三角形-2021年中考数学真题分项汇编（浙江专用）（解析版）

专题10三角形

一、单选题

1.（2021•浙江省湖州市）如图，已知点。是AA5C的外心，NA=40。，连结BO,CO,则NBOC的度数是（）.

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】

结合题意，根据三角形外接圆的性质，作。0；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案.

【详解】

△A6c的外接圆如下图

二NBOC=2ZA=80。

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解.

2.（2021.浙江衢州市）如图，在△A6C中，AB=4，AC=5,BC=6,点。，E,尸分别是A8,BC,CA的

中点，连结OE,EF,则四边形AOEF的周长为（）

A.6B.9C.12D.15

【答案】B

【分析】

根据中点的定义可得A。、AF的长，根据三角形中位线的性质可得DE、EF的长，即可求出四边形AOE尸的周长.

【详解】

：AB=4，AC=5,BC=6,点、D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,

：.AD=-AB=2,AF=-AC=-,DE、E尸为△ABC的中位线，

222

'.EF~—AB=2,DE——AC=—.

222

二四边形ADEF的周长=2+2+-+-=9,

22

故选：B.

【点睛】

本题主要考查三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握三角形中位线

的性质是解题关键.

3.（2021•浙江温州市）如图，图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心，位似比为2:3,点A,5的对应点分

别为点A',B'.若AB=6,则45'的长为（）

甲乙

A.8B.9C.10D.15

【答案】B

【分析】

直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案.

【详解】

解：；图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心，位似比为2:3,

.AB2

••—，

A'B'3

,/AB=6,

.6_2

••---=一,

A'B'3

，AB'=9

故答案为：B.

【点睛】

此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

4.（2021.浙江杭州市）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线4C,使ACLA3；②作44c的平分线AO：

③以点A为圆心，长为半径作弧，交A。于点E；④过点E作EPJ_A6于点P,则AP:AB=（）

A.I：小B.1:2C.1:73D.1:72

【答案】D

【分析】

由题意易得/8AD=45。，AB=AE,进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可求解.

【详解】

解：

；•ZCAB=90°,

平分

二NBAD=45°,

EPLAB，

...△APE是等腰直角三角形，

：.AP=PE,

AE=7Ap2+PE?=&AP，

\'AB^AE,

*'•AB=丘AP，

•■­AP:AB=1:"

故选D.

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、

勾股定理及角平分线的定义是解题的关键.

5.（2021.浙江绍兴市）如图，树AB在路灯。的照射下形成投影4C,已知路灯高PO=5m,树影AC=3m,树

A8与路灯。的水平距离A尸=4.5m,则树的高度AB长是（）

310

A.2mB.3mC.一mD.—m

23

【答案】A

【分析】

利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可.

【详解】

解：由题可知，△CLBSACPO，

.ABAC

"~OP~~CP'

•AB3

"V-3+4.5'

AB=,

故选A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求

解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等.

6.(2021•浙江衢州市)如图.将菱形4BC。绕点A逆时针旋转N2得到菱形反。力，=.当AC平分

ZB'AC'时，Na与4满足的数量关系是()

A.Z<z=2Z/7B.2Za=3Z/7

C.4Na+N£=180°D,3Za+2Z/?=180°

【答案】c

【分析】

根据菱形的性质可得AB=AC,根据等腰三角形的性质可得NBAC=/8CA=g(180°-NB),根据旋转的性质可得

ZCAC'=ZBAB'=Za，根据AC平分NB'AC'可得/BNC=NC4C=Na,即可得出4Na+N/?=180°,可得答案.

【详解】

•.•四边形ABCD是菱形,ZB=ZJ3,

：.AB=AC,

ZBAC=ZBCA=-(180°-Zfi)=-(180°-Z/?),

22

V将菱形ABCD绕点A逆时针旋转Na得到菱形AB'C'D',

：.ZCAC'=ZBAB'=Za,

平分NB'AC'，

：.ZB'AC=ZCAC^Za,

N8AC=/ZMC+N5/"=2Na=g(180°—N/7),

4Na+N/?=18()。，

故选；C.

【点睛】

本题考查旋转的性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题关键.

7.(2021.浙江宁波市)如图，在△ABC中，/8=45°,/。=60°,4。_1_8。于点£>,BD=6若E，尸分别

为AB，BC的中点，则EF的长为()

A有R旧1D指

A•----fcj.------。c•1L*•-------

322

【答案】C

【分析】

根据条件可知△43。为等腰直角三角形，则AAOC是30。、60。的直角三角形，可求出AC长，再根据中

位线定理可知EF=——。

2

【详解】

解：因为4。垂直BC,

则4AHD和△ACD都是直角三角形，

又因为N8=45°,NC=60。，

所以A£>=60=6，

因为sinNC=42=3,

AC2

所以AC=2,

因为后下为仆4BC的中位线，

AT

所以E/三止=1,

2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题

的关键.

8.(2021•浙江绍兴市)如图，HAABC中，N84C=90°,cosB=-,点。是边BC的中点，以AO为底边在其

4

CE

右侧作等腰三角形AOE,使ZM)E=NB，连结CE,则——的值为()

AD

A.-B.J3C.D.2

22

【答案】D

【分析】

由直角三角形斜边中线等于斜边•半可得出AD=BD=CD=-BC,在结合题意可得44。==ZADE，

2

即证明AB//DE,从而得出Nfi4O=N8=NAT>E=NCQE,即易证^">£：=4。£)£(545),得出4石=。£：.再

由等腰三角形的性质可知A£=CE=OE,ZBAD=ZB=ZADE=ZDAE，即证明△ABDnADE，从而可间

接推出母=股.最后由COS6=40=L,即可求出处的值，即空的值.

ADABBC4ABAD

【详解】

,/在中，点。是边BC的中点,

/.AD=BD=CD=-BC,

2

/.ZBADZB=ZADE，

；•ABIIDE.

/BAD=/B=ZADE=ZCDE,

AD=CD

：.在AADE和MDE中，，NADE=ZCDE,

DE=DE

：.4ADE三ACDE(SAS),

，AE=CE,

,/为等腰三角形，

:.AE=CE=DE,ZBAD=ZB=ZADE=ZDAE

••^AJBD〜△AD石，

.DEADCEBD

_________—■'n।n—,

"BD~AB'AD~AB

「AB1

'/cosB=----=—,

BC4

,AB_1

八

__C____E—____B____D_—/

'AD~AB~'

故选D.

【点睛】

本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质以

及解直角三角形.熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键.

9.(2021•浙江省湖州市)如图，已知在AABC中，ZABC<9Q°，AB#BC,BE是AC边上的中线.按下列步

骤作图：①分别以点民。为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M,N；②过点M,N作直线

MN,分别交8C,BE于点D,O；③连结CODE.则下列结论错误的是()

A.OB=OCB./BOD=NCODC.DE//ABD.DB=DE

【答案】D

【分析】

首先根据题意可知道MN为线段BC的中垂线，然后结合中垂线与中线的性质逐项分析即可.

【详解】

由题意可知，为线段BC的中垂线，

为中垂线MN上一点，

J.OB^OC,故A正确；

"：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

:MNLBC,

:.NODB=4ODC,

AZBOD=ZCOD,故B正确；

•.•。为BC边的中点，8E为AC边上的中线，

为△ABC的中位线，

.'.DE//AB,故C正确；

由题意可知DB=DC,

假设DB=DE成立，

则DB=DE=DC,NBEC=90。,

而题干中只给出8E是中线，无法保证8E一定与AC垂直，

不一定与DE相等，故D错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查三角形中几种重要线段的理解，熟练掌握基本定义，以及性质定理是解题关键.

10.(2021.浙江丽水市)如图，在RtzXABC纸片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点。,E分别在AB,AC上，

连结DE，将△4)£沿。£翻折，使点A的对应点尸落在的延长线上，若FD平分ZEFB,则A£>的长为()

B

D/

【答案】D

【分析】

先根据勾股定理求出A8,再根据折叠性质得出/E,AD=DF,然后根据角平分线的定义证得

NBFD=NDFE=NDAE,进而证得N8O尸=90。，证明RsABCSRQ尸8£),可求得AD的长.

【详解】

解：•.•NACB=90o,AC=4,BC=3,

AB=>JAC2+BC2=742+32=5,

由折叠性质得：ZDAE=ZDFE,AD^DF,则8£>=5-AD,

,/FD平分ZEFB，

：.ZBFD=ZDFE=ZDAE,

VZDA£+ZB=90°,

ZBDF+Z8=90°,B|JZBDF=90°,

ABCsRsFBD,

.BDBC5-AD3

.....-....即-------=—,

DFACAD4

“20

解得：AD=—,

故选：D.

【点睛】

本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠

性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.

二、填空题

11.（2021•浙江杭州市）如图，在直角坐标系中，以点A（3,l）为端点的四条射线A8，AC,AD,AE分别过点

8（1,1）,点C（l,3）,点0（4,4）,点矶5,2）,则Nfi4c_____NDAE（填“〈”中的一个）.

x

【答案】=

【分析】

连接DE,判断AABC和AADE是等腰直角三角形，即可得到NA4C=ND4E=45°.

【详解】

解：连接QE,如图

•.•点A（3,l）,点点C（l,3）,点。（4,4）,点E（5,2）,

由勾股定理与网格问题，则

AB=BC=2,ZABC=90°,

.•.△ABC是等腰直角三角形；

[AE=DE=d^+f=5AZ>=732+12=Vio-

AE2+DE2=AD2-

•••ZA£D=90°,

.•.△ADE是等腰直角三角形：

ABAC=ZDAE=45°；

故答案为：=.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识，正确

判断△A8C和△4DE是等腰直角三角形.

12.（2021•浙江台州市）如图，在AABC中，乙4cB=90。，AC<BC.分别以点A,8为圆心，大于‘AB的长为半

2

径画弧，两弧交于。，E两点，直线。E交BC于点凡连接AF.以点A为圆心，4尸为半径画弧，交BC延长线于

点“，连接A”.若BC=3,则AAFH的周长为.

【分析】

根据作图可得。尸垂直平分线段AB,利用线段垂直平分线的性质可得AF=5尸，再根据等腰三角形的三线合一可

得^AFH的周长=AF+AH+FH—2（AF+CF）=2（^BF+CF^=IBC,即可求解.

【详解】

解：由作图可得。尸垂直平分线段48,

AF^BF，

:以点A为圆心，A尸为半径画弧，交BC延长线于点，，

/.AF=AH,

，AF=AH=BF

,/AC1BH,

'.CF=CH,

二△4/7/的周长=AF+AH+~=2（AF+O7）=2（5/+CR）=28C=6,

故答案为：6.

【点睛】

本题考查尺规作图一线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键.

13.(2021•浙江金华市)如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条BC上的点P处安装一平面镜,

3c与刻度尺边MN的交点为。，从A点发出的光束经平面镜尸反射后，在MN上形成一个光点£己知

AB±BC,MN±BC,AB=6.5,BP=4,PD=8.

图1图2

(1)E£＞的长为.

(2)将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC'(如图2),点P的对应点为P,BC'与MN的交点

为从A点发出的光束经平面镜产反射后，在MN上的光点为？.若。0=5,则的长为.

23

【答案】13—

2

【分析】

(1)由题意，证明根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；

(2)过4作AHLBN交NB延长线于H,过E作E'FVBN于F,设E'D=x,E'D'=5+x,在/??△BDN中,由勾股定理D'B

=12,可证△ABHsaBDUsAEDEAH=6,BH=2.5,E'F=6。+⑵00,=25+5A从A点发出的光束经

1313

66.5

=

平面镜尸'反射后，在MN上形成一个光点△AHP'-/\E'FP',60+12%925+5%,解得k1.5.

1313-

【详解】

解：(1)由题意,

•；AB工BC,MN工BC,

：.ZABP=NEDP=90。，

•.•从A点发出的光束经平面镜P反射后，在上形成一个光点E.

ZAPB=/EPD，

：.AABPsAEDP,

.ABBP

••---二----,

EDDP

6.54

即an——=二一，

ED8

，£0=13；

故答案为：13.

(2)过A作AHLBN交NB延长线于H,过E作E'FLBN于F,设E'D=x,E'D'=5+x,

在RSBDN中，

"：BD=\2,DD'=5,

由勾股定理。'8=飞BD?+DD'2=V122+52=13,

•；NAHB=NABD=NE'FN=NBDD'=9Q。,

：.NABH+NDBD，=NDBD'+NDD'B=4FED+ZE'D'F,

：.NABH=NBD，D=NEDF

：.AABHs丛BDDs/XE'D'F,

.ABAHBHED'E'FFD'

一旃一访一访‘~BD'~~BD~~DD''

.6.5AH_BH5+x_E'F_FD'

•♦-~一=.-==，

1312513125

々/=6,BH=2.5,E'F=60+12%,FD'="四,

1313

•.•从A点发出的光束经平面镜P'反射后，在MN上形成一个光点引.

:.ZAfH=ZE'PF，

：.4AHP's丛E'FP',HP'=HB+BP=2.5+4=6.5,P'D'=BD'-BP'=l3-4=9,

25+5x

P'F=P'D'-FD'=9-

13

66.5

.AHP'H

即60+12x=25+5x,

~FF1313-

解得k1.5,

经检验x=1.5是方程的解，

23

EE'=DE-DE'=13-].5=M.5=——.

2

【点睛】

本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束

66.5

经平面镜P性质，利用相似三角形的性质构造方程60+12x=125+5%是解题关键.

----------y------------

1313

三、解答题

14.（2021.浙江杭州市）在①A£）=AE，②〃BE=NACr>,③FB=EC这三个条件中选择其中一个，补充在

下面的问题中，并完成问题的解答.

问题：如图，在AABC中，NABC=NAC3,点。在边上（不与点A,点3重合），点E在AC边上（不

与点A,点。重合），连接BE,CD,砥与C。相交于点F.若，求证：BE=CD.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【答案】见解析

【分析】

根据全等三角形的判定方法解答即可.

【详解】

解：选择条件①的证明：

因为NABC=ZACB，

所以AB=AC，

又因为AD=AE，NA=NA，

所以△ABEgAACD，

所以BE=CD.

选择条件②的证明：

因为NABC=ZACB,

所以A8=4C，

又因为NA=NA，ZABE=ZACD,

所以八钻石四八48，

所以BE=CD.

选择条件③的证明：

因为

所以NFBC=NFCB，

又因为NABC=ZACB,BC=CB，

所以△CBE^^BCD,

所以BE=CD

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定方法，证明两个三角形全等的方法有：SSS,AA5,SAS,ASA,HL

15.（2021•浙江杭州市）如图，在AABC中，NABC的平分线BO交AC边于点。，AE_LBC于点E.已知

NABC=60°,ZC=45°.

（1）求证：AB=BD.

（2）若A£=3,求AABC的面积

【答案】（1）见解析；（2）9+3、

2

【分析】

（1）根据题意证明NB4C=NAD3即可；

（2）根据特殊角的锐角三角函数求得BE、£C的长，用三角形面积公式计算即可.

【详解】

解：（1）因为3£＞平分NA8C，

所以.

2

所以ZADB=NDBC+NC=75°,

又因为NBAC=180°-ZABC-ZC=75°.

所以/BAC=NADB，

所以AB=BD.

Ap厂AF

（2）由题意，得BE=-------------=6EC=---------=3,

tanZABCtanZC

所以BC=3+JL

所以AABC的面积为-BCAE=21上叵.

22

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定，根据特殊角的三角函数求边长，正确记忆特殊角的锐角三角函数值是解题关键.

16.(2021•浙江温州市)如图，8E是AABC的角平分线，在A8上取点。，使D5=£)E.

(1)求证：DE//BC.

(2)若NA=65°,ZAED=45°,求ZEBC的度数.

【答案】(1)见解析；(2)35°

【分析】

(1)直接利用角平分线的定义和等边对等角求出N8ED=N£BC，即可完成求证；

(2)先求出/AOE,再利用平行线的性质求出NABC,最后利用角平分线的定义即可完成求解.【详解】

解：(1)••,BE平分NABC,

ZABE=/EBC.

DB=DE>

ZABE二ABED，

NBED=NEBC,

DE//BC.

(2)•••ZA=65°,ZAED=45°,

ZADE180°-ZA-ZAED=70°.

••・DEIIBC.

：.ZABC=NADE=70。.

•••BE平分NABC，

NEBC=LzABC=35。,

2

即ZE5C=35°.

【点睛】

本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与

性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握.

17.(2021.浙江绍兴市)如图，在AABC中，NA=4O°,点。，E分别在边A8,AC上，BD=BC=CE,连结

CD,BE.

B

(1)若NABC=80。，求N3DC,Z48七的度数.

(2)写出NBEC与NBOC之间的关系，并说明理由.

【答案】(1)ZBDC=50°；ZABE=20°-.(2)ZBEC+ZBDC=11Q0,见解析

【分析】

(1)利用三角形的内角和定理求出Z4C8的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出NBDC，ZABE.

(2)利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含/短E分别表示N8EC，

/BDC,即可得到两角的关系.

【详解】

(1)vZABC=80o,BD=BC，

:./BDC=ZBCD=50°.

在AABC中，ZA+ZABC+ZACB=180°,

•.•ZA=40°,

：.ZACB^60°，

•;CE=BC，

.•.NE5C=60。.

ZABE=ZABC-ZEBC=20°.

(2)NBEC，NBDC的关系：NBEC+/BDC=110°.

理由如下：设NBEC=a，4BDC=0.

在AABE中，a=ZA+ZABE=40°+ZABE，

•:CE=BC，

/CBE-NBEC-a.

ZABC=ZABE+ZCBE=ZA+2ZABE=40°+2ZABE,

•.•在△BDC中，BD=BC，

ZBDC+NBCD+ZDBC=2尸+40。+2ZABE=180。.

:./3=1金。一4ABE.

:.a+P=40°+ZABE+70O-NABE=110。.

：.ZBEC+ZBDC=U0°.

【点睛】

本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质.三角

形的内角和等于180。.三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和.等腰三角形等边对等角.

18.(2021•浙江台州市)如图，在四边形ABCZ)中，AB=AD=20,BC=DC=IG梃

(1)求证：AABC丝△AOC；

(2)当NBC4=45。时，求NBAD的度数.

【答案】⑴见详解;(2)60°

【分析】

(1)通过SSS证明△A8C-△4OC,即可；

(2)先证明AC垂直平分8。，从而得ABOC是等腰直角三角形，求出8。=10,从而得8。=20,△ABD是等边

三角形，进而即可求解.

【详解】

(1)证明：在△48C和AAOC中，

AB=AD

•：\BC=DC

AC^AC

：.(SSS),

(2)连接BQ,交AC于点O,

AABC^/XADC,

：.AB=AD,BC=DC,

垂直平分8/),即:ZAOB=ZBOC=90°,

又,.•NBCA=45°,

是等腰直角三角形，

:.BO=BC-母=10逝-逝=10,

：.BD=2BO=20,

,：AB=AD=20,

；•△A3O是等边三角形，

：.ZBAD=60°.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握垂直平分

线的判定定理，是解题的关键.

19.（2021•浙江宁波市）（证明体验）

（1）如图1，AO为AABC的角平分线，ZADC=a）°,点E在A3上，AE=AC.求证：DE平分NADB.

（思考探究）

（2）如图2,在（1）的条件下，F为AB上一点，连结”1交AD于点G.若FB=FC,7X7=2,CD=3,求

BO的长.

（拓展延伸）

（3）如图3,在四边形A8C0中，对角线AC平分/RM>,N8C4=2NOC4,点E在AC上，NE0C=NA5。.若

BC=5,CD=2区AD=2AE,求AC的长.

916

【答案】（1）见解析；（2）—；（3）一

23

【分析】

（1）根据SAS证明运△C4Z）,进而即可得到结论;

（2）先证明△EBOSAGC。，得g2=些，进而即可求解;

CDDG

（3）在AB上取一点凡使得AF=AZ），连结CF,可得，从而得ADCES^BCF,可得

—=—,^CED=ABFC,CE=4,最后证明，即可求解.

BCCF

【详解】

解：（1）：4。平分二班。，

；•ZEAD^ZCAD,

：AE=AC,AD=AD,

：.^EAD^CAD(SAS),

...ZADE=ZADC=O)°,

；•NEDB=180°-ZADE-ZADC=60°,

：•NBDE=/ADE，即平分NADB；

(2)•:FB=FC，

/EBD=/GCD，

ABDE=/GDC=6U，

AEBD^iiGCD，

BDDE

~CD~~DG

/\EAD^/\CAD,

DE=DC=3.

DG=2,

9

BD=‘

2

（3）如图，在AB上取一点凡使得A/=AD，连结CT.

•/AC平分NS4D,

ZFAC=ZDAC

•:AC=AC,

...AAEC名△ADC(5AS),

Z.CF=CD,ZACF=ZACD,ZAFC=ZADC.

,/ZACF+ZBCF=ZACB=2ZACD，

：.NDCE=ZBCF.

,//EDC=NFBC,

；♦^DCES^BCF，

:坐=W,NCED=NBFC.

BCCF

:BC=5,CF=CD=25

CE=4.

■:ZAED=1800