2023届江苏省新高考复习 专题3 立体几何解答题30题专项提分计划解析版 -高考数学总复习总结归纳集锦专题资料

2023届江苏省新高考复习

专题3立体几何解答题30题专项提分计划

1.（2022•江苏常州・华罗庚中学校联考三模）如图，A4CO是边长为6的正方形，已知

AE=EF=2,且ME//NF//AD并与时角线DB交于G、H,现以ME,N尸为折痕将正方形折

起，且BQ4Z）重合，记DC重合后为P,记A.8重合后为Q.

（I）求证：平面PGQ_L平面HGQ：

⑵求平面GPN与平面G。”所成二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵由

【分析】（1）作出辅助线，证明〃火_LPQ,HR工EQ,得到线面垂直，进而证明面面垂直:

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.

（1）

取七。中点连接£/,

则PQJ_E/,FJ1EQ.

再取GQ中点/?,连接R/,易得HF〃RJ,HF=RJ、

于是，四边形R/H/为平行四边形，得〃JF,

从而HR工PQ,HRLEQ,

那么HR_L平面PCQ.

又HRu平面HGQ,

故平面PGQ_L平面”GQ

(2)

以与垂直的直线为x轴，£“为V轴，为z轴建立坐标系，则,

G(V3,1,O),G(0,0,4),"(0,2,2),P("l,6),C(0,2,6),

设平面G。”的法向量

z?7=(x,y,z)»GQ=(G,l,-4),GH=(0,2,-2),

由烧_LG。,巾工GH得:

x/5.v+y-4z=0

取y=z=l,得％=G，

2y-2z=0

所以平面GQH的法向量：=(6』,1).

同理可得：平面GPN的法向扇:〃=

所以平面GPN与平面GQ"所成二面角的正弦值为鹿二驾.

2.（2023•江苏南通・统考一模）如图，在ABC中，AQ是边上的高，以AO为折痕，将..AC。

折至△A/2＞的位置，使得八&

（2）若AD=PB=4,BD=2,求二面角4一力的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）先证明出线面垂直，得到AZ）_LP3,进而证明出P8_L平面M。；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值，进而求出正弦值.

【详解】（1）证明：:人。是BC边上的高，

PD1AD,AD1RD,

,/PDr\BD=D,PD,BDu平面PBD,

.•.4）_1平面/^。，

,/PBu平面PBD,

:.ADJ.PB、

又P8JL4B,4£）,48u平面48£）,A。cAB=A,

，PB_L平面ABO；

(2)以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，垂直ADB平面为z轴,

建立空间直角坐标系，

AD=PB=4,BD=2,

则4(0,2,0),P(0,2,4),人(4,0,0),。(0,0,0),

/.BP=(0.0.4).PA=(4.-2.Y).£)4=(4.Q0).

设平面8%与平面24。的一个法向量分别为=(x，y,zj,%=(X2,3^2,Z2),

it-BP=4z,=0

故"限你-2…产。’解得…步令得：…

则“=(1,2,0),

n-PA=4X-2y-4z=0

2222，解得：七=°，令Z2=l,则必=一2,

，乙.DA=4a=0

故〃]=(0,-2,1),

设二面角8-孙-。平面用为巴显然。为锐角,

1(1,2,0).(0,-2J)|4=4

cos0

MW71+4x71+4x/5-\/55

sin〃=Vl-cos20-1.

3.(2022.江苏南通・统考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-AB£中，侧面AA,C,C1底面,

侧面A4,CC是菱形，ZAAC=60,ZACZ?=90,AC=BC=2.

B

（i）若。为A。的中点，求证：AQ_LA&

（2）求二面角A-AC-4的正弦值.

【答案】（1）见解析

⑵孚

【分析】（1）结合已知条件和平面儿何关系知然后利用面面垂直性质和线面垂直

性质可知5C_LA0,最后利用线面垂直判定和性质即可证明；（2）取AG的中点E，然后利

用面面垂直性质证明CEJ•底面A8C,再建立空间直角坐标系，分别求出平面AAC和平面

ACq的法向量，最后利用二面角的向量公式即可求解.

【详解】（I）・・•侧面/MG。是菱形，・・・AA=AC,

•••。为4。的中点，・・・4。_1_4。，

•••侧面底面A8C,侧面MGC1底面ABC=AC,ZACfi=90,8Cu底面ABC,

・•・8C幺侧面4AGC,

•••八。＜=侧面例£。，.・.8。_14。，

VBC=C,・•・AO_L平面ABC,

•.•/Bu平面/SC,/.ADLA^B.

（2）取AG中点E，连接CE,从而C£_LAG，

又由AGAC,则CE_LAC,

•・•侧面AACC，底面/WC,侧面叫GC）底面ABC=AC,

，C£_L底面ABC,

以C为坐标原点，以C4,CB,CE为1轴，了轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图：

由已知条件和上图可知，C(0,0,0),42,0,0),4(1,0,6),勺(—1,2,6),

由题意可知，&=(0,2,0)为平面AAC的一个法向量，

不妨设：=8，肉4)平面A。4的一个法向量，

因为a=(1,0,43)，而=(-1,2,，3)，

[6/4,-»=0[x.+VJz,=0

从而彳…-=彳L，

CB]•〃=0[-Xj+2y+V3z(=0

令z、=丛,贝IJ芭=-3,y,=-3,即：=(一3,—3,6)，

设二面角A-AC-q为。，由图可知0为钝角，

从而cos。=一|cosv；>|=-呼《=一率，即sin0=24,

故二面角A-A.C-B.的正弦值为逆.

7

4.(2022•江苏盐城♦盐城中学校考模拟预测)如图，在斜四棱柱AACO-AMCR中，四边形

A8C。为平行四边形，48=4。=24&/m上平面4皮),入八_1.人力上为。6中点.

(2)求二面角E-A。-B的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵号

46

【分析】(1)利用面面垂直的判定定理可得答案；

(2)设/3=1,则43=4。=2,利用余弦定理判断出为钝角，做则

垂足0在力B的延长线匕救ON1.DO,以。为原点，分别以ON、。人所在的直线为

》、V、z轴建汇空间直角坐标系，设石(x,)，,z),利用AA=2EC求出E点坐标，求出平面

\DE.平面A3。的•个法向量，由二面角的向量求法可得答案.

(1)因为ABS平面AB。,ABu平面AD8,所以平面AD3_L平面.

(2)设A6=l,则A8=AO=2,A31平面4〃。，A^u平面48。，所以A8_LAB,

BD上AB,所以AA="4+八夕=#),BD=\lAD2-AB2=V4-1=V3»又AA1AD,

所以A£>=JAV+4>2=6U=3,在.AB。中，由余弦定理得

%2+必-4。2_4+3-9___

cosZ4BD=,所以乙4,8。为钝角，作A0_LQ8,则

12BDxBA2x2x6-2g

垂足0在0B的延长线上，因为平面平面AQ8,平面AOBc平面AD8=OB,所以

AO_L平面A8CD,在平面ABC。内做ON_LOO,所以ON//BA,以O为原点，分别以

OD.ON、。4所在的直线为X、八z轴建立如图所示空间直角坐标系，在4A8。中，因为

cos/A8O=-赤，所以sin“BD=y］l-cos?aBD=平,因为A。=A^xsinNABO,

所以AO=遮，60TAl2_402=,4］史=立,所以人［。,0,

3V931

a「运

,C-1,0,AA二,设E(x,y,z),

乎3'，3

)

y,-zI,因为AA=2EC,所以=^^一24,1=-2.y-2,^^=2z,解

EC=

得1=述,y=-z=叵，即石_3

'一5'

6'26

,。,一半)，设〃=a，y,zj为平面AOE的一个法向量，所以

\D=即

4艮底,=()

313I,令马=而，则x=凶，即〃=%116疝

4,12，V11,

7网3底\412

---X|——V.-----Z.=()

〔6I2力61

48=（0,-1,0）为平面4了7）的•个法向量，所以

1173

COS(AA,〃)=y^~^j=7^5

\/1叫W右,由图二面角E-AO-8的平面角为

锐角，所以二面角£-4。-8的余弦值

5.（2023•江苏南京•南京市秦淮中学校考模拟预测）如图，三棱柱ABC-A£G的侧棱

底面ABC,NACB=90,E是棱C£上的动点，尸是A3的中点，AC=\,BC=2,AA=4.

（1）当E是棱CG的中点时，求证：CA7/平面AEB1；

（2）在极CG上是否存在点E，使得二面角A-E4-"的余弦值是马叵？若存在，求出CE

17

的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，CE=\.

【分析】（1）取A4的中点G,连接EG、FG,证明出四边形FG”为平行四边形，可得出

CF//EG,再利用线面平行的判定定理可证得b〃平面AE耳：

（2）以C为坐标原点，射线C4、CB、CG分别为“轴、V轴、z轴正半轴建立空间直角坐

标系C一种,设点E（0,0"〃）（0W〃?W4）,利用空间向量法可得出关于用的方程,结合用的

取值范围可求得的值，由此可得出结论.

【详解】（1）证明：取AB1的中点G,连接EG、FG.

F、G分别是AB、AB1的中啦，FG〃BBi且FG=；BBi,

在三棱柱ABC-中，BB#CC\且=CC,,

E为CG的中点，则CE//B用且CE=g"用，〃尸G且6E=/U，

所以，四边形/GEC为平行四边形，则CF//EG,

C/（Z平面AE4,反；匚平面从£用，.・.。£//平面4片4；

（2）以C为坐标原点，射线C4、CB、CG分别为x轴、V轴、z轴正半轴，建立如图所示

的空间直角坐标系C-肛z,

则C（O,O,O）、A（1,O,O）,片（0,2,4）,AB,=（-1,2,4）,

设E（O,O,/77）（O<^<4）,平面AEBt的一个法向量为4=（x,y,z）,则AE=（-l,0,m）,

由卜慧=：,得尸2//0,令z=2,可得.=（加…,2）,

4•A7?=f）[―x+/wz=0

Ill

易得平面所用的一个法向量为々=（1,0,0）,

,.二面角的余弦值为MZ,即

17

2\/17II除〃2m

――=COS<%,n,>=,'ll\=/，

17同同:4〃』+（m-4）2+4

整理得3nr+2m-5=0»

0</??<4,解得〃?=1.

因此，在棱CG上存在点E,使得二面角4-后4-3的余弦值足2叵，此时CE=I.

17

【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的动点问题,

考查计算能力与推理能力，属于中等题.

6.（2023•江苏徐州•徐州市第七中学校考一模）如图，四边形ABC。是边长为2G的菱形,

DDiV^ABCD,80_L平面ABCD,且88/=。。/=2,£,尸分别是A。/,AB/的中点.

（2）若NAOC=120。，求直线。囱与平面6DE/所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）血.

26

【分析】（I）连接AC,交BD于点。，连接OE,则0为AC的中点，可证明CR"平面BDEF,

BQJ/平面BDEF,从而证明结论.

（2）取44的中点M,连接力“，可得力以所在直线分别为xy.z轴,

建立空间直角坐标系，应用向量法求线面角.

【详解】（1）证明：连接AC,交8。于点。，连接OE,则。为AC的中点，

YE是AR的中点，.・.OE//CA

QEu平面BDEFS0平面BDEF,所以。〃平面BDEF

又尸是破的中点..EF

EFu平面8DE尸,BQ0平面BDEF，所以BQ〃平面BDEF

又CD「BRu平面CBQ.BQcCA=A,所以平面BDEF〃平面CBR.

(2)取AB的中点M，连接OM,

在菱形AHC。中，/AOC=120,.;A8。为正三角形，则OM/DC

由DR1平面4BCO，

故以。M,OC,£>A所在直线分别为x,)，,z轴，建立如图示的空间直角坐标系

则0(0,0,0),8(3,瓜0),E&，W，1),B\(3,瓜2)

=(3,6,2),08=(3,6,0),DE=(1,-^.l)

22

3x+岛=0

设平面下的法向最为〃=(x,)，,z>“::一:，即,3

令x=l则y=-V5,z=-3,.\n=(1,-\/3,-3)

设直线力及与平面及)防所成角为

故直线。局与平面及无尸所成角的正弦值为土叵

【点哨】方法点哨：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取

1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做

辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关健点落在坐标轴或坐标平面内.

2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.

3、求：求出所需平面的法向量

4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个

平面的法向量的夹角的余弦值

5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.

7.（2023•江苏泰州・泰州中学校考一模）如图，在四棱锥E-ABC。中，AB//CD,

AD=CD=BC=；AR,E在以A8为直径的半圆上（不包括端点），平面4座工平面ABC。,

M,N分别为QE,8c的中点.

⑴求证：MN〃平面ABE：

（2）当四棱锥E-/WCQ体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵返

55

【分析】（1）取EC的中点的立连接M凡NF,证得Mf7/£>C,得到M/〃A8,利用线

面平行的判定定理得到〃平面ABE,同埋得到NF/；ABE,证得平面MNF//平面

ABE,进而得到MZV//平面人BE.

（2）过E作EO_LA8交A8十。，证得EO_L平间A8CD,取CO的中点G,连接OG,以

O为原点，分别以A8为五轴，以OE为），轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系，分别求得

平面AEN和平面ABE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）证明：如图所示，取EC的中点的R连接MRNF,

因为M,厂分别为和EC的中点，所以“产"DC,

因为44///X?,所以吹〃/18,

因为ABu平面ABE,MF（Z平面ABE,所以M/〃平面ABE,

同理可得NF"平面ABE,

因为MFRNF=F,MFu平•面MNF,N/u平面MM7,

所以平面MNF//平面ABE,

因为MNu平面MM7,所以MV//平面ABE.

(2)解：如图所示，过£作石交AB于0,

因为平面平面4BCO,平面£48c平面A8C£)=A8,EOu平面

所以EO_L平面43CQ,故为四棱锥EA3CD的高，

要使四棱锥后/WCQ体积最大，则£为弧的中点，所以。与人B的中点,

取C。的中点G,连接0G,因为A8//CD,AD=DC=CD=^AB,所以OG_LA8,

因为EO_L平面4BCD,所以EOJ.A8,EO1OG,所以E。，AB,0G两两垂直，

以。为原点，分别以为x轴，以OE为)，轴，以。G为z轴建立空间直角坐标系，

设AQ=OC=CO=gA8=。，所以AE=EB=^a，

可得A(0,—。,0),E(«,0,0),N苧〃,则4E=(a,a,0),AN=,

\Z'

ax+ay=0

AF.fi=()

设平面AEN的一个法向量〃=(x,y,z),,可得<[+且az=。

、7[AN-n=O

令x=l,则平面AEN的一个法向量为〃=LT手，

76

二二---71SR

'F面ABE的一个法向量为〃7=(。,0,1),则cos<m,n>=告舌=-；==,

HH栏55

由图可知二面角N-AE-B的平面角为锐角，

所以二成角N—AE-8的余弦值为△贬.

55

8.(2023•江苏南京•南京市第一中学校考模拟预测)在三棱锥A8C。中，己知平面A8ELL平

面8c。，且83=#，AD=O，AB=24i，BC1AC.

(I)求证：8C_L平面ACD；

(2)若£为仆A8c的重心，CD=6求平面COE与平面A6Q所成锐二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵半

【分析】(1)利用勾股定理证明AO_L3O,再由面面垂直的性质得AQ_L平面3C。，从而得

AD1BC,最后再结合线面垂直判定定理证明即可；

(2)根据线面关系，建立空间直角坐标系，结合面面夹角公式求解即可.

(1)

证明：因为8。=#，AD=2,AB=26，所以8。+AD?=4序，

所以

又因为平面A8Q_L平面BCD,

平面ABDc平面88=8。，因为AOu平面A8Q,

所以4。」一平面BC。，因为BCu平面8CQ,

所以AQ_LBC,

又因为8CJ_AC,ACAD=A,

所以BC_L平面ACD.

（2）

解：因为BC_L平面AC。，COu平面4CD,所以我1LCO,

因为。。=百，BD=«,所以8c=G，4BDC=J,

4

以。为坐标原点，直线。B,D4分别为x,z轴，在平面BCO内过点。与垂直的直线为

y轴建立空间直角坐标系，

所以£）（0,0,0）,C,8（指,0,0）,A（0,0,6）,所以，所以

加」I亚2亚2。］J,。。I亚2亚6当3,J

平面A3。的个法向量为4=（0,1,0）,

瓜,瓜八

—x+—y=0

设平面8E的一个法向量为/，=（八,y,z）,22-

瓜瓜近

——X+——VH-----Z=

26,3

取x=l,>,=-1,则z=-G，所以%=（1，-1，-6）,

设平面CQE与平面4B。所成的锐二面角为仇

所以卬夕|=箫=昌力,所以sin”「围考,

即平面CDE与平面4BQ所成锐二面角的正弦值为平.

9.（2023•江苏苏州・苏州中学校考模拟预测）如图所示，正方形A8CO所在平面与梯形八8MN

所在平面垂直，AN//BM,AN=AB=BC=2,BM=4,CN=28.

⑴证明：康//平面八88；

⑵在线段CM（不含端点）上是否存在一点E,使得二面角石-研一河的余弦值为正.若存

3

在，求出的C照F值；若不存在，请说明理由.

EM

【答案】（1）见解析

⑵存在，笠

2

【分析】（1）由面面垂直的性质可得/，C_L4M,再得出即可证明；

（2）设CE=4CM，求出平面BEN和平面8MN的法向量，利用向量关系建立方程求出4即

可得出.

【详解】（I）证明：正方形A3CO中，BCA.AB,

,平面48c£）1平面A及VW,平面A8C0C平面48Am=A8,8Cu平面A8C£）,

/.8CJ■平面ABMN，又BMu平面ABMN,

.•.8CJ.BM,月.8C_L8N,又6c=2,CN=2后，

,BN=JcM-BC'=2&，又.AB=AN=2,;.BN'=AB、AN?,

：.AN1AB,又.AN//BM,:.BMLAB,

又BCBAuB,BA.BCc^/f^ABCD,

・••8Ms平面A8CD；

（2）解：如图，以8为坐标原点，8A8%3c所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则B（0,0,0）M（2,0,0）,C（0,0,2）,0（2,0,2）,N（2,2,0）,M（0,4,0）,

设点E（a,〃,c）,CE=ACM（0<2<1）,:.（a^c-2）=2（0,4,-2）,

4=0

.•."=44,.*.£（0,42,2-22）,

c=2-22

/.BAT=(2,2,0),£?E=(0,42,2-22),

设平面BEN的法向量为fr.=(x,y,z),

BNm=2x+2y=0

BE/n=42.v+（2-22）z=0

令x=l,.♦.），=_1,z=

显然，平面8MN的法向量为BC=(O,O,2),

=旦

8C,砌=

~T,

即画号代即

即3分+22-1=0,解得％=;或-1（舍）,

10.(2022.江苏南京・南京师大附中校考模拟预测)如图，在四棱锥P-AACO中，底面48CO

是边长为2的菱形，N4券=60。…抬。为等边三角形，。为线段AD的中点，月.平面内。_L

平面ABC。，M是线段PC上的点.

⑴求证：OM上BC；

(2)若直线AM与平面R48的夹角的正弦值为叵，求此棱锥M-A3CO的体积.

【答案】(1)证明见解析:

(2)7

（分析［（1）先证明PO1BC,再证明CO1.BC,得出平面POC,从而证明OM上BC；

（2）建立坐标系，利用线面角确定M的位置，然后利用体积公式可求结果.

【详解】（1）因为工总。为等边三角形，。为线段AO的中点，所以PO_LA。；

因为平面PA。_L平面ABCD,所以PO_Z平面ABCD；

又8Cu平面ABC。，所以POjBC；

在二OCT）中，（9D=1,CD=2,ZADC=6O°,由余弦定理可得OC=G，

l^^OC2+OD2=CD2,所以COJ_A。；

因为AO//HC,所以COJ.8C,所以8c工平面POC；

因为QMu平面POC,所以OM_L8c.

（2）由（1）得OP,OC,。。两两垂直，以O为坐标原点，建系如图，

则A(O,TO),P(O,O,G),B(G,—2,O),C(GO,O)；

Afi=(x/3,-L0),PC=(V3,0,-x/3),AP=(0,U>/3)；

设PM=猛。，则AM=AP+PM=(641,G->/32)；

设平面Q44的一个法向量为〃=(x,y,z),

则〈-八，｛r，令y=&，则〃=(1,6,T).

=0卜+病=0')

因为直线AM与平面aw的夹角的止弦值为叵,

n-AM_Vio2&=萼，解得4=:或/1=一：（舍）,

所以,即

n^AM10x/5x>/6/l2-6/l+41V/J，

*pc

3-M是靠近P的三等分点，所以四棱锥M-ABCD的高等于OP的|.

四棱锥M—ABCD的体积为丫='x2x'x2x2xsin60°x.

3233

11.(2022•江苏南京•南京外国语学校校联考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-4B/C/中，底

面ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC也是菱形，平面ACCAL平面A6C,E,尸分别

是棱的中点，G是棱C。上一点，且&；=/Gb(/>0).

(I)证明：E//平面A88/4；

(2)若三棱锥。-A3。的体积为1,且二面角A-EG-"的余弦值为生竺，求/的值.

53

【答案】(1)证明见解析；

⑵1=2.

【分析】(1)取中点〃，连接证明E/〃AM,原题即得证；

(2)证明G"，平面ABC,分别以HB,HC,"G所在的直线为乂Mz轴建立空间直角坐标系,

利用向量法求解.

(1)

证明：取48中点M，连接为的中点，E为AG的中点，

//1//1〃

.•.闻尸=/人。，4£1=/八0,.1.时/=4瓦，四边形4加广后为平行四边形，

.•.律〃£尸.平面4444,4加<=平面4860，

解：•・平面ACGA_L平面A3C,过G作G"JLAC,「.1平面ABC,

••・%T«c=；SA8cG〃=；xG-c〃=inG〃=G,

CG=2,.・.。，=1,「.，为4。中点，;.BHVAC,

如图分别以HB,HC、HC\所在的直线为x,，z轴建立空间直角坐标系,

.•.A(O,-1,O),E(O,-1,

T(t>/3卜危二仅,0,句,

由GG=/GCnG0,——

r+1/+1

/2/+1盛63A

EG=0,————-,EF=—,-,-V3

r+1r+l22

设平面AEG和平面瓦'G的一个法向量分别为z=(芭,嬴=(%%,»

丐EG=0

・・・％=(1,0,0)「

n2EF=0

.•.£=(/+2,、G/,2/+l)，设二面角4—EG—尸的平面角为。,

4,

=—j==>t=2.

V53

12.(2022.江苏南京•统考二模)如图，在四棱锥Q—ABCO中，底面ABCQ为正方形，PD1

底面4BCD,M为线段PC的中点，PD=AD，N为线段BC上的动点.

p

(1)证明：平面MND_L平面P8C

(2)当点N在线段8C的何位置时，平面MN。与平面以8所成锐二面角的大小为30°?指出

点N的位置，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)点N在线段的中点

【分析】(1)由尸。_L底面A3CQ,可得PDLBC,而CD工BC,可证得8C2平面PCD，

从而得BC工DM,而。MJ.PC,所以DM1平面P8C.再由面面垂直的判定定理可得结

论，

(2)设尸D=AD=1,以。为原点，以ZMDCQP所在的直线分别为x,y,z轴建上空间直角

坐标系，然后利用空间向量求解即可

【详解】(1)证明：因为尸。，底面ABCD,BCu底面ABC。，

所以/Y)_L8C,

因为CD_L8C,CDPD=D,

所以3cl平面PC。，

因为OMu平面PC。，

所以3C_LOM,

因为四边形A8CD为正方形，PD=AD,

所以4)-8,

因为在中，PD=CD,M为线段PC的中点，

所以OM_LPC,

因为PCc8C=C,

所以0Ms平面尸8C,

因为ZWu平面。MN,

所以平面MNDJL平面PBC,

(2)当点N在线段8c的中点时，平面MND与平面附B所成锐二面角的大小为30。，理由

如下：

因为尸£)_1_底面AI3CD,0ADCu平面AI3CD,

所以PO1OAPO_L。。，

因为D4_L。。，

所以。ADC,QP两两垂史，

所以以。为原点，以D18，/)尸所在的直线分别为％)'，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设PD=AP=1,则。(0,0,0),41,0,0),B(IJO),P(0,0,1)((0,1,0),M((),；，)，

设N(41,0)(0</l<l),则40=(-l,0.1),A8=(0J0),Z)N=(/l/,0),OM,

设〃?=(x,y,z)为平面RV3的法向量，则

m-AP=-x+z=0u

令x=l,则〃?=(l,0,l)，

m-AB=y=0

设〃=(a,b,c)为平面MND的法向量，则

n-DN=Aa+b=0

1|，令4=1,则，7=(1,一丸,4),

nDM=-b+-c=0

22

因为平面MNO与平面以B所成锐二面角的大小为30。,

|i+义|_G

所以cos

-J2xxl\+2A,22'

化简得4万一42+1=0,得义二；，

所以当点N在线段BC的中点时，平面MNO与平面％8所成锐二面角的大小为30°

A

B

x

13.（2022•江苏苏州•模拟预测）如图，在四棱锥P-A8CQ中，已知侧面PC。为正三角形,

底面ABCD为直角梯形，ABHCD,NAOC=90，AB=AD=3,CD=4,点M,N分别在

线段A8和PO上，且AM=2M3,DN=2NP.

⑴求证：PM〃平面4CN；

（2）设二面角尸-8-A的余弦值为且，求直线PC和平面W所成角的人小.

3

【答案】（1）证明见解析

（2）45

【分析】（1）连接M。，交AC于点E，根据平行线分线段成比例可证得NE〃尸M,由线面

平行的判定可证得结论；

（2）取CO中点尸，作灯!./“，利用线面垂直的判定可证得CO_L平面PEW,PO工平

面A8CD,则以。为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角平面角的定义可知二面角

尸-CO-A的平面角为NP/P,由此可得的线段长度，得到所需点的坐标，利用线面角的向

量求法可求得结果.

（D

连接MZ）,交AC于点E,连接亚；

C

AMB

2AMMF1

AM=2MB,：.AM=-AB=2,QAB//CD,：.—=—=-,

3CDDE2

MEPN

乂DN=2NP,，一=—,:.NEIIPM,

DEDN

又NEu平面ACN,PMU平面ACN,.•.可£：//平面ACM

(2)

取CD中点广，连接PF,M/：作PO_LME,垂足为0；

QVPCZ)为正三角形，.-.PF±CD；

AM=DF=2,4M〃DF,•..四边形为平行四边形，

又NAOC=90,.•.C£)_L"/,又尸尸FM=F,PCu平面打加，

\CZ)A平面PFM；

POu平面PEW,:.CD工PO,

又POLFM,CDFM=F,CD栈匚平面ABC。，..PO,平面488；

作OG〃CO.交8c于点G,则OG_L尸M,

以O为坐标原点，OM,OG,OP正方向为x，y，z轴，可建立如下图所示空间直角坐标系,

.PFLCD,Mb_LC£>,即为二面角P-8-A的平面角，

又PF=26COSZP/-Y>=—,/.OF=PFcosZPFO=2,OP=2\fl:

3

则P(0,0,2闾，C(-2,2,0),4(1,—2,0),*1,1,0),

CP=(2,-2,272),/4P=(-1,2,272),8P=(—I,-1,2&),

设平面PAB的法向量〃=(x,y,z),

APn=-x+2y+2\/2z=0

则令z=l,解得：x=2〃，y=0，.•・〃=(2&,0,l)；

BPn=-x-y+2\[iz=0

设直线PC和平面EA"所成角为凡・•.sin。=cos<CP,〃〉=-=W，

4x32

乂0K9K90，.•.8=45,即直线PC和平面所成角的大小为45.

14.(2022•江苏扬州・统考模拟预测)如图所示，已知长方形人8CO中，AD=2AB=2区E为

3c的中点将.A3E沿A£折起，使得A3_LZ)£

(1)求证：平面平面AECO；

(2)若点F在线段上，且平面4组与平面人瓦'所成锐二面角的余弦值为£,试确定点F

的具体位置.

【答案】(1)证明见解析

⑵产为的中点

【分析】(1)根据平面几何知识易证小_LA£,再由根据线面垂直的判定定理得

到平面AM,然后由面面垂直的判定定理即可证得平面ABES平面AECO：

(2)由OE_LAE,过点E作直线/垂直于平面AECO,以点E为原点建立空间直角坐标系，

分别求出平面/吃与平面4瓦•的一个法向量，再根据二面角的向量公式即可解出.

【详解】(1)在矩形A8CD中，人力=2人B=为8c中点，

/.BE=BA,CE=CDZBEA=NCED=45NAED=90,DELAE

又.OE_LA8,A£cA8=A;.OE_L平面/WE,

乂•.DEu平面AEC。,.•・平面A8E_Z平面AECD.

(2)因为QE_LAF.过点E作直线/垂直于平面以点E为原炉,建立空间直角坐标

系，如图所示：

设B*,0当卜（疝0,0）,七（0,0,0）,£）（0,跖0）,

设BF=2BDnF*（1-4）,而,半（1一/1）］以=（",0,0）,owawi,

EF=.（1一4）,疯冷（1-4）］

设平面4Er的一个法向量仆=（x，”z），

Rx=o

n.•ErAA=0n,

-o=号一）》题甘（-"二尸"=（z°'""口）

uu

而平面ABE的一个法向量%=（0,1,0）

设平面ABE与平面AEF所成锐二面角为。，

.•.cos®=J1n=-^=1"故尸为8。的中点.

同可7（l-2）2+4A252

15.（2022•江苏连云港•模拟预测）在四棱锥P—A8s中，平面R4A_L平面ABC。，BC1AB,

PA工CD,45=2,BC=CD=2向,ZC4D=60°.

（1）证明：BD工PC；

⑵若点A到平面MD的距离为巫，求二面角“-PC-。的余弦值.

1（）

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）证明出P4J■平面43CZ）,可得出8DJ.P4,再证明出BO_LAC,利用线面垂

直的判定和性质定理可证得结论成立；

（2）设8Oc4C=O,以点。为坐标原点，OB、OC、AP的方向分别为“、）'、z轴的正

方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得小的长，然后利用空间向量法可求得二

面角B-PC-£）的余弦值.

(1)

证明：因为平面平面ABCQ,平面QAAc平面ABC£)=A8,BC上AB,

8Cu平面488,.•.8C_L平面

PAu平面R48,：.PALBC,

PALCD,BCcCD=C,.•.孙，平面ABCQ,

QBDu平面ABC。，

在RtZXAAC中，ABIBC,AB=2,BC=26，AC=JAB2+BC2=4,

.A8=《AC,则NAC3=30，从而NR4C=60,

2

在cACD中，AC=4,ZC4D=60\CD=26,

由余弦定理可得12=Ch=AD2+AC2-2AD•4Ccos60，即AD2-4AO+4=0,

解得AD=2.

因为A3=AO=2,BC=CD,AC=AC,所以，AA8&A4DC,：.ZACB=ZACD,

又因为BC=C/）,:.BD1AC,

QPA1AC=A,平面PAC.

⑵

解：设8DcAC=O,因为EAJ_平面48cO,BDA.AC,

以点。为坐标原点，03、。。、4户的方向分别为x、F、z轴的正方向建立如下图所示的

空间直角坐标系,

则可6,0,0)、C(0,3,0),D(-x/3,0,0),A(0,-l,0),设点尸(0,-l,f)(f>0),

设平面依Z）的法向量为〃?=（x,），,z）,DB=（2>/3,0,0）,OP=（G,—1,。，

则rm•DB=2x/3x=0

…一i=。取y=f,可得〃；=（oj』），

t3V10

AO=(OJO),所以点A到平面尸以)的距离为"===

|/n|4P7\~^~

解得f=3,即点尸(0,-1,3),

设平面P8c的法向最为为=(8,)，")，CB=(x/3,-3,0),CP=(0,-4,3),

则卜•霍取产3,可得％=(3后3,4),

nyCP=-4y,+3z,=0'

设平面PCQ的法向量为小=(W，%Z2)，CD=(-V3,-3,0),

则心。=--3%=0

取必二3可得〃2=(-36,3,4),

nCP=-4y2+3Z2=0

n.•n-y-21

cos<n.，%>=।।।~।=—}=——T==------

'同网底x夜26，

由图可知，二面角8-尸C-。为锐角，故二面角8-PC-D的余弦值为表.

16.(2022•江苏连云港•模拟预测)如图，在四棱锥P-48CD中，尸A_L平面ABC。，AD//BC,

ADJLCD,且AD=CD,BC=2CD,PA=-J2AD.

(1)证明：ABYPC；

⑵在线段P£>上是否存在一点M,使得二面角M-AC-D的余弦值为姮，若存在，求8M

17

与PC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，且BM与PC所成角的余弦值为叵