辽宁省沈阳市2024−2025学年高三上学期第一次模拟考试暨假期质量测试数学试卷含答案

辽宁省沈阳市2024−2025学年高三上学期第一次模拟考试暨假期质量测试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．设集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．给出下列四个结论：①“”是“”的充分不必要条件；②若命题，则；③若，则是的充分不必要条件；④若命题q：对于任意为真命题，则其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．下列函数中，既是奇函数又具有零点的是（

）A． B．C． D．4．已知随机变量的分布列如下表所示，则（

）123A． B． C． D．5．已知数列为等差数列，为等比数列，，则（

）A． B．C． D．6．已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且8．已知命题为假命题，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法中，正确的是（

）A．若随机变量，且，则B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1C．若随机事件A，B满足：，则事件A与B相互独立D．已知y关于x的回归直线方程为，则样本点的残差为10．已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法正确的有（

）A． B．C． D．，则周期为611．对于函数，下列说法正确的是（

）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在(0,+∞)上恒成立，则三、填空题（本大题共3小题）12．若数列an满足，数列的前n项和为，则13．某校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为.附，0.050.013.8416.63514．已知函数，若，则的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．设为奇函数，为常数.(1)求的值(2)若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.16．已知数列的前项和为，且.(1)求证；数列是等比数列；(2)求证：.17．已知（1）求的最小值；（2）若在内恒成立，求的取值范围.18．在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式．(1)分别求在处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）；(3)当时，求证：．（参考数据）19．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．

参考答案1．【答案】A【详解】因为，所以，所以，由，得，所以，所以，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A2．【答案】B【详解】对于①，不能推出，“”不是“”的充分不必要条件，①错误；对于②，，②错误；对于③，若，则且，反之，，，成立，因此是的充分不必要条件，③正确；对于④，，而，则，④正确，所以正确结论的个数为2.故选：B3．【答案】B【详解】解：对于A，，是奇函数，但无零点，不符题意；对于B，因为，所以，所以函数是奇函数，且，所以函数具有零点，满足题意；对于C，因为，又因为，所以函数不具有零点，不满足题意；对于D，因为，所以，易知函数为偶函数，不满足题意.故选:B.4．【答案】C【详解】由分布列可得，解得，则，所以.故选：C．5．【答案】A【详解】由为等差数列，为等比数列，，可得.由，当且仅当时取等，可得，故A正确，C错误.当时，；当且仅当时取等，当时，，当且仅当时取等，故B，D都错误.故选：A.6．【答案】C【详解】因为函数（且）满足，即，所以，又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，所以，解得，所以.故选：C.7．【答案】B【详解】由函数有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，结合函数图象有以下几种情况，与的图象如图1所示，则在定义域内不能是单调函数，对于的值进行分类讨论，则：当时，如图2所示；当时，如图3所示；当时，如图4所示；当时，如图5所示；当时，如图6所示；对于图2，有可能有两个交点，因为存在使得与二次函数有两个交点；对于图3，因为图象是单调的，故不可能有两个交点；对于图4，可能有两个交点，因为存在使得与分段函数有两个交点；对于图5，不可能有两个交点；对于图6，不可能有两个交点；综上所述：当且成立；故选：B8．【答案】D【详解】法一：由题可得为真命题，易知满足，符合题意，此时；当时，可变形为，令，则，当时，f'x<0；当x∈1,+∞当时，单调递减，且；当x∈0,1时，单调递减；当x∈1,+∞时，单调递增，所以当时，，作出函数的图象如图①所示，由题可知直线与函数的图象没有交点，数形结合可得.法二：由题可得为真命题，即直线与曲线没有交点.设直线与曲线切于点，由，得，则，所以，所以直线与曲线相切，若直线与曲线没有交点，如图②所示，则.故选：D.9．【答案】ACD【详解】因为，且，所以有，因此，所以选项A正确；根据线性相关有正相关和负相关，因此两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，所以选项B不正确；由，显然，因此事件A与B相互独立，所以选项C正确；在中，令，得，因此样本点的残差为，所以选项D正确，故选：ACD10．【答案】BCD【详解】在中，令中，得或，A不正确；当时，在中，令中，得，因此函数既是奇函数又是偶函数，所以成立，当时，在中，令中，，所以函数是偶函数，因此成立，B正确；在中，令中，得，令，因为x∈R，所以，即有，显然成立，C正确；当时，在中，令中，得，则有，可得，因此周期为6，D正确，故选：BCD11．【答案】ACD【详解】对于选项A：函数定义域为(0,+∞)，，令可得，令可得，所以在单调递增，在单调递减，所以在时取得极大值，故选项A正确对于选项B：令，可得，因此只有一个零点，故选项B不正确；对于选项C：显然，在单调递减，可得，因为，即，故选项C正确；对于选项D：由题意知：在(0,+∞)上恒成立，令则，因为易知当时.，当时，，所以在时取得极大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，则，故选项D正确.故选：ACD.12．【答案】/【详解】当时，，而满足上式，因此，，.故答案为：13．【答案】20【详解】根据题意，列联表如下：喜欢不喜欢合计男3m3m6m女4m2m6m合计7m5m12m，有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即，，解得，又，所以的最小值为.故答案为：20.14．【答案】【详解】解：因为，所以，所以，，又因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：15．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题设，，∴，即，故，当时，，不成立，舍去；当时，，验证满足.综上：.（2）由，即，又为增函数，由（1）所得f(x)解析式知：上递增，∴在单调递增-故，故.16．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）由已知得，又，所以作差得，故所以又当时，，又，故故数列是首项为2，公比为2的等比数列（2）由（1）可知：，故所以综上可知：17．【答案】（1）；（2）−∞,1.【详解】（1）函数的定义域为0,+∞设，由得：，由得：，所以在单调递减，在单调递增，，（2）若在内恒成立，可得在内恒成立，令，，因为，所以，，，，所以，可得在上单调递减，所以当时，有最小值，得，所以，故的取值范围是−∞,1，18．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）因为函数在处的泰勒展开式为（其中表示的n次导数），所以，，在处的泰勒展开式分别为：；；.（2）把在处的泰勒展开式中的替换为，可得，所以，即.（3）由在处的泰勒展开式，先证当时，，令，，又，则，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，再令，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，而，所以当时，恒成立，则，所以.1