山东省济宁市嘉祥县2025届高三第四次考试 数学试题含答案

2025届高三第四次考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足（是虚数单位），则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得，再由模长公式即可得出结果.依题意可得，所以.故选：C2.已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为4的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由扇形弧长的计算，可得圆锥底面半径，画组合图形的轴截面，利用三角形内切圆以及勾股定理，最后利用球表面积公式，可得答案.由题意可知，圆锥的母线，底面周长，所以圆锥的底面半径，根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如下：根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，也即为等腰的内切圆，即，，，，在中，，由，，则，在中，，即，可得，解得，所以内切球的表面积.故选：A3.已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用投影向量求出数量积，利用夹角公式可得答案.依题意，在上的投影向量为，则，于是，而，则，所以向量与向量的夹角为.故选：C4.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数gx在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（）A. B.3 C. D.2【答案】C【解析】【分析】首先可得，然后当时，，然后建立不等式求解即可.因为将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，所以当时，因为函数gx在区间上是单调增函数，所以解得故选：C5.已知，则（）A.-3 B.-2 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】根据两角和的正弦公式和两角差的余弦公式对题目所给条件进行化简，再用两角和的正切公式即可.因为,所以,所以,即,因为,所以所以.故选：A.6.，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后、两点间的距离是（）A.6 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作轴于点，作轴于点，将用表示，再根据数量积的运算律结合向量的模的计算公式计算即可.因为，是直线上的两点，所以，，如图为折叠后的图形，作轴于点，作轴于点，则异面直线，所成的角为，即、的夹角为，，，，，则，即折叠后、两点间的距离为.故选：A.7.在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】首先将三棱锥放置在正方体中，并建立空间直角坐标系，利用转化向量的方法求数量积，再代入坐标运算，即可求解.如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，，A2,0,0，，，，，设三棱锥外接球的半径为，，则，，，，，，，，，所以，当时，取得最大值.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是三棱锥与外接球组合体的几何关系，以正方体为桥梁，建立空间直角坐标系，转化为数量积问题.8.已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用换元法设，则方程等价为，根据指数函数和对数函数图象和性质求出，利用数形结合进行求解即可．令，则．①当时，若；若，由，得．所以由可得或．如图所示，满足的有无数个，方程只有一个解，不满足题意；②当时，若，则；若，由，得．所以由可得，当时，由，可得，因为关于的方程有且仅有两个实数根，则方程在]上有且仅有一个实数根，若且，故；若且，不满足题意．综上所述，实数的取值范围是，故选：C．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式计算一一判定即可.不妨设矩形长宽分别为，则.对于A项，显然成立，符合，对于C项，显然成立，符合，即A、C正确；对于B项，显然不成立，对于D项，显然不成立，即B、D错误.故选:AC10.如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（）A.当点为中点时，平面B.当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为C.当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值D.点到直线距离的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出向量夹角余弦判断B；利用三棱锥体积公式判断C；利用空间向量求出点到直线的距离最小值判断D.在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，对于A，，，，，，即，而平面，因此平面，A正确；对于B，，，B错误；对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积，因此三棱锥的体积23是定值，C正确；对于D，，则点到直线的距离，当且仅当时取等号，D正确.故选：ACD11.已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】对于AB，利用赋值法求得，,再根据中心对称的定义判断即可；对CD，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得．对于A，令，则有，即，令，则有，所以，所以函数不关于中心对称，故A错误B正确；对于C，令，则有,即，则,，故C正确；对于D，令，则有,即，则，即，又，令,，则有，所以数列是等差数列，首项为，公差为1，所以，即，则，故D错误．故选：BC．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______.【答案】【解析】【分析】求出在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得.对于，易知，切线斜率为，切点为0,1；则曲线在处的切线为，显然，设切点，由，解得.故答案为：213.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为钝角，．则的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理得到，即，结合角的范围可得，，令，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解．由，根据正弦定理得：，由于，可知，即，因为为钝角，则为锐角，即，则，则．．因为为锐角，所以，即，则，设，则，．因为，则，从而．故答案为：14.已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列.则数列的通项公式为______；若定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，则在区间内所有“调和数”之和为_________.【答案】①.②.1086【解析】【分析】空1，利用题意建立等式求解即可；空2，根据题意求出可能的的值，然后求和即可.因为成等比数列，所以，因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为，所以，所以，所以.设，所以，令，且b为整数，又由，，所以b可以取1，2，3，4，5，6，此时分别为，所以区间内所有“调和数”之和故答案为：；1086四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知为函数的极值点．（1）求的值；（2）设函数，若对，使得，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出的值；（2）先由（1）求出的最小值，由题意可得是求的最小值，小于等于的最小值，对求导，判断由最小值时的的范围，再求出最小值与最小值的关系式，进而求出的范围．【小问1详解】，由，得，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的极小值点，所以．【小问2详解】由（1）知．函数的导函数①若，对，使得，即，符合题意．②若，取，对，有，不符合题意．③若，当时，在上单调递减；当时，在1,+∞上单调递增，所以，若对，使得，只需，即，解得．综上所述，的取值范围为．16.已知直线l过点，圆C：（C为圆心）．（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程．（2）若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）或．（2）为定值2．【解析】【分析】（1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程；（2）设直线l方程为，与直线联立求出点坐标，根据垂径定理得到直线CP与直线l垂直，表达出直线CP的方程，与直线l联立得到点坐标，计算出.【小问1详解】若直线l的斜率不存在，即直l的方程为，符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即．因为直线l与圆C相切，所以，解得．故直线l的方程为或．【小问2详解】因为直线l与圆C相交，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为．联立，解得，即．因为P为线段MN的中点，所以直线CP与直线l垂直，故直线CP方程为，联立，解得，即．则．故为定值2．17.某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加．（1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；（2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望；（3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望．【答案】（1）（2）分布列及期望见解析.（3）【解析】【分析】（1）由条件概率的计算公式即可求解；（2）参加活动的女教师人数为，则服从超几何分布，即可写出的分布列及期望.（3）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得.【小问1详解】设“有女教师参加活动”为事件，“恰有一名女教师参加活动”为事件，则，，所以.【小问2详解】依题意知服从超几何分布，且，，，所以的分布列为：012.【小问3详解】设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为，则的所有可能取值为3,6，的所有可能取值为6,9，，，，，有名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，，所以.即两个教师得分之和的期望为分.18.如图，四棱锥中，平面，底面是边长为2的菱形，，点E､F､G分别为线段CD､､的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）设直线与平面的交点为，求长度.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先利用面面平行的判定定理得出平面，再利用面面平行的性质定理即可得证（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面法向量，利用向量夹角公式可求解；（3）设，得到，根据向量与共面，结合向量共面定理求出，得到坐标，再用两点间距离公式结算即可.【小问1详解】证明：取线段的中点，连接、，因为点为线段的中点，所以，又平面，平面，所以平面，因为中，点为线段的中点，点为线段的中点，所以，又平面，平面，所以平面，又，且平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．【小问2详解】设平面与平面夹角为，连接和交于点，过点作直线垂直于平面，如图，以为坐标原点，以向量为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，求得关键点坐标，设平面的法向量为，则，即，取，设平面的法向量为，则，即，取，则，即平面与平面夹角的余弦值为.【小问3详解】设，则，故，依题意可得向量与共面，所以存在实数，，使得，即，解得，则.且.则运用两点间的距离公式计算得到.19.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则（1）①点，，求的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．（2）已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；（3）设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标．【答案】（1）①7；②；（2）2；（3）2，，，，.【解析】【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；（2）设直线上任意一点坐标为，然后表示，分类讨论求的最小值；（