六年级数学下册 【典型例题系列】典型例题系列之第一单元圆柱与圆锥提高篇（一） 带解析（北师大）

六年级数学下册典型例题系列之第一单元圆柱与圆锥提高篇（一）（解析版）编者的话：《六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。本专题是第一单元圆柱与圆锥提高篇（一）。本部分内容主要选取圆柱与圆锥单元较有难度的题型，也是期末考试常见的考点考题，建议把该部分作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十一个考点，欢迎使用。【考点一】圆柱表面积的三种增减变化：高的变化引起表面积的变化。【方法点拨】底面积不变，圆柱高的变化引起表面积的变化，由于底面积没有变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以求出底面周长，进而求出表面积。底面周长C=变化的表面积÷变化的高度。【典型例题】一个圆柱被截去10厘米后（如下图），圆柱的表面积减少了628平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？（π取3.14）解析：圆柱的底面周长：628÷10=62.8（厘米）底面半径：62.8÷2÷3.14=10（厘米）原来圆柱的表面积：3.14×102×2+62.8×（15+10）=628+1570=2198（平方厘米）答：原来圆柱的表面积是2198平方厘米。【对应练习1】一个圆柱体，高减少2厘米，表面积就减少了50.24平方厘米，圆柱的底面积是多少平方厘米？解析：底面周长：50.24÷2=25.12（厘米）底面圆的半径：25.12÷2÷3.14=4（厘米）底面积：3.14×42=50.24（平方厘米）答：圆柱的底面积是50.24平方厘米。【对应练习2】一个圆柱的底面直径为4厘米，如果高增加1厘米，表面积增加多少平方厘米。解析：底面周长：3.14×4=12.56（厘米）表面积增加：12.56×1=12.56（平方厘米）答：表面积增加12.56平方厘米。【对应练习3】一个圆柱的底面周长和高相等，如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，求这个圆柱体原来的表面积？解析：底面周长：12.56÷2=6.28（厘米）侧面积：6.28×6.28=39.4384（平方厘米）两个底面积：6.28×3.14÷2=1（厘米）3.14×12×2=6.28（平方厘米）表面积：39.4384+6.28=45.7184（平方厘米）答：圆柱原来的表面积是45.7184平方厘米。【对应练习4】一个圆柱被截去后，圆柱的表面积减少了（如下图），原来圆柱的表面积是多少平方厘米？解析：底面周长：62.8÷10＝6.28（cm）底面半径：6.28÷3.14÷2＝2÷2＝1（cm）原来的表面积：3.14×12×2＋6.28×（10＋15）＝6.28＋6.28×25＝6.28＋157＝163.28（cm2）答：原来圆柱的表面积是163.28平方厘米。【考点二】圆柱表面积的三种增减变化：横切引起的表面积变化。【方法点拨】平行于底面切（横切）一刀：多出的两个面是底面，即两个圆。【典型例题】如图，一根长4米，横截面是半径为2分米的圆柱形木料被截成同样长的2段后。表面积比原来增加了多少平方分米？（π取3.14）解析：3.14×22×2=25.12（平方分米）答：增加了25.12平方分米。【对应练习1】把一段长1米，侧面积18.84平方米的圆柱体的木料，沿着平行于底面的方向截成两段，这时它的表面积增加了多少平方米？解析：底面圆的周长：18.84÷1=18.84（米）底面圆的半径：18.84÷3.14÷2=3（米）增加的面积：3.14×32×2=56.52（平方米）答：增加了56.52平方米。【对应练习2】把一个半径2分米、长1米的圆木平均截成3段，表面积共增加多少平方分米？解析：（3.14×22）×6＝12.56×6＝75.36（平方分米）所以，表面积共增加了75.36平方分米。【对应练习3】把一个底面半径是40cm，长是12分米的圆柱形木头锯成长短不同的4小段圆柱形木头，表面积增加了多少平方分米？解析：40cm＝4dm3.14×42×6＝3.14×16×6＝50.24×6＝301.44（dm2）答：表面积增加了301.44平方分米。【考点三】圆柱表面积的三种增减变化：竖切引起的表面积变化。【方法点拨】垂直于底面切（竖切）：多出的两个面是长方形，即以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。【典型例题】工人把一根高是1米的圆柱形木料，沿底面直径平均分成两部分，这时两部分的表面积之和比原来增加了0.8平方米。求这根木料原来的表面积。解析：由题意可知，增加了两个长方形的面积。一个长方形的面积：0.8÷2=0.4（平方米）底面圆的直径：0.4÷1=0.4（米）底面圆的半径：0.4÷2=0.2原来的表面积：3.14×0.22×2+3.14×0.4×1=1.5072（平方米）答：原来的表面积是1.5072平方米。【对应练习1】一个底面半径4cm，高5cm的圆柱，如果沿底面直径把它平均切成两半，它的表面积增加了多少平方厘米？解析：由题意可知，表面积增加了2个长方形。2×4×5×2=80（平方厘米）答：表面积增加了80平方厘米。【对应练习2】如图，把一个高10厘米的圆柱沿底面直径垂直切成两部分，这两部分的表面积之和比原来增加了200平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？（结果可用含有的式子表示）解析：200÷2＝100（平方厘米）100÷10＝10（厘米）π×10×10＋π×（10÷2）2×2＝100π＋50π＝150π（平方厘米）答：原来圆柱的表面积是150π平方厘米。【对应练习3】一个底面周长是、高是的圆柱，沿底面直径垂直把它切割成完全相同的两部分后，切割面的面积一共是多少平方厘米？解析：切割后如图所示，切面是两个完全相同的长方形，宽是圆柱的底面直径，即，长是圆柱的高，即。根据长方形的面积公式可求出切割面的面积一共是多少。；＝18×2＝36（平方厘米）答：切割面的面积一共是。【对应练习4】把一个高为5厘米的圆柱从直径处沿高剖成两上半圆柱，这两个半圆柱的表面积比原来增加80平方厘米，求原来圆柱的表面积。解析：圆柱的直径是：80÷2÷5＝8（厘米）圆柱的表面积是：3.14×（8÷2）2×2＋3.14×8×5＝3.14×16×2＋3.14×8×5＝100.48＋125.6＝226.08（平方厘米）答：原来圆柱的表面是226.08平方厘米。【考点四】圆柱表面积的三种增减变化方式在体积中的应用。【方法点拨】1.圆柱高的变化引起表面积的变化：由于底面积没有变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以求出底面周长，进而求出表面积，即底面周长C=变化的表面积÷变化的高度。2.横切引起的表面积变化。平行于底面切（横切）一刀，多出的两个面是底面，即两个圆。3.竖切引起的表面积变化。垂直于底面切（竖切），多出的两个面是长方形，即以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。【典型例题1】一个圆柱，如果把它的高截短3m，它的表面积就会减少，那么这个圆柱的体积减少多少立方米？解析：；答：这个圆柱的体积减少235.5立方米。【典型例题2】把一根长4米的圆柱形钢材截成两段，表面积比原来增加15.7平方厘米。这根钢材的体积是多少立方厘米？解析：4米＝400厘米15.7÷2×400＝3140（立方厘米）答：这根钢材的体积是3140立方厘米。【对应练习1】将一根底面直径是的圆柱形木料，沿高切成形状、大小完全相同的两块后，表面积增加了。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？解析：＝180÷6＝30（分米）＝28.26×30＝847.8（立方分米）答：这根圆柱形木料的体积是。【对应练习2】把一根长为1.2米的圆柱形钢材截成3段,表面积增加了6.28平方分米，原来这根钢材的体积是多少?解析：1.2米=12分米6.28÷4=1.57（平方分米）1.57×12=18.84（立方分米）答：这根钢材原来的体积是18.84立方分米。【对应练习3】一个圆柱高为15厘米，把它的高增加2厘米后表面积增加25.12平方厘米，求原来圆柱的体积。解析：圆柱的底面周长：25.12÷2=12.56（厘米）底面半径：12.56÷3.14÷2=2（厘米）体积：3.14×22×15=3.14×4×15=188.4（立方厘米）答：原来圆柱的体积是188.4立方厘米。【对应练习4】底面直径是20厘米的圆钢，将其截成两段同样的圆钢，两段表面积的和为7536平方厘米，原来圆钢的体积是多少立方厘米？解析：4个底面积是：3.14×（20÷2）2×4＝3.14×100×4＝1256（平方厘米）侧面积是：7536﹣1256＝6280（平方厘米）高是：6280÷3.14÷20＝100（厘米）所以原来圆钢的体积是：3.14×（20÷2）2×100＝3.14×100×100＝31400（立方厘米）答：原来圆钢的体积是31400立方厘米。【考点五】圆柱与长方体的拼切转化问题。【方法点拨】将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。【典型例题】把一个底面半径是的圆柱切拼成一个近似的长方体后（如图），表面积增加了，原来圆柱的体积是多少立方厘米？解析：圆柱的高：圆柱体积：答：原来圆柱的体积是。【对应练习1】把一个高为1米的圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似的长方体，已知拼成后长方体表面积比原来圆柱表面积增加了40平方分米，原来圆柱体的体积是多少立方分米？解析：1米＝10分米圆柱的底面半径为：40÷2÷10＝2（分米）体积：3.14×22×10＝3.14×4×10＝125.6（立方分米）答：这个圆柱的体积是125.6立方分米。【对应练习2】把高5厘米的圆柱底面分成若干等份，把圆柱切开拼成一个近似的长方体，长方体表面积比圆柱增加20平方厘米。求原来圆柱的体积。解析：底面半径：20÷2÷5＝2（厘米）圆柱体积：3.14×22×5＝62.8（立方厘米）答：圆柱的体积是62.8立方厘米。【对应练习3】如图所示，把底面直径为8厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米。（1）同学们回忆圆柱体积计算公式的推导过程，用自己喜欢的方式将它记录下来。（2）那么圆柱的高是多少厘米？长方体的体积是多少立方厘米？解析：（1）把圆柱底面平均分成若干等份的小扇形，沿圆柱的高切开，拼成一近似的长方体。发现长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积等于底面积乘高，所以圆柱的体积也等于底面积乘高。若体积用字母∨表示，底面积用字母S表示，高用h表示，即体积为：V＝Sh。（2）80÷2÷（8÷2）＝40÷4＝103.14×（8÷2）2×10＝3.14×160＝502.4（立方厘米）答：圆柱的高是10厘米，长方体的体积是502.4立方厘米。【考点六】比在圆柱中的三种应用方式。【方法点拨】1.当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。2.当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。3.已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。【典型例题1】已知两个圆柱的底面积相等，高的比是1∶2，体积比是（）。解析：1∶2【典型例题2】已知两个圆柱的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（）。解析：2∶3。【典型例题3】两个圆柱高的比是2∶3，半径比是1∶2，则体积比是多少?解析：1:6。【对应练习1】两个圆柱的高相等，半径比是1∶2，则体积比是多少?解析：1∶4。【对应练习2】两个等高的圆柱底面半径的比是4∶3，它们的体积比是多少解析：16:9。【考点七】比在圆锥体积中的应用。【方法点拨】1.圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。2.圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。3.圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。【典型例题】（1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比（）。（2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（）。（3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少?解析：（1）1:2；（2）2:3；（3）1:12【对应练习1】有一块体积为60的圆柱形橡皮泥，如果把这块橡皮泥重新捏成底面积和高均和圆柱相等的圆锥，问剩余的橡皮泥体积是多少?解析：40【对应练习2】一块圆柱形橡皮泥，高是2。把这块橡皮泥重新捍成一个圆锥（没有剩余），已知圆锥的底面积和圆柱相等，求圆锥的高。解析：6【对应练习3】已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？解析：8:27【对应练习4】如果两个圆锥的底面半径比为1∶2，高的比是2∶1，它们的体积比是多少？解析：1:2【对应练习5】一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是6平方厘米，则圆锥的底面积是（）平方厘米。解析：18【对应练习6】一个圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的，圆柱和圆锥底面积的比是5∶4。圆柱和圆锥体积的比是多少？解析：5:2【考点八】圆锥的旋转构成法。【方法点拨】直角三角形与圆锥之间的联系沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。【典型例题1】以下图直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，可以得到一个什么图形?所得的图形的底面直径和高各是多少厘米?解析：（1）以6cm长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为16cm，高为6cm的圆锥。（2）以8cm长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为12cm，高为8cm的圆锥。【典型例题2】下图是一个直角三角形，如果以边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是多少立方厘米？解析：3.14×2×2×3÷3＝12.56×3÷3＝12.56（立方厘米）【对应练习1】一个等腰直角三角形的直角边为6cm，以一条直角边为轴旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的高、底面直径和体积分别是()cm、()cm、()立方厘米。解析：据分析知，高是6厘米底面直径：6×2＝12（厘米）体积：（3.14×6×6）×6÷3＝113.04×6＝678.24÷3＝226.08（立方厘米）【对应练习2】一块直角三角形硬纸板（如图），两条直角边AB与BC的长度比是3∶2，AB长9cm。如果以其中一条直角边为轴旋转一周，那么形成的圆锥体积最大是()立方厘米。解析：2×9÷3＝6（厘米）3.14×92×6÷3＝3.14×81×6÷3＝508.68（立方厘米）所以，形成的圆锥体积最大是508.68立方厘米。【对应练习3】下图是一个直角三角形，如果以BC边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是()立方厘米。解析：×3.14×32×2＝9.42×2＝18.84（立方厘米）【考点九】求正方体削成圆柱的表面积。【方法点拨】把正方体削成一个圆柱，正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面圆的直径。【典型例题】如果把棱长是2分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方分米？解析：3.14×2×2＋3.14×（2÷2）2×2＝3.14×2×2＋3.14×2＝12.56＋6.28＝18.84（平方分米）【对应练习1】一个正方体木块的棱长是2dm，现在把它削成一个最大的圆柱．削成的圆柱侧面积是多少dm2？削成的圆柱的体积占原来正方体体积的百分之几？解析：（1）3.14×2×2＝6.28×2＝12.56（平方分米）（2）3.14×（2÷2）2×2÷（2×2×2）＝3.14×2÷8＝6.28÷8＝78.5＝78.5%答：略。【对应练习2】张叔叔制作一个模型，他拿来一个棱长是8分米的正方体铁块，选择其中一个面，从正中间打一个直径为4分米的圆孔，一直穿通到对面（如图）。为了防止生锈，王师傅给这个模型中可能与空气接触的表面都喷上油漆，需喷油漆的面积是多少平方分米？解析：8×8×6－3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×8＝8×8×6－3.14×4×2＋3.14×4×8＝64×6－12.56×2＋12.56×8＝384－25.12＋100.48＝358.88＋100.48＝459.36（dm2）答：需喷油漆的面积是459.36平方分米。【对应练习3】把一个棱长4cm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方厘米？解析：4÷2＝2（厘米）S圆柱＝πr2×2＋πdh＝3.14×22×2＋3.14×4×4＝3.14×8＋3.14×16＝3.14×24＝75.36（平方厘米）答：这个圆柱表面积是75.36平方厘米。【考点十】求正方体削成最大圆柱的体积。【方法点拨】把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。【典型例题】为丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校要举办2021年度的大型科技文化节。科技组在制作过程中需要将一块正方体木料加工成一个最大的圆柱（如下图），已知它的棱长是8dm，求这个圆柱的体积是多少？代入数据计算即可。解析：3.14×2×8＝3.14×16×8＝401.92（dm3）答：这个圆柱的体积是401.92dm3。【对应练习1】有块正方体的木料，它的棱长是4dm，把这块木料加工成一个最大的圆柱。这个圆柱体