八年级数学下册讲练课件：18.2.2-菱形（第2课时-菱形的判定）（人教版）

人教版八年级数学下册第18章平行四边形18.2.2菱形第2课时菱形的判定1学习目标1.掌握菱形的判定定理及证明方法.

2.能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算．2

矩形

菱形定义有一角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.平行四边形的性质性质边角对角线四个角都是直角相等互相垂直且平分每一组对角判定有一角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形三个角都是直角的四边形四条边都相等？学习平行四边形的判定和矩形的判定时，首先想到的第一种方法是什么？定义回顾旧知3一组邻边相等的平行四边形是菱形.ABCD还有其他的判定方法吗?根据菱形的定义，可得菱形的判定方法1∵四边形ABCD是平行四边形且AB=BC∴四边形ABCD是菱形几何语言：新知引入4用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.平行四边形转动木条,你有什么发现?合作探究5∴ABCD是菱形命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知：在中，AC和BD相交于点O，AC⊥BDABCDABCD求证：是菱形证明：又∵AC⊥BD∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC∴BA=BCABCDO定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形

AC⊥BD∴ABCD是菱形∴BD垂直平分AC合作探究6例：如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6.求证：四边形ABCD是菱形.ABCDO△ABO是直角三角形

分析：要证四边形ABCD是菱形只需AC⊥BD或一组邻边相等

ABCD典例分析7∴OA=AC=4，OB=DB=3ABCDO∴四边形ABCD是菱形.证明：∵AB=5∴

即AC⊥BD∴∠AOB=

90°∵四边形ABCD是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的对角线互相平分)(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).8类比学习平行四边形和矩形的判定过程，研究菱形性质定理的逆命题，你能找到菱形判定的其他方法吗？猜想：四条边都相等的四边形是菱形菱形的边特有性质：菱形的四条边相等合作探究9命题：有四条边相等的四边形是菱形.几何语言：已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA求证：四边形ABCD是菱形证明：∴四边形ABCD是菱形∵在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形∵AD=BC，

AB=CD又∵AB=AD定理：有四条边相等的四边形是菱形.ABCD∴四边形ABCD是平行四边形合作探究10文字语言图形语言几何语言判定方法1判定方法2对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定方法3四边相等的四边形是菱形菱形的判定：ABCD在四边形ABCD中∵AB=BC=CD=DA∴□ABCD是菱形在□ABCD中∵AC⊥BD∴□ABCD是菱形在□ABCD中∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形AOABCD一组邻边相等的平行四边形是菱形DBC小结归纳11+邻边相等=+对角线互相垂直=四条边相等+=1.2.3.菱形常用的判定方法小结归纳121.判断(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．√

╳

╳

╳

2.一边长为13cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和10cm，那么平行四边形的面积是

.

120cm2方法小结：菱形面积=底×高=对角线乘积的一半ABCDOABCDO当堂巩固133.下列命题中正确的是（

）A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形4.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（

）A.

AC⊥BD，

AC与BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.

AB=BC，AD=CD，

且AC⊥BDD.

AB=CD，AD=BC，

AC⊥BDCC14ABCDOE5.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形证明：∵DE∥AC，CE∥BD

∴四边形OCED是平行四边形∵四边形ABCD是矩形

∴OC=OD

∴四边形OCED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形)15

分析：欲证四边形AFCE是菱形四边形AFCE是平行四边形需证一组邻边相等或对角线互相垂直

1.如图，已知平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形.

BCDEFAO12EF⊥AC对角线互相平分OA=OC，OE=OF△AOE≌△COF能力提升16BCDEFAO12证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO=OC.又∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO=FO.∴四边形AFCE是平行四边形.小结：要根据已知条件选择适当的判定定理进行推理.又∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形.（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）17证△ABE≌△ADF，AB=ADDCBAEF菱形的面积=BC∙AE=CD∙AF，BC=CD方法小结：运用面积相等解决问题

分析：欲证四边形ABCD是菱形需证四边形ABCD是平行四边形需证一组邻边相等或对角线互相垂直AB∥CD，AD∥BC2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？能力提升18解：四边形ABCD是菱形理由如下：过A点作AE⊥BC与点E，AF⊥CD与点F

∵AB∥CD

AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形∵菱形的面积=BC·AE=CD·AF，又∵

AE=AF

∴

BC=CD∴四边形ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)DCBAEF191.（2分）（2021•北京14/28）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是

（写出一个即可）．【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即AF∥CE，∵AF＝EC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AE＝AF，∴四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝AF．感受中考202.（10分）（2021•青海22/25）如图，DB是□ABCD的对角线．（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段BD的垂直平分线EF，交AB，DB，DC分别于E，O，F，连接DE，BF（保留作图痕迹，不写作法）．（2）试判断四边形DEBF的形状并说明理由．【解答】解：（1）如图，DE、BF为所作；感受中考21∴△ODF≌△OBE（ASA），∴DF＝BE，∴DE＝EB＝BF＝DF，∴四边形DEBF为菱形．（2）四边形DEBF为菱形．理由如下：如图，∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，FB＝FD，OB＝OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠FDB＝∠EBD，在△ODF和△OBE中，，223.（8分）（2021•云南20/23）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ED=2AE，

，求EF·BD的值．感受中考23∴OE=OF，∵OB=OD，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【解答】解：（1）证明：矩形ABCD沿EF折叠，使B，D重合，∴OB=OD，EF⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，AD∥BC，∴∠ODE=∠OBF，在△OBF和△ODE中，

，∴△OBF≌△ODE（ASA），24（2）如图，∵

，∴

，∵ED=2AE，∴

，∴