六年级数学下册 典型例题系列之第四单元比例的应用部分 带解析（苏教版）

2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之第四单元比例的应用部分（解析版）编者的话：《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。本专题是第四单元比例的应用部分。本部分内容主要考察比例的应用，包括比例的一般应用题和图形的放大与缩小等内容，内容和题型较少，更多有关比例应用题的内容请参考编者《第六单元正比例和反比例的应用部分基础篇》与《第六单元正比例和反比例的应用部分提高篇》，一共划分为四个考点，建议作为本章重点进行讲解，欢迎使用。【考点一】根据对应边的比，列方程解决问题。【方法点拨】该类题型主要考察图形的放大与缩小，要以对应边的比为等量建立方程求解。【典型例题】将下图左边的三角形按比例缩小后得到右边的三角形，求未知数x。解析：解：3.2∶1.6＝4.8∶x3.2x＝1.6×4.8x＝7.68÷3.2x＝2.4【对应练习1】下图中小平行四边形按比放大后得到大平行四边形，求大平行四边形的高。（单位：分米）解析：解：设大平行四边形的高为x分米。3.2∶1.2＝12.8∶x3.2x＝1.2×12.83.2x＝15.36x＝15.36÷3.2x＝4.8答：大平行四边形的高是4.8分米。【对应练习2】把左边的长方形按比例放大后得到右边的图形，右边长方形的宽是多少？（单位：厘米）解析：解：设右边长方形的宽是x厘米。20∶12＝50∶x20x＝12×5020x＝600x＝30答：边长方形的宽是30厘米。【对应练习3】将下图的三角形一定的比缩小后得到右边的三角形，求未知数的值。（单位∶厘米）解析4.5∶x＝6∶3.6解：6x＝4.5×3.66x＝16.2x＝16.2÷6x＝2.7答：未知数x的值是2.7厘米。【考点二】根据已知比例，列方程解决问题。【方法点拨】该类题型已知比例，以题目中的比例作为等量关系建立方程。【典型例题】防疫时期，教室地面和桌子表面需要消毒。桶里放有6.4升水，根据说明，需加入多少消毒剂？（用比例解答）解析：解：设需要加入x升消毒剂。x∶6.4＝1∶1010x＝6.4×110x÷10＝6.4÷10x＝0.64答：需要加入0.64升消毒剂。【对应练习1】无障碍设施建设体现了城市“以人为本”的建设理念。无障碍出入口应设计轮椅坡道，坡道的坡度要符合无障碍设施的设计要求。坡度是指每段坡道的垂直高度与水平长度的比（如图）。一条轮椅坡道的坡度是1∶16，水平长度是12.8m。这条轮椅坡道的垂直高度是多少米？解析：解：设这条轮椅坡道的垂直高度是x米。x∶12.8＝1∶1616x＝12.8×116x÷16＝12.8×1÷16x＝0.8答：这条轮椅坡道的垂直高度是0.8米。【对应练习2】将一座高32米的铁塔设计成模型，如果实际高度与模型高度的比是200∶1，那么铁塔模型的高度将是多少厘米？（用比例解）解析：32米＝3200厘米解：设铁塔模型的高度将是x厘米。3200∶x＝200∶1200x÷200＝3200÷200x＝16答：铁塔模型的高度将是16厘米。【对应练习3】淘气收集了60张邮票。淘气和笑笑收集的邮票张数比是2∶3，笑笑收集了多少张邮票？（用比例知识解）解：设笑笑收集了x张邮票。60∶x＝2∶32x＝60×32x＝180x＝90答：笑笑收集了90张邮票。【对应练习4】一种稀释消毒液，用药液和水按1∶200配制而成。要配制这种稀释消毒液603千克，需要药液多少千克？（用比例知识解答）解析：解：设需要药液x千克。200x＝603－x201x＝603x＝3；答：需要药液3千克。【考点三】带有分数的比例问题。【方法点拨】带有分数的比例问题，关键在于找到分率间的等量关系，再根据等量关系列方程求解。【典型例题】小明读一本300页的故事书，前2天读了全书的EQ\F(1,3)，照这样计算，读完全书还要多少天?解析：这是一道带有分数的比例应用题，我们既可以根据具体的页数列比例式，也可根据相对应的分数列比例式。解：设读完全书还需要x天EQ\F(1,3)：2=（1-EQ\F(1,3)）：xx=4答：读完全书还需要4天。【对应练习1】一辆汽车从A地开往300千米外的B地，前2小时已经行了全程的EQ\F(2,5)，照这样计算，行完全程还需要几小时?解析：3小时【对应练习2】做一件工作，甲乙两人工作效率的比是4∶5，若甲单独做3天，能完成任务的，那么两人合作多少天能完成任务？解：设乙的工作效率是x。÷3∶x＝4∶5∶x＝4∶54x＝x＝1÷（＋÷3）＝1÷（＋）＝1÷＝（天）答：那么两人合作天能完成任务。【考点四】图形的放大与缩小。【方法点拨】按比例把图形放大或缩小，一般用于作图和求面积的变化。1.根据比例尺作图形的放大或缩小的步骤为三步，先数清楚原来的大小，再算出所需的大小，最后画出图形。2.图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等。【典型例题1】将直径为4厘米的圆按3∶1放大，新图形的周长和面积与原图形的周长和面积的比各是多少？解析：3∶1；9∶1【典型例题2】按1:2的比画出三角形缩小后的图形。新图形与原来图形的面积的比是几比几？解析：根据题意作图如下：（4×2÷2）∶（8×4÷2）＝4∶16＝（4÷4）∶（16÷4）＝1∶4答：新图形与原来图形的面积的比是1∶4。【对应练习1】一个直角三角形ABC的两条直角边长分别是4cm和5cm，把它按3∶2放大后得到三角形DEF。三角形ABC和三角形DEF周长的比是多少？面积的比呢？解析：3∶2；9∶4【对应练习2】（1）把图中的长方形绕C点按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后A点的位置用数对表示是（

）。（2）画出圆向右平移5格后的图形。（3）在三角形的右边，按1∶2画出三角形缩小后的图形，缩小后的三角形的面积是原来的（

）。解析：（1）（2）（3）如图：（1）（6，8）；（3）【对应练习3】根据要求画图并填空。（每个方格为边长1厘米的小正方形）（1）梯形的面积是（

）平方厘米。（2）画一个与梯形面积相等的长方形。（3）把长方形按2∶1的比例画出放大后的图形。（4）放大后的面积与原来的面积的比是（

）。解析：（1）（1＋3）×3÷2＝4×3÷2＝6（平方厘米）（2）（3）（长方形画法不唯一）（4）2²∶1²＝4∶1【考点四】正比例与归一问题。【方法点拨】正比例与归一问题，以单一量为等量关系建立方程求解。【典型例题】一个晒盐场用500千克海水可以晒15千克盐，照这样的计算，用100吨海水可以晒多少吨盐？解析：从题意可知，海水越多，所晒的盐就越多，每千克海水所晒盐的质量是一定的，相关联的两个量是成正比例的，它们的关系是成正比例的关系。我们可以用比值相等，列出成正比例的关系式.注意要统一单位。解：设100吨海水可以晒盐x千克。100吨=100000千克500:15=100000:x500x=1500000x=30003000千克=3吨答：100吨海水可以晒盐3吨。【对应练习1】五一假期，郑磊和爸爸妈妈自驾去外地看外婆。麻城距离外婆家大约有460km，汽车每100km耗油8L，按照这个耗油量，出发时加满40L汽油，能到外婆家吗？（用比例知识解答）解析：解：设40L汽油能行驶千米。答：加满40L汽油，能到外婆家。【对应练习2】妈妈买6kg苹果用30元。买8kg需要多少钱？（用比例解答）解析：解：设买8kg苹果需要x元。30∶6＝x∶86x＝30×86x＝240x＝240÷6x＝40答：买8kg需要40元。【对应练习3】某车间要加工630个零件，前2天加工了180个，照这样计算，剩下的还要几天才能完成任务？（用比例解）解析：解：设剩下的还要x天才能完成任务；180∶2＝（630－180）∶x180x＝450×2180x＝900x＝5答：剩下的还要5天才能完成任务。【考点五】正比例与行程问题。【方法点拨】正比例与行程问题，以速度或时间为等量关系建立方程求解。【典型例题1】一辆货车前往武汉灾区运送救灾物资，3小时行驶了45千米。从出发地到灾区150千米，按照这样的速度，全程需要多少小时？（列比例解答）解析：解：设全程需要x小时。45∶3＝150∶x45x＝150×345x＝45045x÷45＝450÷45x＝10答：全程需要10小时。【对应练习1】某工程队修一条路，15天共修900米，还剩下720米没有修。照这样的速度，修完这条公路共需要多少天？解析：解：设修完这条公路共需要x天。900∶15＝（720＋900）∶x900x＝24300x＝27答：这条公路共需要27天。【对应练习2】一辆汽车2小时行驶164千米，用这样的速度从甲地到乙地共行驶5小时，甲乙两地之间的公路长多少千米？（用比例方法解答）解析：解：设甲乙两地之间的公路长x千米。164∶2＝x∶52x＝820x＝410答：甲乙两地之间的公路长410千米。【对应练习3】甲、乙两地相距440千米，一辆汽车从甲地开往乙地，3小时行驶了240千米。照这样计算，几小时可以到达乙地？（用比例解）解析：解：设x小时可以到达乙地。440∶x＝240∶3240x＝440×3240x＝1320x＝1320÷240x＝5.5答：5.5小时可以到达乙地。【考点六】反比例与面积问题。【方法点拨】反比例与面积问题，以面积为等量关系建立方程求解。【典型例题】为庆祝建党一百周年，实验小学新建了一个少先队活动室。现在需要在地面铺地砖，如果用边长5分米的方砖，需要400块；如果改用边长为4分米的方砖，需要多少块？（用比例知识解答）解析：解：设需要边长4分米方砖x块，4×4×x＝5×5×40016x÷16＝10000÷16x＝625答：需要边长4分米方砖625块。【对应练习1】一间教室用边长4分米的方砖铺地，需要300块，如果改用边长5分米的方砖铺地，可以少用多少块砖？解析：解：设用边长5分米的方砖铺地，可以用x块。4×4×300=5×5xx=192少用：300-192=108（块）答：略。【对应练习2】给一间房子铺地，如果用边长6分米的方砖，需要80块。如果改用边长8分米的方砖，需要多少块？（用比例解）解析：解：设需要x块方砖。8×8×x＝6×6×80

64x＝2880x＝2880÷64x＝45

答：需要45块方砖。【对应练习3】张叔叔家装修房子，用边长6分米的方砖铺地要用80块，如果改用边长8分米的方砖铺地，要用多少块？（用比例解）解析：解：设要用x块。8×8x＝6×6×8064x＝36×80x＝2880÷64x＝45答：要用45块。【考点七】反比例与归总问题一。【方法点拨】反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。【典型例题】李师傅加工一批零件，计划每分钟做8个，因任务紧迫，实际每分钟做10个，结果比计划少用45分钟，这批零件一共多少个？解析：因为每分钟加工零件的个数×加工的时间=零件的总数（一定），所以，工作效率和工作时间成反比例。解：设计划用x分钟，则实际用（x-45）分钟。8x=10×（x-45）x=2258×225=1800（个）答：这批零件一共1800个。【对应练习1】小林计划在暑期里完成一本数学练习册，计划每天做20题，实际每天只做了16题，结果比计划多用了5天，这本练习册一共有多少题？解析：解：设计划用x天完成。16（x+5）=20xx=2020×20=400（题）答：略。【对应练习2】一个车间装配一批电视机，如果每天装50台，60天完成任务，如果要用40天完成任务，每天应装多少台？解析：解：设每天应装x台。50×60=40xx=75答：略。【对应练习3】某工程队铺设一段下水道，原计划每天铺设20米，15天完成。实际每天多铺5米，实际多少天完成了任务？（用比例解）解析：解：设实际x天完成了任务。（20＋5）×x＝20×1525x＝300x＝300÷25x＝12答：实际12天完成了任务。【考点八】反比例与归总问题二。【方法点拨】反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。【典型例题】某车间计划加工一批零件，如果每天加工40个，则比计划推迟1天完成，如果每天加工50个，则比计划提前2天完成，这批零件共有多少个？解析：每天加工的个数×加工的时间=零件的总数（一定），所以，每天加工的个数和加工的时间成反比例。我们可以列成反比例的关系式，间接设未知数更简单。解：设计划用x天完成。40×（x+1）=50×（x-2)x=1440×（14+1）=600（个）答：这批零件共有600个。【对应练习1】小明计划在暑假里练毛笔字，如果每天写20个，则比计划推迟2天完成，如果每天写30个，则比计划提前3天完成，小明一共要写多少个毛笔字？解析：解：设计划x天完成。20（x+2）=30（x-3）x=1320×（13+2）=300（个）答：一共要写300个字。【对应练习2】小红从家去学