《高等数学（经济类）下册 第2版》课件 8-5 曲面及其方程

第八章向量代数与

空间解析几何第五节曲面及其方程一、曲面及其方程二、常见的曲面三、其他常见的二次曲面四、小结定义1

解决两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).一、曲面及其方程(1)曲面

上的任意点的坐标都满足此方程(2)不在曲面

上的点的坐标不满足此方程曲面叫做方程

的图形.则

叫做曲面

的方程,如果曲面

与方程

有下述关系:故所求方程为例1

求动点到定点设轨迹上动点为即依题意有距离为

的轨迹方程.表示上(下)球面特别,当

在原点时,球面方程为解:

例2

研究方程解:

配方得可见此方程表示一个球面说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为球心为一个球面,或点,或虚轨迹.定义2

一条平面曲线1、旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.比如:二、常见的曲面

建立

面上曲线

绕

轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为若点则有则有给定

面上曲线该点转到当绕

轴旋转时,思考：当曲线

绕

轴旋转时，方程如何？例3试建立顶点在原点,旋转轴为

轴,半顶角为的圆锥面方程.两边平方在

面上直线

的方程为解:

绕

轴旋转时,圆锥面的方程为例4

求坐标面

上的双曲线分别绕

x轴和

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.这两种曲面都叫做旋转双曲面.解:

绕

轴旋转所成曲面方程为绕

轴旋转所成曲面方程为例5

试判断方程

表示怎样的一个曲面.解该方程可以看作是平面中的曲线绕轴旋转一周所得的旋转椭球面.也可以看作是由平面中的曲线绕轴旋转一周所得的旋转椭球面.2、柱面引例

分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程在

面上，表示圆

,故在空间过此点作对任意

,平行

轴的直线

,表示圆柱面在圆

上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,分析:沿圆周

平行于

轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面.定义3平行定直线并沿定曲线C

移动的直线l

形成的轨迹叫做柱面.

表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xOy面上的抛物线.

z

轴的椭圆柱面.

z

轴的平面.

表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于C

叫做准线,l

叫做母线.一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x

轴;平行于y

轴;平行于z

轴;准线xOz

面上的曲线l3母线柱面,准线xOy

面上的曲线l1母线准线yOz

面上的曲线l2母线三、其它常见的二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法

其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形统称为二次曲面.(二次项系数不全为0)1、

椭圆锥面椭圆在平面x＝0

或y＝0

上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x

或y

方向的伸缩变换得到

)2、椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆3、单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z

轴）平面上的截痕情况:双曲线:

虚轴平行于x

轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;相交直线:

双曲线:4、双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面5、椭圆抛物面截痕都是平面

中的一个椭圆周对任意平面，截该曲面所得的任何平面或截该曲面所得的截痕总是抛物线.

6、双曲抛物面（马鞍面）任何平面

及截该曲面所得的截痕总是抛物线任意的平面,截该曲面所得的截痕都是该平面内的双曲线1、曲面的概念2、常见的曲面3、