《幂函数》教学设计

普通高中教科书数学必修第一册（人教A版2019）3.3幂函数一、教学目标：（一）了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.（二）通过具体实例，会画y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x象，描述它们的变化规律，总结掌握幂函数的性质.（三）能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.二、教学重难点重点：幂函数的概念、图象和性质．难点：利用幂函数的性质解决有关问题.三、教学用具：ppt、geogebra软件四、教学过程：（一）情境导入前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例.1．如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜wkg，那么她需要支付p=w元，这里p是w2．如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y=x2,这里y是x3．如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3,这里V是4．如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形场地的边长c=S这里c是S的函数;5．如果某人t

s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=1tkm/s,即v=t−（二）探究活动1：请观察1—5中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.1.p=w;2.y=x2;3.4.c=S，即c=s12;5.v=实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，12，-1；它们都是形如y=【设计意图】将实际问题转化为数学问题，引导学生经历从实例中用函数思维方式抽象出幂函数的形式，进而引出新知识的定义和形式.（三）概念新知幂函数的定义：一般地，函数y=x其中x是自变量，α是常数.练习：（1）下列函数哪些是幂函数（）①y＝x3②y=(12)x③y＝4x2④y＝x⑤y＝(x－1)2⑥y＝x⑦y=（2）若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝_____.结论：底数只能是自变量x，指数只能是常数,幂的系数只能是1,解析式只能是一项；判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式；反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式．在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效.【设计意图】通过引导学生从函数的思维方式归纳出幂函数的定义，然后再通过练习和思考，学生进一步理解幂函数的定义.（四）探究活动2（数到形）对于幂函数，我们只研究α=1，2，3，12，【设计意图】通过课前预习的网络作业让学生先独立画出三个幂函数的图像，然后课堂上在同一直角坐标系中通过描点法画出另外两个幂函数，在画的过程中体会图像的变化趋势，掌握幂函数的特征.（五）探究活动3（形到数）结合幂函数图像和解析式，将你发现的结论填写在下表.y=xy=y=y=y=定义域RRR[0，+∞）(值域R[0，+∞）R[0，+∞）(奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在R上单调递增在（-∞，0）上单调递减在（0，+∞）上单调递增在R上单调递增在[0，+∞）单调递增在（-∞，0）上单调递减在（0，+∞）上单调递减【设计意图】由形到数，发现并归纳5个常见幂函数的图像性质.（六）性质探究探究活动4：观察α=1,2,3，1/2，-1时幂函数的图形，填写以下研究报告常见幂函数研究报告研究方向研究内容研究结果大体分布1.α在变化时，幂函数的图像分布在哪几个象限？共同点是什么？微观图像2.图像有恒过的点吗?3.α取何值时，幂函数在第一象限单增？单减？4.α的取值影响幂函数的奇偶性吗？5.仔细观察第一象限内幂函数图像，以直线x=1作为分界线，左右两侧图像与指数幂有何联系？1.特殊幂函数的性质(1)y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12，y＝x－1主要分布在第象限，第(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12和y＝x－1(3)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是，函数y＝x2是；(4)在区间(0,＋∞)上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12,函数y＝x（5）在第一象限内，函数y＝x－1的图像向上与y轴，向右与x轴.2.一般幂函数的性质：(1)第一象限均有图像，第四象限均无图像(2)幂函数图像都过点(1,1)；α>0，函数过（0,0）(3)α为偶数时，幂函数是偶函数;α为奇数时，幂函数是奇函数.(4)当α>0时,幂函数在区间

(0，+∞)上单调递增；当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减（5）一般地，幂函数的图像在直线x=1的右侧，指数大的在上，指数小的在下（指大图高），在y轴与直线x=1之间正好相反（指大图低）.【设计意图】引导学生通过观察函数的图像，分析归纳出五个函数图像各自性质的基础上，再归纳幂函数的共性和差异性，进而得出幂函数的基本性质.（七）应用提升例1．在下列四个图形中，y＝x－12例2比较下列各组数的大小.1.23，1.330.531.23，0.53，（八）当堂检测1.下列函数是幂函数的是（）A.y=5x2B.y=x52.若f(x)＝(m2－2m－2)xm是幂函数，且在第一象限为增函数，则m＝（）A.−1B.3C.-1或3D.3.已知幂函数y=f(x)的图像经过点（4，12

），则f(2A.14

B.4C.4.下列正确的是()A.(1.5)3<(1.4)3

C.(11.5)−3<(11.6)−5.若（3-2m）五．归纳总结1.幂函数概念：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2.幂函数性质：(1)幂函数图象都过点(1,1).(2)α为偶数时，幂函数是偶函数。α为奇数时，幂函数是奇函数.(3)当α>0时,幂函数在区间

(0，＋∞当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义.(4)一般地，幂函数的图像在直线x=1的右侧，指数大的在上，指数小的在下，（指大图高）在y轴与直线x=1之间正好相反；（指大图低）3.幂函数应用