内蒙古呼和浩特市2024−2025学年高二上学期第一次月考 数学试题含答案

内蒙古呼和浩特市2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件2．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．若，，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则3．关于空间中的角，下列说法中正确的个数是（

）①空间中两条直线所成角的取值范围是

②空间中直线与平面所成角的取值范围是③空间中二面角的平面角的取值范围是

④空间中平面与平面所成角的取值范围是A．1 B．2 C．3 D．44．已知三棱锥，点是的中点，点是的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设，，，则向量用基底可表示为（

）

A． B．C． D．5．已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（

）A． B．C．与斜交 D．6．如图，在平行六面体中，，，，则（

）A．12 B．8 C．6 D．47．如图，已知大小为的二面角棱上有两点A，B，，，若，则AB的长度（）A．22 B．40 C． D．8．已知，则下列说法错误的是（

）A．若分别是直线的方向向量，则所成角余弦值是B．若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角正弦值是C．若分别是平面ABC、平面BCD的法向量，则二面角的余弦值是D．若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角余弦值是.二、多选题（本大题共3小题）9．直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则直线平面B．若，则平面平面C．若，则平面所成锐二面角的大小为D．若，则直线与平面所成角的大小为10．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．若，则向量，的夹角是锐角B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面11．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（

）A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为三、填空题（本大题共3小题）12．在空间直角坐标系中，点，2，关于轴的对称点的坐标为13．已知空间，，，则＝．14．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：（i）为同时与，垂直的向量；（ii），，三个向量构成右手系（如图1）；（iii）.如图2，在长方体中，，.给出下列四个结论：①；②；③；④.其中，正确结论的序号是.四、解答题（本大题共5小题）15．在长方体中（如图），，，点是棱的中点.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体是否为鳖臑？并说明理由.16．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知.并做答.条件①：；条件②：；条件③：平面平面.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.17．如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形.(1)取中点，求证：平面平面；(2)若平面，，，，求：（i）平面与平面所成角的正弦值；（ii）点到平面的距离.18．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点(1)求证：平面；(2)求证：、、、四点共面；(3)求二面角的余弦值.19．如图，在长方体中，AD=1，，H，F分别是棱，的中点.(1)判断直线HF与平面的位置关系，并证明你的结论；(2)求直线HF与平面ABCD所成角的正弦值；(3)在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

参考答案1．【答案】D【详解】若，则或，故充分性不成立，若，则，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：D.2．【答案】B【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A，若，，，，，则，故错误；对于B，，，则，正确；对于C，，，则或，故错误；对于D，若，，，则或异面，故错误.故选：B3．【答案】C【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角范围判断即可.【详解】对于①：由空间中两条直线所成角的取值范围是，可知①正确；对于②：由空间中直线与平面所成角的取值范围是，可知②正确；对于③：空间中二面角的平面角的取值范围是，可知③错误；对于④：空间中平面与平面所成角的取值范围是，可知④正确；故选：C4．【答案】B【详解】记BC的中点为E，连接AE，则，又，所以，由重心性质可知，所以，所以.故选：B

5．【答案】C【详解】由与，得，即向量与不垂直，因此不平行于平面，即直线，直线与平面也不平行，直线与平面相交，AD错误；显然向量与不共线，即直线与平面不垂直，与斜交，B错误，C正确.故选：C6．【答案】B【详解】故选B.7．【答案】C【分析】过作且，连接，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，由勾股定理即可求出答案.【详解】解：过作且，连接，则四边形是平行四边形，因为，所以平行四边形是矩形，因为，即，而，则是二面角的平面角，即，因为，即为正三角形，所以，因为，即，平面，所以平面，因为平面，所以，所以在中，，所以，故选：C8．【答案】C【分析】根据向量法逐一判断即可.【详解】对于A：因为直线与直线所成角范围为，所以所成角余弦值为，故A正确；对于B：因为直线与平面所成角范围为，所以l与所成角正弦值，l与所成角余弦值为，故BD正确；对于C：因为二面角的平面角所成角范围为，所以二面角的余弦值可能为负值，故C错误；故选：C9．【答案】BCD【分析】由，则直线平面或，可判断；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判断.【详解】由，则直线平面或，故错误；由，则平面平面，故正确；若，设平面和平面所成角为，且，则，所以平面所成锐二面角的大小为，故正确；设直线与平面所成角为，则，且，所以直线与平面所成角的大小为，故正确.故选.10．【答案】BC【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；根据异面直线的平行线即可判断D.【详解】对于A：若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故A错误；对于B：根据空间向量共面定理知，空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确.对于C：因为，且，所以四点共面,故C正确.对于D：分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.故选BC.11．【答案】ABC【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．由题意知，，，．设平面的法向量为，所以则可得平面的一个法向量为．点F到点E的距离，故A正确；点F到直线的距离为，故B正确；点F到平面的距离，故C正确；由正方体的性质可知，平面平面，平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误．故选：ABC．12．【答案】，，【解析】利用空间直角坐标系中点的对称关系直接求解即可【详解】空间直角坐标系中，点，2，关于轴的对称点坐标为，，．故答案为：，，．13．【答案】【详解】由，且，，则，解得，故.故答案为：.14．【答案】①③④【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解：，且分别与垂直，，故①正确；由题意，，，故②错误；，，且与共线同向，，与共线同向，，与共线同向，，且与共线同向，故③正确；，故④成立．故答案为：①③④．15．【答案】(1)(2)是，理由见解析【详解】（1）解：作交于，联结，因为是棱的中点.所以为的中点，则为异面直线与所成角，因为，所以，因为为正三角形，即，异面直线与所成角为.（2）解：是棱上的中点，则､均为等腰直角三角形，故，所以为直角三角形，由平面，面，所以平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，所以为直角三角形，因为平面，平面，所以，，所以､均为直角三角形，故四面体四个面均为直角三角形为鳖臑.16．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）若选择条件①②，则不能解决丙个问题，若选择条件②③，则可以解决第（1）问，不能解决（2）问，若选择条件①③，则可以解决两个问题.因为平面平面，平面平面所以平面，又平面，所以.因为，所以，则，又且两直线在平面内，所以平面.（2）由（1）知，选择条件①③，则可以解决两个问题.以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，且，则，所以设平面的法向量为，则由，令，则，取.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17．【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii）【详解】（1）如图，在射线上取点，使，连接.由题设，得，所以四边形为平行四边形.所以且.又四边形为平行四边形，所以且.所以且..所以四边形为平行四边形,所以.因为平面平面所以平面.又，则，且平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面.（2）（i）因为平面，平面，所以.又，所以，，两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系,则.所以,，设平面的法向量为，则，即，令，则，于是.设平面的法向量为，则，即，令，则，，于是.设平面与平面所成角为，则，所以所以平面与平面所成角的正弦值为.（ii）因为DC=1,0,0，平面的法向量为，则点到平面的距离为.18．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）连接，因为分别为的中点，所以在三棱柱中，.所以四点共面.因为分别为的中点，所以.所以四边形为平行四边形.所以.因为平面平面，所以平面.（2）连接，因为为直三棱柱，且分别为的中点，所以，又，所以，所以、、、四点共面.（3）由题设平面，所以.因为，所以两两垂直.如图建立空间直角坐标系.所以..平面的一个法向量是，设平面的法向量为，则即令，则.于是，设二面角的平面角为，则，由图可知为锐角，所以.19．【答案】(1)面，证明见解析；(2)；(3)不存在，理由见解