长沙市某中学2022-2023学年高一年级上册期末数学试卷（含解析）

长郡中学2022年下学期高一期末考试

数学

时量：120分钟满分：150分

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.)

/(x)=ln(2-x)+-

1.函数x的定义域是(

A.B.(0,2)

C.(-0),0)_(0,2)D.(-o),0)u(0,2]

答案：C

解析：由2—九>0可得尤<2,又因为xwO,所以函数/(九)的定义域为(—8,0)1(0,2).

故选：C.

2.命题“三不£艮%2一3%+3V0”的否定是(

A.VxeR,x2-3x+3>0B.VXGR,X2-3x+3>0

C.3xGR,x2-3x+3>0D.3XGR,X23X+3>0

答案：A

解析：解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，

所以命题“HrGR,x2-3%+3V。”的否定是V%GR,x2-3%+3>0.

故选：A.

3.用二分法求函数y=/(x)在区间［2,4］上零点的近似值，经验证有了(2)"(4)<0,取

区间的中点不=誓=3,计算得/⑵♦/(%)<(),则此时零点与满足()

A.玉)=%B.x0>xxC.2<x0<3D.x0<2

答案：C

解析：解：由题意，因为/(2)4(%)<0,

所以函数/（X）在区间（2,西）上一定存在零点，

即函数的零点与满足2＜小＜3.

故选：C.

4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和

小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足

L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为

（）（痈=1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

答案：C

解析：由L=5+lgV,当L=4.9时，lgV=-0.1,

1______1

则丫=1041=1。-记x0.8.

西~1.259

故选：C.

兀35兀

5.若cost----cif)=一，且aG(一,71)，则tan(aH-----)=()

2524

331

A.——B.-C.-D.7

447

答案：C

解析：依题意。w—,Ji,cos(--a)=sina=-,cosa=-Vl-sin26z

々tana+tan——

3/3c兀、A

，tana二——，.二tan(aH----)二------------三一

4415兀

I-tana-tan——

4

故选：C

I2।

6.若正实数x,y满足一+—=1,则x+2y的最小值为（）

A.7B.8C.9D.10

答案：C

解析：因为x,y是正数，

所以有(-+-l(x+2y)=5+^+—>5+2=9,

y)、xy

2y2x八

当且仅当上=—时取等号，即当且仅当元=y=3时取等号，

%y

故选：c

7.己知函数〃x)=21n%2—3[司+3,其中国表示不大于x的最大整数(如[1.6]=1,

[—2.1]=—3),则函数“％)的零点个数是()

A.1B.2C.3D.4

答案：D

解析：设函数g(无)=2出/，h(x)=3[x]-3,

则g(—x)=21n(-x)2=21nx2=g(x),所以函数g(%)为定义域上的为偶函数，

作出函数g(x)=21nV与力⑺=3团—3的图象,如图所示，

当—1<%<0时，川无)=—6,结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；

当0<x<l时，//(%)=—3,结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；

当x=l时，g(无)=/z(x)=O,两函数有1个交点，即1个零点；

当2Wx<3时，〃(无)=3,41n2Wg(x)<41n3,此时两函数有1个交点，即1个零点,

综上可得函数/(%)=2In三—3国+3共4个零点.

8.若函数〃尤)的定义域为R,且/(2x+l)偶函数，〃无-1)关于点(3,3)成中心对称,

则下列说法正确的个数为()

①的一个周期为2②〃22)=3

19

③/(无)的一条对称轴为1=5=57

Z=1

A.1B.2C.3D.4

答案：C

解析：因为/(2x+l)偶函数，所以“1—2%)=/(1+2力，则〃lr)=F(l+x),即函数

/(九)关于直线1=1成轴对称,

因为函数/(%)的图象是由函数/(x-1)的图象向左平移1个单位，所以函数/(%)关于点

(2,3)成中心对称,则"2-p)=6-42+%),且"2)=3,

对于①，/(x+2)=6-/(2-x)=6-/(l-(x-l))=6-/(l+x-l)=6-/(x),

/(x+4)=/(2+x+2)=6-/(2-x-2)=6-/(-x)=6-/(1-(%+1))

=6-/(l+x+l)=/(2-x)=/(l+l-x)=/(l-l+x)=f(x),则函数/(x)的周期

T=4,故①错误；

对于②,/(22)=/(2+4x5)=/(2)=3,故②正确；

对于③，/(5+x)=/(l+x+4)=/(1+%)==/(l-x+4)=/(5-x),故③

正确；

对于④，/(1)=/(2-1)=6-/(2+1),则〃1)+〃3)=6,

/(4)=/(0)=/(1-1)=/(1+1)=/(2)=3,则〃2)+〃4)=6,

由19+4=43,贝U

19

£〃，)=〃1)+〃2)++/(19)

i=l

=4(/(1)+/⑵+〃3)+/(4))+/(17)+/(18)+〃19)

=4x(6+6)+/(l)+/(2)+/(3)=48+6+3=57,故④正确.

故选：C.

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.）

9.设函数/（x）=H，%<2,若=则x的取值可能是（）

log2（x-l）,x>2

A.0B.3C.-1D.2

答案：AB

解析：若x<2,则/i（乃=］；）=1,解得％=0,满足题意；

若xN2,则/（x）=log2（x—l）=l,解得％=3,满足题意;

故选:AB.

10.下列各式中，值为。的是（）

57r

A.sin一B.2sinl50cosl5°C.2cos2150-lD.

6

—tan210°

2

答案：ABD

5TITC71I

解析：对于A：sin——=sin（»-一）=sin—=一,所以A正确；

6662

对于B：2sinl5cosl5=sin30,所以B正确；

2

对于c：2COS215-1=COS30=—，所以C不正确;

2

对于D：1tan210=—tan（180+30）=—tan（30）=^x—=-,所以D正确，

222232

故选：ABD.

11.生活经验告诉我们，。克糖水中有6克糖（a>0,b>0,且a>6）,若再添加c克糖（c>0）

h+ch

后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：——>—.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和

a+ca

不等式的性质判断下列命题一定正确的是（）

b+mh

A.若。>人>0,加>0,则-----与一的大小关系随机的变化而变化

a+ma

ebb+m

B.右m<0,贝!J—<-------

aa+m

C-PR,八,八„.b+db+c

C.右a>〃>0,c>d>0,则—-<---

a+aa+c

abab

D.若a>0力>0,则一定有-------1-----<------+-----

1+a+b1+a+b1+Q1+/?

答案：CD

h+rnh

解析：解：对于A,根据“糖水不等式”，若a>b>0,m>0,则----->-,故A错误;

a+ma

h1hYHh

对于B,当〃=3/=1,根=—2时，一二—,-----=-1<-,与题设矛盾，故B错误；

a3a+ma

对于C,若c>d>0,则c—d>0,a+d>b+d>。,

b+d+c—db+d„b+db+c"十红

根据“糖水不等式”,------------>-----,即一j<——，故C正确;

a+d+c-da+da+da+c

对于D,若a>0,Z?>0,则1+〃+Z?>1+Q>0,1+Q+Z?>1+Z?>0,

1+a+b1+a"1+a+b1+b

所以「—故D正确.

1+a+Z?1+a+Z?1+u1+Z?

12.已知函数/(x)=l-5不是奇函数，下列选项正确的是()

A.m=2

「13一

B.函数在［—1,2)上的值域为-L

C.V%px2eR,且玉NX2，恒有&菁)_/(々))>0

D.若VxeR,恒有“2九-1)</(以2—2%)充分不必要条件a>5

答案：ACD

解析：因为函数/(x)=l-w二是奇函数，且定义域为R,

所以"0)=1—万=0,解得加=2.

2_2A'-1

当加=2时,小)=1-

2、+1—2、+1

,一％_11_)％

则〃—X)=177t=台1r=—y(x),故函数是奇函数，故A正确;

9iQ

因/（x）=l—的在H，2）上单调递增，且〃T）=—§，/'⑵=丁

所以函数“X）在［—1,2）上的值域为一,J，故B错误；

因为/（x）=l—亍三单调递增，

所以且工产％2，恒有（%-%乂/（%）—/（12））>。，故C正确；

因/（x）=l--3-单调递增，

2+1

所以/（2x-l）</（依2—2%）可转化为2%—1<依2—2%，即依2一4*+1>0对于VreR

恒成立.

当。=0时，Tx+l>0不恒成立，不符合题意；

f<7>0,

当awO时，可得{/、2'解得。>4.

［（一4）—4a<0

故VxeR,恒有/（2%-1）</（加-2%）的充要条件为0>4.

因为{a|a>5}\a\a>4},

所以VxeR,恒有“2x—1）</（依2-2%）充分不必要条件为。>5,故D正确.

故选:ACD.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

2兀

13.半径为2cm,圆心角为？-的弧长为cm.

"心4兀4

答案：

33

解析：l=\a\r=^-2=^-

4兀

故答案为：—

3

14.已知常数a>0,awl,假设无论。为何值，函数y=log“（x—2）+1的图象恒经过一

个定点，则这个定点的坐标是.

答案：（3』）

解析：因为y=10g。％的图象必过（1,。），即log〃l=0,当X—2=1,即尤=3时，y=L

从而y=log”(x—2)+1图象必过定点(3,1).

故答案为：(3,1).

15.己知E=X€R|3m-4<x<—m+l,m€R,若“aeE”是“函数

8

/(x)=3依2—(4a—l)x+7在区间［0,1］上为增函数”的必要不充分条件，则实数加的取值

范围为.

7

答案：—2<m〈一

6

解析：函数/(x)=3加—(4a—1卜+7在区间［0』上为增函数，

a=0时，/(x)=x+7符合题意；

4Q—11

。〉0时，-----<0,0<a«一,

6a4

4(7-11

时，----->1,——<a<0,

6a2

综上—WaV—,即—,一］，

2424

又“aeE”是的必要不充分条件，

3m-4<--

27

所以/,解得—2<加

3116

—m+1>—

184

7

故答案为：—2<根<一.

6

16.己知函数〃x)=Asin0MA>0,0>0),若至少存在两个不相等的实数

%,々6［匹2万］,使得/(石)+/(%)=2A,则实数0的取值范围是

…'951「13\

答案：口—,+°°

424)

解析：•至少存在两个不相等的实数外,％26［应2%］,使得/(玉)+/(%)=2A,

.•.当乃>2T=v，即0>4时，必存在两个不相等的实数药,&«凡2可满足题意;

当乃<2T,即0<。<4时，（oxe[71a）,2TTCO\,

JI1c,

力①〈一+2k7ico—卜2k

）（左eZ）,.•2s（左叼；

2n①N---F2k兀a）>-+k

4

9513

当左WO时，解集为0,不合题意；令k=l,则一WoV—；令左=2,则一<。<4；

424

[95]

综上所述：实数。的取值范围为u

_42_4

「95]F13、

+

故答案为：[42J。]~4T'0°）-

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤）

17.已知集合4={可7<1-％43},B=^x\2m-4<x<3m+4^.

（1）若〃z=0,求Ac6；

（2）若=求实数机的取值范围.

答案：（1）AB={x|-2<x<4}；

（2）—<m<l.

3

1.由题设,A={x\-2<x<5},B={x|-4<x<4},

所以AB={x|-2<%<4}.

2tn—4<—21

2.由题意Au3,贝啾,可得一<相<1.

—3m+4>53

18.己知3是函数/（x）=2asinxcosx+2cos2x+1的一个零点.

（1）求实数。的值；

（2）求/（x）单调递减区间.

答案：(1)-V3

(2),kji--7-1,k,nH—TC,k[eZr

_63_

1.解：因为/(%)=2asinxcosx+2cos2x+1,所以/(%)=asin2x+cos2x+2

由题意可知/(耳]=°，即/[耳]=〃sinq-+cos-1-+2=0,

即/=曰a—g+2=0,解得a=_逸.

2.解：由(1)可得/(x)=cos2x-石sin2x+2=2cos[2x+?]+2,

函数y=c0sx的递减区间为[2左匹2左乃+句，左eZ.

冗兀兀—

令2k冗<2x-\——<2k7r+兀,keZ,得ki<x<k"——eZ,

363

■TJjr

所以/(X)的单调递减区间为k7i--M+-，左eZ.

19.设函数/(x)=(x-4)(x-a),aeR.

(1)解关于x的不等式，/(%)<0；

(2)当xw(4,+”)时，不等式/(%)2—16恒成立，求a的取值范围.

答案：(1)答案见解析；

(2)a<12.

1.当a<4时，不等式f(x)=(x-4)(x-a)<0的解集为(a,4),

当a=4时，不等式/(%)=(%—4)(%-«)<0的解集为0,

当。>4时，不等式f(x)=(x-4)(x—a)<0的解集为(4,a).

2.因为xe(4,+oo),由/(无)2-16可得：x-a>—与，即aWx+1],

因为x+^-=x—4+^-+422、/(%—4>^-+4=12,当且仅当x—4=^-,即

x—4x-4Vx—4x-4

x=8时等号成立,

所以Q<12.

20.己知g(x)是定义在(-2,2)上的奇函数，且〃x)=g(x)+2.

(1)若/(a)=4,求”一。)的值；

(2)对任意的d，x2e(-2,2),%1*x2,恒有[/(%1)-/(々)](西一々)>0，解关于才

的不等式“2九一l)+〃x)>4.

答案：(1)0；(2)g，|]

1.因为g(x)是奇函数，所以g(a)+g(—a)=0,

贝U/(a)+/(-a)=g(a)+2+g(-a)+2=4,

因为/(a)=4,所以〃一a)=0；

2.不妨设一2<%<々<2,则%-%<0，

又因为[/(司)一/(々)](花一%2)>°，

所以/(%)一/(X2)<°，

则〃龙)在(—2,2)上单调递增，

所以g(力=/(力—2在(—2,2)上单调递增；

因为了(2x—1)+/(九)>4,

所以/(2x—l)-2+/(x)—2>0,

所以g(2x-l)+g(x)>0,

又因为g(x)为奇函数，所以g(2x-l)>g(-x),

—2<2%—1<2

又因为g(x)在(-2,2)上单调递增，所以-2<-x<2,

2x—1>—x

<一2<%<2—<%<一

32

则不等式/（2%-l）+/（x）＞4的解集为

21.在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只

股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间无（天）

的关系在ABC段可近似地用函数y=。sin（a）x+。）+20（a＞0,＞0,0＜。＜»）的图像

从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的。点在底部横盘整理，

今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线

DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线/:%=34对称，点8、。的坐标分别是（12,20）、

(44,⑵.

（1）请你帮老张确定。、ox。的值，写出ABC段的函数表达式，并指出此时尤的取值范

围；

（2）请你帮老张确定虚线OE尸段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；

（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买

入价的两倍？

答案：（1）,a=8,co=,（p=—,/（x）=8cos^^x+20,xe[0,24]

（2）y=8cos■^■（68-x）+20,xG[44,68]（3）16天.

解析：（1）由图以及民。两点的纵坐标可知：a=20-12=8,3=12,可得：7=48,

jrj7TTC

由三义24+0=5一+2左〃■(左GZ)解得：(p=—