《数学实验 第4版》课件 1.5 MATLAB符号计算

1第一章准备实验实验1.1MATLAB的基本用法实验1.2矩阵的运算实验1.4MATLAB绘图实验1.3M文件与程序设计实验1.5MATLAB符号运算实验1.5MATLAB符号计算一、MATLAB的符号功能二、求极限三、求导数四、求积分五、级数的和六、泰勒多项式七、解方程八、其他一、MATLAB的符号功能什么是符号运算 特点：运算对象可以是没赋值的符号变量※

数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。与数值运算的区别实验1.5

MATLAB符号计算※

符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达。可以获得任意精度的解2.建立符号对象的函数——syms进行符号运算时需要先定义符号变量，一般用syms命令来定义符号变量symsabtxyf=a*(2*x-t)^3+b*sin(4*y)↙f=b*sin(4*y)-a*(t-2*x)^3实验1.5

MATLAB符号计算二、求极限——limitlimit(f)当符号变量x（或最接近字母x）→0时函数f的极限limit(f,t,a)当符号变量t→a时函数f的极限limit(f,t,a,“left”)；limit(f,t,a,“right”)指左右极限例1

求下列极限symsxat；limit(sin(x)/x)↙ans=1实验1.5

MATLAB符号计算limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)↙limit(1/x,x,0,“right”)↙v=[(1+a/x)^x,exp(-x)]；limit(v,x,+inf)↙ans=exp(6*t)ans=

Infans=[exp(a),0]实验1.5

MATLAB符号计算例2应用实例——连续复利问题复利，即利滚利，不仅是一个经济问题，而且是一个古老又现代的社会问题。随着商品经济的发展，复利计算将日益普遍，同时复利的期限将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息。

连续复利，是一种理论上的付息方式，指银行连续不断地向顾客付利息，即在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率，此时不同期之间的间隔很短，可以看作是无穷小量。

某顾客向银行存入本金p元，n年后他在银行的存款额是本金及利息之和．设银行规定年复利率为r，试计算连续复利情况下顾客的最终存款额．若银行一年活期年利率为0.03，储户存10万元的人民币，连续复利比按年一次性结算会多多少利息？实验1.5

MATLAB符号计算某顾客向银行存入本金p元，年利率为r,计算n年后的本利和。我们先假设每年结算m次，此时复利率为.n年共结算mn次，将n年后顾客的存款额记为，则在连续复利的情况下，顾客最终的存款额为：实验1.5

MATLAB符号计算symsna=limit(100000*(1+0.03/n)^n,n,inf)formatshort,100000*exp(3/100)下面计算10万元在连续复利情况下一年后的本利和a=100000*exp(3/100)ans=1.0305e+05

由此可见，一年后本息总和将稳定在103050元，比按年一次性结算多50元利息,只要年利率不大，复利利息和按季、月、天连续计算所得结果相差不大。注：当利率增加时，二者之差会快速增长，因此对待高利息、小周期的“校园贷”等贷款，大家一定要避而远之。实验1.5

MATLAB符号计算三、求导数——diffdiff(f)函数f对符号变量x或（字母表上）最接近字母x的符号变量求（偏）导数diff(f,’t’)函数f对符号变量t求导数diff(f,n)求n阶导数symsaxf=sin(a*x)↙例如t=-x^2*sin(a*x)f=sin(a*x)g=diff(f)↙g=a*cos(a*x)h=diff(f,'a')↙h=x*cos(a*x)t=diff(f,'a',2)↙实验1.5

MATLAB符号计算e=diff(f,2)↙

e=-a^2*sin(a*x)int(f)函数f对符号变量x或最接近字母x的符号变量求不定积分int(f,’t’)函数f对符号变量t求不定积分int(f,a,b)函数f对符号变量x或最接近字母x的符号变量求从a到b的定积分int(f,’t’,a,b)函数f对符号变量t求从a到b的定积分四、求积分——int实验1.5

MATLAB符号计算g1=-cos(a*x)/a例如symsaxf1=sin(a*x)；g=int(f1)↙h1=int(f1,'a')↙h1=-cos(a*x)/x实验1.5

MATLAB符号计算f2=exp(-x^2)f2=exp(-x^2)↙g2=int(f2)↙g2=(pi^(1/2)*erf(x))/2其中因为我们知道这个积分无解析表达式．，因此上面根本没有计算出积分，c=(pi^(1/2)*erf(1))/2c=int(f2,0,1)↙当积分无解析式时，可用double计算定积分的值ans=0.7468double(c)↙实验1.5

MATLAB符号计算a=int(f1,0,1)↙a=-(cos(a)-1)/ab=int(f1,'a',0,1)↙b=-(cos(x)-1)/x对于二重积分,MATLAB中没有相应的命令,但由于二重积分可以化成二次积分来进行计算，因此只要确定出积分区域，就可以反复使用int命令来计算二重积分.例1

计算二重积分，其中D是由直线所围成的区域.解

该积分可以写成或按第一种形式用MATLAB求解如下：实验1.5

MATLAB符号计算即symsxyI1=int(x^2*exp(-y^2),x,0,y)↙I1=(y^3*exp(-y^2))/3I=int(I1,y,0,1)↙I=1/6-exp(-1)/3实验1.5

MATLAB符号计算

如果采用第二种形式，手工无法计算，而用MATLAB却照样可以算出结果，求解如下：I=1/6-exp(-1)/3symsxyI1=int(x^2*exp(-y^2),y,x,1)↙I1=(x^2*pi^(1/2)*(erf(1)-erf(x)))/2

I=int(I1,x,0,1)↙实验1.5

MATLAB符号计算symsum(s,t,a,b):表达式s中的符号变量t从a到b的级数和（t缺省时，设定为x或最接近x的字母）五、级数的和symsum(k,0,n)↙例如：ans=(n*(n+1))/2symsknsymsum(k)↙

ans=k^2/2-k/2

实验1.5

MATLAB符号计算symsum(k^2,0,n)↙ans=(n*(2*n+1)*(n+1))/6symsum(k^2,0,10)↙ans=385symsum(1/k^2,1,inf)↙ans=pi^2/6symsum(k^4,0,n)↙ans=(n*(2*n+1)*(n+1)*(3*n^2+3*n-1))/30实验1.5

MATLAB符号计算六、泰勒多项式taylor(f,x,a)：函数f对符号变量x在a点的5阶泰勒多项式taylor(f,x,a,’Order’,n)：求函数f对符号变量x在a点的n-1阶泰勒多项式（a缺省时设定为0）symsxt；taylor(exp(-x),x)↙

ans=-x^5/120+x^4/24-x^3/6+x^2/2-x+1taylor(sin(x),x,pi/2,'Order',8)↙ans=

(x-pi/2)^4/24-(x-pi/2)^2/2-(x-pi/2)^6/720+1实验1.5

MATLAB符号计算七、解代数方程（组）解代数方程（组）的基本命令是：实验1.5

MATLAB符号计算solve(eqn,var)solve(eqn,var,name,value)solve(eqns,vars)solve(eqns,vars,name,value)symspxreqn=p*sin(x)==r;s=solve(eqn)↙%x为未知数，p,r为参数s=asin(r/p)pi-asin(r/p)x=13y=1-3/2

%以x，y为未知数的方程组symsxyeqn1=x^2+x*y+y==3;eqn2=x^2-4*x+3==0;[x,y]=solve(eqn1,eqn2)↙实验1.5

MATLAB符号计算s=

包含以下字段的struct:x:[2×1sym]y:[2×1sym]%对于多元方程组，如果输出参数只有一个的话，只给出解的结构symsxyeqn1=x^2+x*y+y==3;eqn2=x^2-4*x+3==0;s=solve(eqn1,eqn2)↙

u=1-(a+(-a)^(1/2))/(a+1)1-(a-(-a)^(1/2))/(a+1)v=-(a+(-a)^(1/2))/(a+1)-(a-(-a)^(1/2))/(a+1)%u，v为未知数，a为参数symsuvaeqn1=a*u^2+v^2==0;eqn2=u-v==1;[u,v]=solve(eqn1,eqn2,[u,v])

↙实验1.5

MATLAB符号计算%a，u，v为未知数eqn3=a^2-5*a+6==0[a,u,v]=solve(eqn1,eqn2,eqn3)↙a=2233u=1/3-(2^(1/2)*1i)/3(2^(1/2)*1i)/3+1/31/4-(3^(1/2)*1i)/4(3^(1/2)*1i)/4+1/4v=-(2^(1/2)*1i)/3-2/3(2^(1/2)*1i)/3-2/3-(3^(1/2)*1i)/4-3/4(3^(1/2)*1i)/4-3/4实验1.5

MATLAB符号计算x=-0.66870120500236202933135901833637y=-1.5528386984283889912797441811191注:无代数解时，只能给出数值解symsxyeqns=[sin(x+y)-exp(x)*y==0,x^2-y==2];[x,y]=solve(eqns,[x,y])↙实验1.5

MATLAB符号计算roots:

输入多项式的系数（按降幂排列），输出其全部根．poly：输入多项式全部根，输出其系数fzero(fun,x0)：给出函数“fun”在x0附近的根如果求方程的数值解，则有以下命令：ans=

32例如%的全部根roots([1,-5,6])↙实验1.5

MATLAB符号计算ans=1-56poly([2,3])↙ans=3.1416%sinx=0在3附近的解fzero('sin',3)↙实验1.5

MATLAB符号计算ans=-0.1999fzero('x^5+5*x+1',0)↙%在0附近的解ans=

0.7528+0.7105i0.7528-0.7105i-0.6530+0.7130i-0.6530-0.7130i-0.1997+0.0000iroots([5,0,0,0,5,1])↙但用roots求数值解时误差校大注：当

y是因变量,t是自变量时，用diff(y,t,n)表示“y对t的n阶导数”八、解常微分方程（组）求解常微分方程（组）的一般命令是dsolve(eqn)，dsolve(eqn,cond),

其中eqn为待解的方程，如果有多个，则为求解方程组；cond为初始条件，如果没有给出初始条件，则求出微分方程（组）的通解.比如：diff(y,t)表示一阶导数diff(y,x,2)表示二阶导数实验1.5

MATLAB符号计算例4

求微分方程的通解．symsy(x)eqn=2*diff(y,x,2)+diff(y,x)-y==2*exp(x)；y=dsolve(eqn)↙y=exp(x)+C1*exp(-x)+C2*exp(x/2)解例5

求微分方程的通解和满足初始条件和的特解．解symsy(t)eqn=diff(y,t,4)==y;y=dsolve(eqn)↙y=C3*cos(t)+C2*exp(t)-C4*sin(t)+C1*exp(-t)实验1.5

MATLAB符号计算symsy(t)eqn=diff(y,t,4)==y;Dy=diff(y,t);D2y=diff(y,t,2);D3y=diff(y,t,3);cond1=y(0)==2;cond2=Dy(0)==2;cond3=D2y(0)==1;cond4=D3y(0)==1;cond=[cond1cond2cond3cond4];y=dsolve(eqn,cond)↙

y=cos(t)/2+(3*exp(t))/2+sin(t)/2即所求特解为：实验1.5

MATLAB符号计算例6

求微分方程组的通解．解symsx(t)y(t)eqns=[diff(x,t)+diff(y,t)==-x+y+3,diff(x,t)-diff(y,t)==x+y-3];[x,y]=dsolve(eqns)↙

x=cos(t)*(C1+3*cos(t))+sin(t)*(C2+3*sin(t))y=cos(t)*(C2+3*sin(t))-sin(t)*(C1+3*cos(t))实验1.5

MATLAB符号计算例7求微分方程组的特解．解symsx(t)y(t)eqns=[2*diff(x,t)-4*x+diff(y,t)-y==exp(t),diff(x,t)+3