工程数学答案

目录第一章复数及复变函数 2习题 2答案与提示 4第二章复变函数的积分 7习题 7答案与提示 9第三章级数 10习题 10答案与提示 14第四章留数 18习题 18答案与提示 21第五章傅立叶分析 23习题 23答案与提示 26第六章微分方程 31习题 31答案与提示 35第七章拉普拉斯变换 38习题 38答案与提示 44第八章微分方程的级数解及特征函数 48习题 48答案与提示 52第九章偏微分方程 65习题 65答案与提示 72第十章热传导方程与拉普拉斯方程 75习题 75答案与提示 79

第一章复数及复变函数习题计算下列复数（1），（2），(3)，(4)(5)，(6)，(7)，(8)2.计算下列各复数的模与辐角（1），（2），（3），（4），（5），(6)3．把下列各复数的写成极坐标表示（1），（2），（3），（4），（5），（6）4.对任意正整数，说明下列各式成立5.设，求和6.证明的充分必要条件是是实数或纯虚数。7.设和是复数，且。如果或，那么。8.对任意的复数和，证明。9.求下列复数的根（1），（2），（3），（4），（5），（6）10.求下列复变函数中和。（1）（2）（3）11.求下列函数在给定点的导数值（1），求。（2），求。（3），求（4），求12.判断下列函数的解析性（1）（2）（3）13.下面函数是调和函数？如果是调和的，求相应的解析函数。（1）（2）（3）（4）14.决定和的值，以便下列函数是调和函数，并求调和共轭函数。（1）（2）（3）（4）

答案与提示1.（1）26-18i，(2)，(3)，(4)(5)，(6)，(7)，(8)。2.（1），，为任意整数（2），，为任意整数（3），，为任意整数（4），，为任意整数（5），，为任意整数(6)，，为任意整数3．（1），（2），（3），（4）（5），（6）4.5.，6.证明：设。如果，那么。因此，可以得到，也就是或。故是实数或纯虚数。如果是实数或纯虚数，那么当是实数时，，成立。当是纯虚数时，，，仍然成立。7.证明：因为对任意复数，，所以如果或，从上式都可以得到。8.证明：因为。，所以。9.（1）（2）（3）（4）（5）（6）10.（1），（2），（3），11.（1），（2），（3），（4）求12.（1）除在点可导外，在整个复平面不解析。（2）在整个复平面是解析的。（3）除在点可导外，在整个复平面不解析。13.（1）该函数不是调和的。（2）该函数是调和的，解析函数为，为实数。（3）该函数是调和的，解析函数为，为实数。（4）该函数不是是调和的。14.（1），（2），（3），（4），

第二章复变函数的积分习题计算下列线积分（1），为到的最短路径。（2），为到的最短路径。（3），为抛物线上到的曲线。（4），为半圆从到的圆周，。（5），为曲线，。（6），为到的直线段。2.计算下列围线积分（1），为圆周，逆时针。（2），为圆周，逆时针。（3），为圆周，逆时针。（4），由的逆时针和的顺时针组成。（5），为任意闭合路径，逆时针。（6），由的逆时针和的顺时针组成。（7），为，利用该题结果计算。（8），为包含的任意闭合路径，逆时针。（9），为，逆时针。（10），为，逆时针（11），为，逆时针（12），为椭圆，顺时针（13），由逆时针和顺时针（14），为逆时针

答案与提示1.（1），（）（2）2，（）（3），（，，，）（4）（5）（6）2.（1）0（柯西定理）（2），（）（3）（柯西积分公式）（4）0，（多连通柯西定理）（5）0，（不包含时）；（包含时）（6）0（多连通柯西定理）（7）（柯西积分公式）；（令，则，直接计算可得）（8）0，（将分解为包含0的圆，包含的圆和包含的圆）（9）（10）（11）（12）（13），（在给定区域内解析）（14）

第三章级数习题判断下列复数数列收敛或发散，如果收敛，求出极限。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）2.判断下列级数收敛或发散，并解释原因（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）3.求下列函数项级数的收敛中心及收敛半径(1)（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）4.求下列函数的Maclaurin级数及收敛半径（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）5.逐项积分被积函数，求Maclaurin级数（1）（2）（3）（4）6.求下列函数在的Taylor级数及收敛半径（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）7.求下列函数的洛朗（Laurent）级数，并指出收敛区域（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）8.求下列函数在的Laurent级数，并给出收敛区域（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）

答案与提示1.（1）该数列是发散的，（，）（2）收敛，（）（3）发散，（）（4）发散，（无界）（5）收敛，0（6）收敛，0（7）发散，（无界）（8）发散，（）（9）发散，（）（10）发散，（在与之间振荡）2.（1）收敛，（比值判别法）（2）发散，（利用）（3）收敛，（比值判别法）（4）收敛，（利用）（5）发散，（比值法）（6）收敛，（比值法）（7）收敛，（比值法）（8），发散，（比值法）3.(1)收敛中心为，收敛半径（2）收敛中心为，收敛半径（3）收敛中心为，收敛半径（4）收敛中心为，收敛半径（5）收敛中心为，收敛半径（6）收敛中心为，收敛半径（7）收敛中心为，收敛半径（8）收敛中心为，收敛半径（9））收敛中心为，收敛半径（10）收敛中心为，收敛半径（11）收敛中心为，收敛半径（12）收敛中心为，收敛半径（13）收敛中心为，收敛半径4.（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），。5.（1），（2），（3），（4），6.（1），（2），（3），（4），（5），，（6），（7），（8），7.（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），8.（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8）,

第四章留数习题求下列函数在有限平面的极点及留数（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）2.计算下列围线积分（路径为逆时针方向）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）3.计算下列积分，并给出计算过程（1），（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8），（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）

答案与提示1.（1），（2），0（3），（4），（5），（6），（7），（8），，，（9），（10），2.（1）在内，单极点5，留数-3，单极点-1，留数4，积分值（2）在内，单极点，留数，积分值（3）在内，单极点，留数1，积分值（4）在内，单极点，留数，单极点，留数，积分值（5）在内，单极点，留数，3阶极点0，留数，积分值0（6）在内，单极点，留数，积分值（7）在内，3阶极点，留数，3阶极点，留数，积分值0（8）在内，5阶极点0，留数，积分值（9）在内，单极点，留数，单极点，留数，积分值（10）在内，单极点，留数2，2极点，留数，积分值（11）在内，单极点，留数，单极点，留数，积分值（12）在内，单极点，留数，单极点，留数，积分值3.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）0（10）上半平面的3阶极点为，积分值（11）上半平面的2阶极点为，积分值（12）上半平面的2个1阶极点为，积分值（13）奇函数在对称区间上的积分值为0（14）上半平面的2个1阶极点为，，积分值（15）上半平面的3个1阶极点为，，，积分值（16）函数在上半平面的2阶极点为，积分值（17）奇函数在对称区间上的积分值为0（18）函数在上半平面的2个1阶极点为和，积分值（19）实轴上单极点，上半平面单极点，积分值（20）实轴上单极点，上半平面单极点，积分值（21）实轴上单极点，上半平面单极点，积分值

第五章傅立叶分析习题求下列函数的Fourier级数(1),（2），（3），（4），，（5），，（6），（7），，（8），（9），，（10），（11）求电压通过半波整流后的Fourier级数。（12）利用，，的Fourier级数，证明证明下列的积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.将下列函数用Fourier余弦积分表示（1）（2）（3）（4）（5）（6）4.将下列函数用Fourier正弦积分表示（1）（2）（3）（4）（5）5.求下列函数的Fourier余弦变换（1）（2）（3）（4）6.求下列函数的Fourier变换（1），为实数（2）（3），（4），为实数（5）（6）

答案与提示1.(1)为偶函数，所以Fourier级数变为Fourier余弦级数（2）为奇函数，所以Fourier级数变为Fourier正弦级数（3）为奇函数，所以Fourier级数变为Fourier正弦级数（4）为偶函数，所以Fourier级数变为Fourier余弦级数（5）为偶函数，所以Fourier级数变为Fourier余弦级数（6）不是偶函数，也不是奇函数（7）为偶函数，所以Fourier级数变为Fourier余弦级数（8）是奇函数，所以Fourier级数变为Fourier正弦级数（9）是奇函数，所以Fourier级数变为Fourier正弦级数（10）是偶函数，所以Fourier级数变为Fourier余弦级数（11）电压通过半波整流后，表示为，电压通过半波整流后为偶函数，所以Fourier级数变为余弦Fourier级数。上式中，当时，，·（12），的Fourier级数为该级数在时，收敛到，所以也就是2.（1）提示：取，计算的Fourier积分（2）提示：取，计算的Fourier正弦积分（3）提示：取，计算的Fourier正弦积分（4）提示：取，计算的Fourier余弦积分（5）提示：取，计算的Fourier正弦积分（6）提示：取，计算的Fourier正弦积分3.（1）（2）（3）因为的Fourier余弦积分为所以（4）（5）（6）4.（1）（2）（3）（4）（5）5.（1）（2）（3）（4），6.（1），提示：求的Fourier变换,并利用性质（2）（3）（4），提示：，（5）（6）

第六章微分方程习题用分离变量法求下列方程的通解（1）（2）(3)(4)（5）2.用积分因子法求解下列方程（1）（2）（3）（4）3.用全微分法求解下列方程（1）（2）（3）（4）4.决定的值，以便下列方程为全微分方程，并给出通解（1）（2）5.用积分因子将方程变换为全微分方程，并求出积分因子和通解6.解下列方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）7.求下列齐次方程的通解（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）8．求下列非齐次微分方程的通解（用参数变分法决定特解）（1）（2）（3）（4）（5）（6）9.求下列非齐次微分方程的通解（用待定系数法决定特解）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）10.求下列欧拉（Euler）方程的通解（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）

答案与提示1.（1）(2)(3)(4),和也是方程的奇异解（5），，为任意整数2.（1）（2）（3）（4）3.（1）（2）（3）（4）4.（1），（2），5.，6.（1）Riccati方程，，（2）Bernoulli方程，，（3）齐次方程，（4）全微分方程，（5）Bernoulli方程，，（6）Bernoulli方程，，（7）Riccati方程，，7.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）8.（1）（2）（3）（4）（5）（6）9.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）10.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）

第七章拉普拉斯变换习题1.求下列函数的Laplace变换（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）2.假设是的以为周期函数，证明下列等式（1）（2）（3）（4）3.假设是以为周期函数，的定义为求4.求，，的Laplace变换5.求如图7.20所示函数的Laplace变换图7.20题5函数6.求如图7.21所示函数的Laplace变换图7.21题6函数7.用Laplace变换求解下列初始值问题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）8.求下列函数的Laplace逆变换（1）（2）（3）（4）（5）（6）9，解下列积分方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）10.用Laplace变换求解下列微分方程（1）（2）(3)(4)(5)（6）（7）（8）（9）(10)11.电路如图7.22所示,用Laplace变换求电路的电流.假设(a),,(b),,(c),,图7.22题1112.电路如图7.23所示,用Laplace变换求电路的电流.假设(a),,(b),,(c),,图7.23题1213.电路如图7.24所示,用Laplace变换求电路的电流.假设,(a),,(b),,(c),,图7.24题1314.电路如图7.25所示,用Laplace变换求电路的电流.假设,(a),,,,(b),,,,(c),,,,图7.25题14

答案与提示1.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7），提示：（8），提示（9），提示：2.（1）（2）令，则有，于是得到（3）将（2）的结果代入（1）即可。（4）利用，立即得证3.由第2题的（3）知4.是周期为的全波整流函数，所以5.该函数的表达式为周期为的函数，所以Laplace变换6.该函数的曲线为半波整流，其表达式为周期为的函数，所以Laplace变换7.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）8.（1）（2）（3）（4）（5）（6）9，（1）（2）（3）（4）（5）（6）10.(1)，提示：，(2)(3)(4)(5)（6）（7）（8）（9）(10)11.(a)(b)(c)12.(a)(b)(c)13.(a)(b)(c)14.(a)(b)(c)

第八章微分方程的级数解及特征函数习题1.用递推法求解下列方程关于0点的幂级数解，并用递推关系写出前5项（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）求出下列方程的两个线性无关解，并写出每一解的前5项（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.说明下面Sturm-Liouville问题在那么些区间上是正则的，周期的或奇异的，并求出特征值和特征函数（1）（2）（3）(4)（5）（6）（7）（8）（9）（10）4.利用Legendre多项式的递推关系，求，和5.设是非负整数，证明下列Legendre多项式及6.当时,说明Legendre函数7.当时,说明Legendre函数8.将下列多项式展开为Fourier-Legendre级数（1）（2）(3)9.将下列函数在[-1,1]展开为Fourier-Legendre级数，并给出5项的系数。画出函数和前5项部分和在相同区间（）的曲线。展开级数只是在（-1，1）表示给定的函数，但直观上可以看到部分和与给定函数在区间之外是不相关的。（1）（2）（3）（4）（5）（6）10.说明是方程的一个解11.用和的组合,写出下列方程的通解(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)12.使用给定变量替换，将下列方程变换为通解可以用Bessel函数表示的方程，并给出原方程的通解（1），（2），（3），（4），（5），（6），13.设是的一个正根，证明14.对任意整数，证明和15.对任意整数和，证明和16.求下列函数在上以函数展开的Fourier-Bessel级数的前5项，这里是的第个根。比较前5项的部分和与曲线的差异。（1）（2）（3）（4）（5）（6）17.当时，证明对任意的整数18.证明对任意的整数

答案与提示1.（1）是任意常数，，，（2）是任意常数，，，，（3）是任意常数，，，（4），是任意常数，，（5），是任意常数，，（6），是任意常数，，（7），是任意常数，，，（8）是任意常数，，，（9），是任意常数，，，，（10），是任意常数，，2.（1），（2），（3）（4）提示：是任意的常数，它后面的多项式是方程的解，故取（5），（6）3.（1）区间上的正则问题，特征值，特征函数（2）区间上的正则问题，特征值，特征函数（3）区间上的正则问题,,特征函数(4)区间上的周期问题,特征值，特征函数（5）区间上的周期问题,，特征函数（6）区间上的正则问题，特征值，，特征函数（7）区间上的正则问题，特征值，，特征函数（8）区间上的正则问题，特征值，特征函数（9）区间上的正则问题，特征值，特征函数（10）区间上的正则问题，特征值，特征函数4.当时，由Legendre多项式的递推关系得到类似得到5.考虑下列中和的情形当时，，上式变为，所以当时，，上式变为，所以6.提示:利用，立即得到7.提示:利用,立即得到8.（1）（2）（3）9.（1），，，，，；（1）与前5项部分和曲线（2），，，，，；（2）与前5项部分和的曲线（3），，，，，；（3）与前5项部分和的曲线（4），，，；（4）与前5项部分和的曲线（5），，，，；（5）与前5项部分和的曲线（6），，，，；（6）与前5项部分和的曲线10.令，计算将其代入微分方程左边,并化简得到由于是Bessel方程的一个解,所以故是方程的一个解11.(1)由，，，，得到，，，方程的通解为(2)由，，，，得到，，，方程的通解为(3)由，，，，得到，，，方程的通解为(4)由，，，，得到，，，方程的通解为(5)由，，，，得到，，，方程的通解为(6)由，，，，得到，，，方程的通解为（7）由，，，，得到，，，方程的通解为12.（1）变换后的方程为，其通解为原方程的通解为（2）变换后的方程为其通解为原方程的通解为（3）变换后的方程为其通解为原方程的通解为（4）变换后的方程为，其通解为原方程的通解为（5）变换后的方程为，其通解为原方程的通解为（6）变换后的方程为，其通解为原方程的通解为13．提示：利用，取，得到令，立即得证。14.提示：利用和，取，两边积分，立即得到和15提示：利用14题的结论，令，立即得证16.（1），，，，，；，，，，；（1）前5项的部分和与的曲线（2），，，，，；，，，，；（2）前5项的部分和与的曲线（3），，，，，；，，，，；（3）前5项的部分和与的曲线（4），，，，，；，，，，；（4）前5项的部分和与的曲线（5），，，，，；，，，，；（5）前5项的部分和与的曲线（6），，，，，；，，，，；前5项的部分和与的曲线17.提示：令，则18.提示：令，则

第九章偏微分方程习题用分离变量法求解下列波动方程的初始值问题。（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.(7).（8）求解初始边值问题(1)(2)（3).(4)3.用Fourier变换求解下列初值问题（1）.上式中.（2）.上式中.（3）.上式中.（4）.上式中.（5）.上式中.（6