人教A版数学(选择性必修三讲义)第09讲7.1.2全概率公式(学生版+解析)

第02讲7.1.2全概率公式课程标准学习目标1.结合古典概型，了解利用概率的加法公式与乘法公式推导出全概率公式的过程，为解决一类概率问题奠定基础。2.理解全概率公式，并能利用全概率公式进行相关的概率计算。3.了解贝叶斯公式，并能利用贝叶斯公式进行简单的计算。通过本节课的学习，要求会利用全概率公式求解事件概率，会利用贝叶斯公式进行简单的计算，解决简单的应用问题。知识点01：全概率公式（1）一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式.（2）全概率公式的理解全概率公式的直观意义：某事件的发生有各种可能的原因（）,并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和.“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率,或已知各原因发生的概率及在发生的条件下发生的概率.通俗地说，事件发生的可能性，就是其原因发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和.【即学即练1】（2024上·河南南阳·高二统考期末）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令=“玩手机时间超过1小时的学生”，=“玩手机时间不超过1小时的学生”，=“任意调查一人，此人近视”，，且互斥，，依题意有，解得从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.故选：C知识点02：贝叶斯公式（1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，，则对任意的事件,，有，.【即学即练2】（2024·全国·高二假期作业）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，则本题所求．故选：A．题型01全概率公式的应用【典例1】（2024上·黑龙江·高二校联考期末）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数的值为（

）A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75【典例2】（2024上·陕西汉中·高二统考期末）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为．【典例3】（2024上·吉林·高二校联考期末）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.【变式1】（2024·全国·高三专题练习）已知，则.【变式2】（2024·全国·模拟预测）某次女排比赛的其中一场半决赛在甲、乙两队之间进行，比赛采用五局三胜制．甲队中有一名主力队员，在其上场比赛的情况下，甲队每局取胜的概率为，在其不上场比赛的情况下，甲队每局取胜的概率为，甲队从全队战术、队员体力等各方面综合考量，决定该主力队员每局比赛上场的概率为．已知甲队已经取得了第一局比赛的胜利，则最终甲队以3：0战胜乙队的概率为．【变式3】（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．(1)求；(2)求．题型02贝叶斯公式的应用【典例1】（2024·全国·高二假期作业）居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（

）A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1【典例2】（2024·天津·校考模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是．【典例3】（2024·全国·高三专题练习）三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品中任取一件．(1)求这件产品是次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．【变式1】（2024·全国·高三专题练习）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·全国·高三专题练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为．【变式3】（2024·全国·高二假期作业）现在一些大的建筑工程都实行招投标制．在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的．设B=“被调查的施工企业资质不好”，A=“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知，．现已知在被调查的施工企业当中有确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）．题型03全概率公式和贝叶斯公式的综合应用【典例1】（2024上·云南·高三校联考阶段练习）某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（

）A． B． C． D．【典例2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（

）A． B．C． D．【典例3】（2023下·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.【变式1】（2024·全国·高二假期作业）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（

）A． B． C． D．【变式2】（2024上·江苏扬州·高三统考期末）有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为.【变式3】（2024·全国·高三专题练习）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．(1)设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率：事件概率概率值(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023下·新疆巴音郭楞·高二八一中学校考期中）学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（

）A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.652．（2023·全国·高二专题练习）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（

）A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.73．（2024上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（

）A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.654．（2024·全国·模拟预测）现有两个袋子，第一个袋子中有2个红球和3个黑球，第二个袋子中有1个红球和3个黑球．随机选择一个袋子，然后从中随机摸出2个球，则恰好摸出1个红球和1个黑球的概率为（

）A． B． C． D．5．（2024·全国·高三专题练习）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（

）A． B． C． D．6．（2024下·全国·高二随堂练习）已知为两个随机事件，，若，，，则（

）A． B． C． D．7．（2024·全国·高二假期作业）某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占，面包类食品占，奶类饮品不合格的概率为0.02，面包类食品不合格的概率为0.01．现从该食品店随机抽检一件商品，则该商品不合格的概率为（

）A．0.03 B．0.024 C．0.012 D．0.0158．（2024·全国·高三专题练习）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024下·全国·高二随堂练习）某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（

）A．第二天去甲游乐场的概率为0.54B．第二天去乙游乐场的概率为0.44C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为10．（2024·全国·高二假期作业）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（

）A．事件与相互独立 B．C． D．三、填空题11．（2024上·山东滨州·高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则12．（2024下·全国·高二随堂练习）某学校有，两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去餐厅的概率为．四、解答题13．（2024下·全国·高二随堂练习）在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人(1)求这个人患流感的概率；(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.14．（2024下·全国·高二随堂练习）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行新冠疫情防控宣传．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求该社区居民遇到一位进行新冠疫情防控宣传的同学恰好是女生的概率．B能力提升1．（2024上·山东潍坊·高二统考期末）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个.(1)求这个零件是次品的概率；(2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.2．（2024·全国·高二假期作业）如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件（）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．(1)求的值：(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．3．（2024·全国·高二假期作业）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和.(1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率；(2)从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？第02讲7.1.2全概率公式课程标准学习目标1.结合古典概型，了解利用概率的加法公式与乘法公式推导出全概率公式的过程，为解决一类概率问题奠定基础。2.理解全概率公式，并能利用全概率公式进行相关的概率计算。3.了解贝叶斯公式，并能利用贝叶斯公式进行简单的计算。通过本节课的学习，要求会利用全概率公式求解事件概率，会利用贝叶斯公式进行简单的计算，解决简单的应用问题。知识点01：全概率公式（1）一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式.（2）全概率公式的理解全概率公式的直观意义：某事件的发生有各种可能的原因（）,并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和.“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率,或已知各原因发生的概率及在发生的条件下发生的概率.通俗地说，事件发生的可能性，就是其原因发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和.【即学即练1】（2024上·河南南阳·高二统考期末）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令=“玩手机时间超过1小时的学生”，=“玩手机时间不超过1小时的学生”，=“任意调查一人，此人近视”，，且互斥，，依题意有，解得从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.故选：C知识点02：贝叶斯公式（1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，，则对任意的事件,，有，.【即学即练2】（2024·全国·高二假期作业）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，则本题所求．故选：A．题型01全概率公式的应用【典例1】（2024上·黑龙江·高二校联考期末）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数的值为（

）A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75【答案】A【详解】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得，，由对立事件的概率公式可得.由全概率公式可得，解得.故选：A【典例2】（2024上·陕西汉中·高二统考期末）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为．【答案】0.012【详解】设事件“取得一件次品”事件：“取得次品是甲厂生产”，：“取得次品是乙厂生产”，由题意可知,所以由全概率公式知取得次品的概率为.故答案为：【典例3】（2024上·吉林·高二校联考期末）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设事件“取出饺子是肉馅”，，（2）设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，（3）设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，【变式1】（2024·全国·高三专题练习）已知，则.【答案】【详解】由，得，解得．故答案为：.【变式2】（2024·全国·模拟预测）某次女排比赛的其中一场半决赛在甲、乙两队之间进行，比赛采用五局三胜制．甲队中有一名主力队员，在其上场比赛的情况下，甲队每局取胜的概率为，在其不上场比赛的情况下，甲队每局取胜的概率为，甲队从全队战术、队员体力等各方面综合考量，决定该主力队员每局比赛上场的概率为．已知甲队已经取得了第一局比赛的胜利，则最终甲队以3：0战胜乙队的概率为．【答案】/0.36【详解】记事件“每局比赛甲队战胜乙队”，“甲队的主力队员上场比赛”，“甲队第一局获胜的条件下，甲队以3：0战胜乙队”．由已知得，，，所以，于是．故答案为：【变式3】（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．(1)求；(2)求．【答案】(1)；(2)0.81.【详解】（1）依题意，.（2）依题意，，由（1）知，由全概率公式得.题型02贝叶斯公式的应用【典例1】（2024·全国·高二假期作业）居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（

）A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1【答案】C【详解】记事件某人患病，事件化验结果呈阳性，由题意可知，，，所以，，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是：.故选：C.【典例2】（2024·天津·校考模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是．【答案】/0.4【详解】记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”，则，，故，即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则，，，，所以，所以，即若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.故答案为：；【典例3】（2024·全国·高三专题练习）三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品中任取一件．(1)求这件产品是次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．【答案】(1)(2)【详解】（1）设取到第批产品为事件，，取到次品为事件..（2）.【变式1】（2024·全国·高三专题练习）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，所以，因为，所以，所以由全概率公式可得，因为，所以．所以．故选：A【变式2】（2024·全国·高三专题练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为．【答案】【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，，任取一个零件是次品的概率为如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为.故答案为：.【变式3】（2024·全国·高二假期作业）现在一些大的建筑工程都实行招投标制．在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的．设B=“被调查的施工企业资质不好”，A=“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知，．现已知在被调查的施工企业当中有确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）．【答案】0.55【详解】由题意可得，，，所以，.即评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率约为0.55.题型03全概率公式和贝叶斯公式的综合应用【典例1】（2024上·云南·高三校联考阶段练习）某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题；设事件表示答对该题，则，设事件表示答对某个题，则，设事件表示将有思路的题目做对，则，故选：B【典例2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】AB选项，事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则，，，，，，故A正确，B错误；C选项，，故C正确；D选项，，故D正确．故选：ACD．【典例3】（2023下·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.【答案】【详解】记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件，记取到的芯片是次品为事件，则，，，故，则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.故答案为：【变式1】（2024·全国·高二假期作业）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为抽到的次品可能来自于，两条生产线，设“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品来自生产线”，“抽到的一件产品是次品”，则，由全概率公式得，所以它来自生产线的概率是.故选：B【变式2】（2024上·江苏扬州·高三统考期末）有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为.【答案】【详解】记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，则，，，所以，，故，所以.故答案为：【变式3】（2024·全国·高三专题练习）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．(1)设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率：事件概率概率值(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．【答案】(1)表格见解析(2)【详解】（1）根据三个年级的人数比值为，则，，，由每个年级的抽取比例可知，，,由全概率公式，得，事件概率概率值（2）该学生来自于高一年级的概率.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023下·新疆巴音郭楞·高二八一中学校考期中）学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（

）A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65【答案】D【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设为“第一天去一餐厅用餐”，为“第一天去二餐厅用餐”，为“第二天去一餐厅就餐”；则,,,由全概率公式可知,故选：D.2．（2023·全国·高二专题练习）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（

）A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7【答案】C【分析】利用全概率公式可求球队某场比赛不输球的概率.【详解】设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．则，所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为．故选：C．3．（2024上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（

）A．0.48 B．0.52 C．0.56 D．0.65【答案】B【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.【详解】种植一等麦种和二等麦种的事件分别为，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件，依题意，，，，，由全概率公式得，.故选：B4．（2024·全国·模拟预测）现有两个袋子，第一个袋子中有2个红球和3个黑球，第二个袋子中有1个红球和3个黑球．随机选择一个袋子，然后从中随机摸出2个球，则恰好摸出1个红球和1个黑球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全概率公式求得，，，再进行计算即可.【详解】设“选到第一个袋子”为事件，“选到第二个袋子”为事件，“随机摸出2个球，恰好摸出1个红球和1个黑球”为事件，则，，，所以．故选：C．5．（2024·全国·高三专题练习）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】上午打球为事件A，下午游泳为事件B，利用全概率公式求出，再利用条件概率公式计算即得.【详解】设上午打球为事件，下午游泳为事件，则，于是，因此，所以上午打球的概率为.故选：C6．（2024下·全国·高二随堂练习）已知为两个随机事件，，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，结合条件概率和全概率公式，列出方程，即可求解.【详解】由为两个随机事件，，且，，,可得，即，解得.故选：D．7．（2024·全国·高二假期作业）某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占，面包类食品占，奶类饮品不合格的概率为0.02，面包类食品不合格的概率为0.01．现从该食品店随机抽检一件商品，则该商品不合格的概率为（

）A．0.03 B．0.024 C．0.012 D．0.015【答案】C【分析】利用全概率公式计算即可.【详解】设事件表示“抽到的商品为奶类饮品”，事件表示“抽到的商品为面包类食品”，则，设事件表示“抽检的商品不合格”，则，所以，故选：C．8．（2024·全国·高三专题练习）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解.【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，则，，，，则，，故，故.故选：D二、多选题9．（2024下·全国·高二随堂练习）某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（

）A．第二天去甲游乐场的概率为0.54B．第二天去乙游乐场的概率为0.44C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为【答案】AC【分析】利用条件概率公式、全概率公式以及对立事件的概率计算公式一一代入计算即可.【详解】设事件：小王同学第一天去甲游乐场，事件：小王同学第二天去甲游乐场，事件：小王同学第一天去乙游乐场，事件：小王同学第二天去乙游乐场，则，，，，所以，故选项A正确；，故选项B不正确；因为，，所以，，所以，故选项C正确；，故选项D不正确，故选:AC．10．（2024·全国·高二假期作业）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（

）A．事件与相互独立 B．C． D．【答案】BCD【分析】A选项，计算出，根据，判断出与相互独立；BD选项，利用条件概率求出答案；C选项，利用全概率公式求出答案.【详解】A选项，由题意，，，而，A错误；B选项，由，，所以，B正确；C选项，，C正确；D选项，，正确．故选：BCD．三、填空题11．（2024上·山东滨州·高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则【答案】【分析】由题设求出，，，利用全概率公式、条件概率公式进行求解即可．【详解】由题意得，，，若发生，此时乙箱中有6个红球，2个白球和3个黑球，则，先发生，此时乙箱中有5个红球，3个白球和3个黑球，则，先发生，此时乙箱中有5个红球，2个