! i(1−q)n−ii i!(n−i)!其中，#u和#d分别表示期权的剩余期限内，资产价格上涨和下跌的总次数。对应的看涨期权回报数额为：max(S0uidn−i−K,0)归纳归纳(cont.)欧式期权的定价多期二项式模型C欧式期权的定价多期二项式模型C0=e−rn∆tP(#u=i,#d=n−i)·max(S0uidn−i−K,0)其中：

n=e−rTn

=0

()ii

qi(1−q)n−i·max

(S0uidn−i−K,0)=q er∆t−du−d=P0P0=e−rn∆tP(#u=i,#d=n−i)·max(K−S0uidn−i,0)n=e−rTn

i=0

()ii

qi(1−q)n−i·max

(K−S0uidn−i,0)美式期权的定价美式期权的定价美式期权的定价美式期权的定价多期二项式模型权的收益与期权价值之间的差异，然后取两者中的较大者作为下一期计算的节点数值。例题例题4：美式期权的定价多期二项式模型100，未来每期结束时，价格有两种可1.50.75倍。当前美式期权的定价多期二项式模型求行权价为110的美式看涨期权的当前价格。解答解答美式期权的定价多期二项式模型−−已知：u=1.5，d=0.75，K=110，r=5%。可以计算得到风险中性概率美式期权的定价多期二项式模型−−ert dq=u−d=

e5% 0.75=0.4021.5−0.75首先构造股票价格的二叉树，同时计算出各期看涨期权的可能价值，计算结果反映在括号内。100(0)

q 150(40)(1−q(1−q)

q(1−q)q(1−q(1−q)q

225(115)112.5(2.5)56.25(0)当前 第1期 第2期解答解答(cont.)美式期权的定价多期二项式模型接下来，使用风险中性概率，结合第美式期权的定价多期二项式模型算出第1期期权的价值分别为：c1=e−5%[0.402×115+(1−0.402)×2.5]=45.4c2=e−5%[0.402×2.5+(1−0.402)×0]=0.96由于美式期权可在到期日之前的任意时刻行权，因此需要将求得的结果1期美式期权的价值进行比较，并取较大者，所以：c11=max(45.4,40)=45.4c12=max(0.96,0)=0.96解答解答(cont.)美式期权的定价多期二项式模型最后，使用求得的第1期期权的价值c11和c美式期权的定价多期二项式模型c0=max{0,e−5%[0.402×45.4+(1−0.402)×0.96]}=17.91q115q17.91

q(1−q)

2.5(1−q)(1−q)q(1−q)当前 第1期 第2期障碍期权的定价举例障碍期权的定价举例障碍期权的定价多期二项式模型100，未来每期结束时，价格有两种可1.10.9倍。当前障碍期权的定价多期二项式模型由于障碍期权可以提前中止，所以使用二项式模型进行定价时，需要关注标的资产二叉树的各节点与障碍价格之间的关系。思路：求行权价为105、障碍敲出价格为95由于障碍期权可以提前中止，所以使用二项式模型进行定价时，需要关注标的资产二叉树的各节点与障碍价格之间的关系。思路：解答解答障碍期权的定价多期二项式模型首先绘制出该期权的对应标的股票价格的二叉树，图中的虚线位置障碍期权的定价多期二项式模型110

121

133.1108.9010 99 090 89.18172.9当前 第1期 第2期 第3期解答解答(cont.)障碍期权的定价障碍期权的定价多期二项式模型−ert d−q=u−d=

e5% 0.9−=0.756−1.1−0.928.1C11

C21

3.9C0 C22 0 000当前 第1期 第2期 第3期解答解答(cont.)障碍期权的定价C11障碍期权的定价

多期二项式模型C多期二项式模型

28.13.9C0 C22 0 000当前 第1期 第2期 第3期接下来使用后向推导法，依次计算出各期的期权价值，结果如下：C21=e−5%[0.756×28.1+(1−0.756)×3.9]=21.12C22=e−5%[0.756×3.9+(1−0.756)×0]=2.806C11=e−5%[0.756×21.12+(1−0.756)×2.806]=15.85C0=e−5%[0.756×15.85+(1−0.756)×0]=11.4障碍期权定价的说明障碍期权定价的说明障碍期权的定价多期二项式模型这个例题中并未涉及向上障碍期权的定价多期二项式模型在计算的二叉树期数和路径较少的情况下，该方法是简单易行的，N2N条可能路径下期权生效和失效的情形，这将是非常费力的。连续分红的股票期权定价连续分红的股票期权定价其他期权品种的定价简介多期二项式模型q∗。在风险中性测度其他期权品种的定价简介多期二项式模型S0e−q∗t=[quS0+(1−q)dS0]e−rt对上式进行整理可得：q=exp[(r−q∗)t]−du−d股票指数期权的定价股票指数期权的定价其他期权品种的定价简介多期二项式模型其他期权品种的定价简介多期二项式模型q=exp[(r−q∗)t]−du−d外汇期权的定价外汇期权的定价其他期权品种的定价简介多期二项式模型外汇期权的标的物是外国货币（即外汇，外汇可以看作获得外币rf其他期权品种的定价简介多期二项式模型q=exp[(r−rf)t]−du−d其中，r表示本币的无风险利率；rf表示外币的无风险利率，并且此处的外汇汇率采用直接报价法（即一单位外币等于若干单位本币。期货期权的定价期货期权的定价其他期权品种的定价简介多期二项式模型对于期货期权而言，其标的资产已不再是现货，而是现货所对应的SF其他期权品种的定价简介多期二项式模型F=Ser