《高等数学（经济类）下册 第2版》习题及答案 第十三章答案

习题13—1（A）1.求下列函数的一阶差分和二阶差分：（1）；（2）；（3）；（4）设阶乘函数，.解：（1），.（2），.（3），.（4），.2.判断下列差分方程的阶数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解：（1）一阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）二阶；（5）二阶；（6）三阶；（7）四阶；（8）二阶.3.已知差分方程，（1）证明函数（，是任意常数）是差分方程的通解；（2）当初始条件为，时，求差分方程的特解.解：（1）这是一个二阶差分方程，将函数代入差分方程的左边，整理得左边右边，又因为，是两个相互独立的任意常数，所以函数是差分方程的通解.（2）由初始条件，，有解得，，因此所求的特解为.4.如果，，，,，……，根据以上数据的规律，写出和表示的差分方程.解：根据数列的取值，可知后一项比前一项的二倍还多一，所以有，这是一个一阶差分方程，也可以化为.5.某个地区，若每年现有的汽车中有需报废，同时每年新购辆汽车，试建立年后汽车总数的差分方程.解：第年的汽车总量与前一年汽车的报废数量和新购置数量相关，根据题意，它们之间的关系式为，这是一个一阶线性差分方程.习题13—1（B）1.求，，.解：设，那么，，2.一辆油耗指标是每加仑英里，建立一个以为英里，为汽车油箱内汽油加仑数的差分方程.解：由题意，一英里耗油的加仑数为，则差分方程为.3.某植物第一天长高cm，之后每天长的高度是前一天的，建立一个描述天后植物高度的差分方程.解：，或，.4.某种树年后可成才，若表示第年植入的树数，表示第年时已成才的树数，试写出与，有关的差分方程.如果表示每年要砍伐的树数，差分方程应如何修正？解：考虑时的情形，差分方程为；如果每年砍伐的树数为，则此时的差分方程为.

习题13—2（A）1.求下列差分方程的通解：（1）；（2）；（3）.解：（1）特征方程为，解得特征根，故所求的通解为（为任意常数）.（2）原方程可改写为，特征方程为，解的特征根，故所求的通解为（为任意常数）.（3）原方程可改写为，特征方程为，解的特征根，故所求的通解为（为任意常数）.2.求下列差分方程在给定初始条件下的特解：（1），；（2），；（3），.解：（1）特征方程为，解得特征根，故所求的通解为（为任意常数）.由，得，故原方程满足初始条件的特解为.（2）原方程可改写为，特征方程为，解得特征根，故所求的通解为（为任意常数）.由，得，故原方程满足初始条件的特解为.（3）原方程可改写为，特征方程为，解得特征根，故所求的通解为（为任意常数）.由，得，故原方程满足初始条件的特解为.3.求下列差分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.解：（1）原方程可化为，特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.（2）特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.令，代入原方程得，这是一阶非齐次线性差分方程，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.综上可得，原方程的通解为.（3）原方程可化为，特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.令，代入原方程得，这是一阶非齐次线性差分方程，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.综上可得，原方程的通解为.（4）特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于是不是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.（5）特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于不是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得，，.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.（6）特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于是不是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得，，.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.（7）原方程可化为，特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于是不是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得，.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.4.求下列差分方程在给定初始条件下的特解：（1），；（2），；（3），；（4），.解：（1）特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得，.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.由初始条件，得，因此所求的满足初始条件的特解为.（2）原方程可化为，特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.由于不是特征根，且方程的右端函数为，所以可假设原方程的特解为，代入原方程，并比较等式两端同次幂的系数，得.所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.由初始条件，得，因此所求的满足初始条件的特解为.（3）原方程可化为，特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.令，代入原方程得，这是一阶非齐次线性差分方程，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.综上可得，原方程的通解为.由初始条件，得，因此所求的满足初始条件的特解为.（4）特征方程为，特征根为，故其对应的齐次差分方程的通解为（为任意常数）.令，代入原方程得，这是一阶非齐次线性差分方程，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.综上可得，原方程的通解为.由初始条件，得，因此所求的满足初始条件的特解为.习题13—2（B）1.求下列差分方程的通解或特解：（1）；（2）（）；（3）；（4），.解：（1）由于，所以如果，则有.（2）特征方程为，特征根为，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为.令，代入原方程得，这是一阶非齐次线性差分方程.（i）当时，是特征方程的根，且原方程的右端函数为，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.此时，原方程的通解为.（ii）当时，不是特征方程的根，且方程的右端函数为，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.此时，原方程的通解为.（3）原方程对应的齐次差分方程的特征方程为，特征根为，所以对应的其次差分方程的通解为.又由于原方程的右端函数为，可令特解为，代入原方程，并比较两端同类项的系数，得，，所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.（4）原方程对应的齐次差分方程的特征方程为，特征根为，所以对应的其次差分方程的通解为.又由于原方程的右端函数为，可令特解为，代入原方程，并比较两端同类项的系数，得，，所以原方程的一个特解为，从而原方程的通解为.根据初始条件，可得，所以原方程满足初始条件的特解为.2.设，为非零常数且，验证：通过变换，可将非齐次差分方程化为齐次差分方程，并求解.解：由得，所以方程可化为，即，这是一个齐次差分方程，其通解为.所以方程的通解为.3.已知差分方程，其中，，均为常数，为给定的初始条件．（1）证明：，；（2）证明：在变换下，原方程可化为关于的线性差分方程，并求出的通解；（3）求差分方程在初始条件时的特解及．解：（1）因为，，，，所以．由数学归纳法，假设，那么有，因此对应任意的，可知．（2）作变换，即，代入原方程，得．这是一个一阶非齐次线性差分方程，下面分情况讨论它的解．（i）当时，方程变为，是此方程的特征根，可得通解，所以．结合初始条件，得，则有．（ii）当时，不是方程的特征根，求得通解为，所以．结合初始条件，得，则有．综合（i）和（ii），在初始条件下，原方程的解为（3）由上面的结论可知，方程在初始条件时的解为，所以．

习题13—3（A）1.求下列差分方程的通解或特解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），，；（6），，.解：（1）原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程的通解为（，为任意常数）.（2）原方程的特征方程为，解得两个相等的实特征根为，所以原方程的通解为（，为任意常数）.（3）原方程可化为的特征方程为，解得两个共轭的复特征根为，经计算得，，所以原方程的通解为（，为任意常数）.（4）原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程的通解为（，为任意常数）.（5）原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程的通解为（，为任意常数）.由初始条件，，可得，，于是原方程满足初始条件的特解为.（6）原方程的特征方程为，解得两个共轭的复特征根为，经计算得，，所以原方程的通解为（，为任意常数）.由初始条件，，可得，，于是原方程满足初始条件的特解为.2.求下列差分方程的通解或特解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），，；（6），，.解：（1）原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.再求原方程的一个特解.由于不是特征根，可令，代入原方程，并比较同次幂的系数，得，所以.于是原方程的通解为.（2）原方程的特征方程为，解得两个相等的实特征根为，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.再求原方程的一个特解.由于不是特征根，可令，代入原方程，并比较同次幂的系数，得，所以.于是原方程的通解为.（3）原方程的特征方程为，解得两个共轭的复特征根为，经计算得，，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.再求原方程的一个特解.由于不是特征根，可令，代入原方程，并比较同次幂的系数，得，，所以.于是原方程的通解为.（4）；原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.再求原方程的一个特解.令，代入原方程得，这是一阶非齐次线性差分方程，容易求得它的一个特解，故原方程的一个特解为.综上，原方程的通解为.（5），，；原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.再求原方程的一个特解.由于不是特征根，可令，代入原方程，并比较同次幂的系数，得，所以.于是原方程的通解为.再由初始条件，，可得，，所以原方程满足初始条件的特解为.（6）原方程的特征方程为，解得两个不相等的实特征根为，，所以原方程对应的齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.再求原方程的一个特解.由于是单重的特征根，可令，代入原方程，并比较同次幂的系数，得，，，所以.于是原方程的通解为.再由初始条件，，可得，，所以原方程满足初始条件的特解为.习题13—3（B）1.求下列差分方程的通解：（1）；（2）.解：（1）这是一个二阶非齐次线性差分方程，其对应的齐次线性差分方程为，特征方程为，解的特征根，，所以齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.由于原方程的右端函数可写作，其中，．对于方程，可求得特解；对于方程，可求得特解．由线性差分方程的叠加原理，可知原方程的一个特解，于是得到原方程的通解为．（2）这是一个二阶非齐次线性差分方程，其对应的齐次线性差分方程为，特征方程为，解的特征根，所以齐次差分方程的通解为（，为任意常数）.由于原方程的右端函数可写作，其中，．对于方程，可求得特解；对于方程，可求得特解．由线性差分方程的叠加原理，可知原方程的一个特解，于是得到原方程的通解为．

习题13—4（A）1.某人在岁时将万元钱存入某基金会，约定固定月利率为，每月从中提取元作为日常生活费，试通过建立差分方程计算（1）他每月末在基金会里还有多少钱？（2）在他多少岁时将存入基金会里的钱用完？（3）如果他想用到岁，那么在岁时应存入多少钱？解：设个月后存在基金会的钱还有元，每月支取元，约定固定月利率为，则有，这是一个一阶非齐次线性差分方程，通解为.当时，，所以通解也可表示为.（1）当，，初始条件为时，求解上述差分方程，得，从而.由此可计算出第个月末的余额.（2）用完存入基金会里的钱时，也就是对应于时，即，解得，即到岁零个月时用完基金里的钱.（3）如果他想用到岁，即时，.设在岁时应存入元钱，则有，可得（元）.2.假设一水库中开始有万条鱼，由于繁殖导致鱼的年增长率为，而每年的捕鱼量为万条.（1）列出每年末水库中存有鱼量的差分方程，并求解；（2）按现在的情形，多少年后水库中的鱼将被捕捞完？解：（1）记为第年末水库中鱼的数量，由题意可得下面的差分方程，即，且满足初始条件.这是一个一阶非齐次线性差分方程，其通解为.结合初始条件，得，所以该差分方程满足初始条件的特解为.（2）假设第年末时将水库中的鱼捕捞完，即，则有，解得.也就是说，按现在的情形，大约年后，水库中的鱼将被捕捞完.3.梅茨勒（MetzlerL.A）曾提出如下库存模型：其中，，，分别为时期的总收入、销售收入、库存量，和为常数，且.试求，，关于的表达式.解：先求.由题意，可得，整理有，这是二阶常系数非齐次线性差分方程.特征方程为，可解得一对共轭的特征根（）.计算可得，，于是对应的齐次差分方程的通解为.由于不是特征方程的根，故可设特解为，代入方程，解得.所以原方程的通解为.从而，，.习题13—4（B）1.设某商品（单位：箱）的供需方程分别为，，其中和分别表示第期和第期的价格（单位：百元/箱），供方在第期的售价为，需方以价格就可以使该商品在第期售完（即供需平衡）.已知，，试求价格函数的表达式.解：根据题意，在供需平衡时，有，即，整理得.这是一个二阶常系数非齐次线性差分方程，其对应的齐次差分方程为，特征方程为，解得一对共轭的特征根，计算可得，，故齐次差分方程的通解为.由于不是特征方程的根，故可设特解为，代入方程，解得.所以原方程的通解为，结合初始条件，，解得，，从而可得.2.设为第期国民收入，为第期消费，为投资（假定各期相同），它们之间的关系为：，，其中，，且假定已知，试求和.解：先求.由，消去得，，可化为.这是一阶非齐次差分方程，容易求得其对应的齐次差分方程的通解为（）.由于不是特征方程的根，故可设特解为，代入方程，解得，所以原方程的通解为.令，可得，所以，从而.总习题十三1.填空题（1）设，则；（2）设，则；（3）如果是差分方程的解，则；（4）已知某二阶常系数齐次线性差分方程的通解为，则此差分方程为；（5）已知某二阶常系数非齐次线性差分方程的通解为，则此差分方程为.解答：（1）填：，根据差分定义即可.（2）填：,根据差分定义即可.（3）填：,因为所以（4）填：，因为，所以二阶常系数齐次线性差分方程特征方程为，因此差分方程为.（5）填：,因为，所以二阶常