2024-2025学年高考数学一轮复习：三角形四心及奔驰定理（学生版+教师版）

第37讲三角形四心及奔驰定理

知识梳理

技巧一.四心的概念介绍：

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1.

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相

等.

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

技巧二.奔驰定理一解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知AABC的顶点A(xt,%),2(%，%)，C(W，%)，则△48C的重心坐标为

cxl+x2+x3%+y?+%)

'3'3

注意：(1)在人钻。中，若。为重心，贝！］函+砺+反=6.

(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔驰定理：SAOA+SBOB+SCOC=Q,则"08、Z\A0C>△BOC的面积

之比等于4：4：4

奔驰定理证明：如图，令人况=两，％无=两，4k=西，即满足

技巧三.三角形四心与推论:

(1)。是ZXABC的重心：S&BOC:^ACOA:SAAOB=l：l：loOA+OB+OC=0.

(2)。是AABC的内心：:S^=a:b:c<^>aOA+bOB+cOC=6.

WZ-iC-Lz/iZ-iA/iCnzRo

1

（3）。是的外心:

S/A\Rr>nUr:/\SiAff™y:/S\MIMfrCiR-sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2BOB+sin2C0C=0.

（4）。是△ABC的垂心：

Sgoc:5ACOA:S-OB=tanA:tan8:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

技巧四.常见结论

（1）内心：三角形的内心在向量普+若所在的直线上.

网M

|AB|-PC+|BC|-PC+|CA|-PB=6=P为AABC的内心.

（2）外心：|可卜|而卜|罔oP为△ABC的外心.

（3）垂心：丽•丽=丽•定=玄.玄o?为△ABC的垂心.

（4）重心：西+而+前=6o尸为的重心.

必考题型全归纳

题型一：奔驰定理

例1.（2024・全国•高一专题练习）已知。是AABC内部的一点，/A,NB,/C所对的边

分别为。=3,6=2,c=4,若sinA.西+sinB-砺+sinC•元=0，则从103与AABC的面

积之比为（）

例2.（2024•安徽六安•高一六安一中校考期末）已知。是三角形ABC内部一点，且

OA+2OB+OC^0>则AAOB的面积与AABC的面积之比为（）

例3.（2024・全国•高一专题练习）若点M是"18C所在平面内的一点，点。是边AC靠近

A的三等分点，且满足5丽=通+而，则AABM与△ABD的面积比为（）

2

变式1.（2024•全国•高三专题练习）平面上有AABC及其内一点O,构成如图所示图形,

若将AOAB,AOBC,AOO的面积分别记作臬，Sa,Sb,则有关系式

SaOA+SbOB+Sc-OC=6.因图形和奔驰车的/og。很相似，常把上述结论称为“奔驰定

理已知AABC的内角4B,C的对边分别为“，b,c,若满足

a-OA+bOB+cOC=6>则。为AABC的（）

C.重心D.垂心

变式2.（2024•上海奉贤•高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一

个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地

称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是△4BC内的一点，ABOC,AAOC,△/OB的面

积分别为»、SB、SC,则有枭市+与砺+Sc南=0,设。是锐角△NBC内的一点，Z

BAC,ZABC,分别是△4BC的三个内角，以下命题错误的是（）

A.^OA+OB+OC=0>则。为△48C的重心

B.若方+2漏+3元=6，则%:SB：SC=1：2:3

C.则。为△/2C（不为直角三角形）的垂心，则

tanZBAC-OA+tanZABCOB+tanZACBOC=6

D.若|词=|刎=2,ZAOB=^-,20A+30B+40C=0，则可.4

变式3.（多选题）（2024•江苏盐城•高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面

3

向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes6e〃z）的logo

很相似，故形象地称其为“奔驰定理奔驰定理：已知。是AABC内一点，ABOC,

△AOC,AAOB的面积分别为丛,SB，5一贝USA•况+Ss・砺+Sc・夫=。，。是AA3C内的

一点，ABAC,ZABC,NAC8分别是AABC的三个内角，以下命题氐卿的有（）

A.若2方+3砺+4交=6，则%鸟£=4:3:2

B.若网=|词=2,ZAOB=y,且2砺+3丽+4狂"贝应树=竽

C.若西•瓦=万・阮=元.西，则。为AABC的垂心

__JI

D.若。为AABC的内心，S.5OA+12OB+13OC^0,则ZACB=-

变式4.（多选题）（2024•全国•高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，因为这个定理对应的图形与“奔驰"轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其

为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是AABC内一点，ABOC、AAOC、AAQ5的面积分别为

SA、SB、S-贝I]SA•丽+Sp•丽+S0•反=6.设。是锐角AABC内的一点，NBAC、

ZABC.NACB分别是44BC的三个内角，以下命题正确的有（）

A

A.若丽+2砺+3元=6,则SA：SB：SC=1:2:3

B.网=烟=2,ZAOB=^,2OA+3OB+4OC=6,则荣诋=：

______兀

C.若。为AABC的内心，3OA+4OB+5OC=6<贝IJ/C=,

D.若。为AA5C的重心，则OA+OB+OC=Q

4

题型二：重心定理

例4.（2024•福建泉州•高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、

重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线

被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为。，重心为G,

垂心为，，M为中点，且AB=5,AC=4,则下列各式正确的有.

@AG-BC=-3®AOBC=-6

@OH^OA+OB+OC®AB+AC=4OM+2HM

例5.（2024・全国•高一专题练习）点。是平面上一定点，A、B、C是平面上AA3c的三

个顶点，NB、/C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是（把你认为正

确的序号全部写上）.

①动点P满足赤=次+而+无，贝UAABC的重心一定在满足条件的P点集合中；

②动点P满足加=砺+〃濡+前）（久>0）,则AABC的内心一定在满足条件的尸点集合

中；

③动点P^S,OP=OA++--）（2>0）,则AABC的重心一定在满足条件的P

|AB|sinp3|AC\sinC

点集合中；

4/?AC

④动点P满足无=次+〃姬-g+r;「）（2>0）,则AABC的垂心一定在满足条件的P

|AB\cosB|AC|cosC

点集合中；

⑤动点P满足丽=08：—+qS+点,）（」>o）,则aABC的外心一定在满足条

2|AB|cosB|AC\cosC

件的p点集合中.

例6.（2024・河南•高一河南省实验中学校考期中）若。为AABC的重心（重心为三条中线

交点），且函+砺+X诙="贝1）4=—.

变式5.（2024•全国•高一专题练习）（1）已知△/BC的外心为O,且N5=5,AC=3,则

AOBC^.

（2）已知△NBC的重心为O,且48=5,AC=3,则33.前=.

5

（3）已知△NBC的重心为O,且48=5,AC=3,A=。为8C中点，则而•丽=

变式6.（2024・江苏无锡•高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在AA3C中，AB=2,

ZABC=60°,AC-AB=-1，若。是AABC的重心，则前.衣=.

变式7.（2024•江西南昌•高三校联考期中）锐角AABC中，a,b,c为角A,B,C所对

的边，点G为AABC的重心，若AGLBG,则cosC的取值范围为.

变式8.（2024•全国•高三专题练习）过△4BC重心。的直线尸。交NC于点P,交8c于点

__.3__,

Q,PC=-AC,QC=nBC,则〃的值为.

变式9.（2024•上海虹口•高三上海市复兴高级中学校考期中）在AABC中，过重心G的直

线交边43于点尸，交边/C于点0,设“尸。的面积为，，AABC的面积为邑，且

s

AP=AAB,AQ=pAC,则，的取值范围为.

题型三：内心定理

例7.（2024•湖北•模拟预测）在AABC中，ABAC=16,^&ABC=6>BC=3,且

AB>AC,若。为N43C的内心，则无。配=.

例8.（2024•全国•高三专题练习）已知RSABC中，AB=3,AC=4,BC=5,/是AABC

的内心，尸是A/BC内部（不含边界）的动点.若晶>=/16（几，〃eR），则彳+〃

的取值范围是.

例9.（2024•黑龙江黑河•高三嫩江市高级中学校考阶段练习）设/为AABC的内心，

AB=AC=5,BC=6,AI=mAB+nBC，贝1+w为.

变式10.（2024•福建福州•高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知点。是AA3C的内

6

—.3—■1—■

心，若4。=—AB+—AC,贝hos/BAC=

77---------

变式11.（2024•甘肃兰州•高一兰州市第二中学校考期末）在面上有AABC及内一点。满足

关系式：SA.BC•函+S/AC•丽+SA°AB=0即称为经典的“奔驰定理”，若AA3c的三边

为a,b,c,现有分方+6历+c.反=6，则。为AA3C的—心.

变式12.（2024•贵州安顺•统考模拟预测）已知。是平面上的一个定点，/、8、C是平面上

不共线的三点，动点尸满足赤=e+2（4eR）,则点尸的轨迹一定经过

AABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

22

变式13.（2024•江西・校联考模拟预测）已知椭圆二+二=1的左右焦点分别为耳，F2,p

1612

为椭圆上异于长轴端点的动点，G,/分别为△尸百工的重心和内心，则月.衍=（）

416

A.-B.6C.2D.—

33

变式14.（2024・全国•高三专题练习）已知△ABC,/是其内心，内角A,民C所对的边分别

a,b,c,则()

—1.y-jcA.BbA.C

A.AI=-(AB+AC)B.AI=------+-------

aa

「fbABcAC「—cABbAC

C.AI=----------+-----------D.AI=------+-------

a+b+ca+b+ca+ba+c

3

变式15.⑵24・全国•高三专题练习）在△放中，8SA="。为△*的内心，若

~AO=xAB+yAC(x.y,则x+y的最大值为()

2c1-布口8-2夜

A.

35•6•~7-

变式16.（2024•全国•高三专题练习）点。在AABC所在平面内，给出下列关系式:

7

(i)OA+OB+OC=6；

(2)OAOB=OBOC=OCOA;

ACAB=加BCBA

(3)OA-网一网=0;

(4)(OA+OB)AB=(OB+OC)BC^Q.

则点。依次为AABC的（）

A.内心、外心、重心、垂心;B.重心、外心、内心、垂心;

C.重心、垂心、内心、外心;D.外心、内心、垂心、重心

变式17.（2024・全国•高三专题练习）已知AABC的内角A、B、C的对边分别为b、

c,。为AABC内一点，若分别满足下列四个条件：

@aOA+bOB+cOC^G-,

②tanAOA+tanB-O8+tan。OC=0;

③sin2A-DX+sin23•丽+sin2c•宓=0;

®OA+OB+OC=0;

则点。分别为AABC的（）

A.外心、内心、垂心、重心B.内心、外心、垂心、重心

C.垂心、内心、重心、外心D.内心、垂心、外心、重心

题型四：外心定理

例10.（2024•山西吕梁•高三统考阶段练习）设。为"RC的外心，且满足

2函+3砺+4无=0，|次|=1,下列结论中正确的序号为.

@OBOC=-^■②展卜2；③ZA=2NC.

例11.（2024・河北•模拟预测）已知。为AABC的外心，AC=3,BC=4,^OC.AB=

例12.（2024•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知。是AA5C的外

8

2且则实数加的最大值为

心,AC-AO^2mAd,sinB+sinC=6,

变式18.（2024・全国•高三专题练习）设。为AA3c的外心，若AB=4,BC=2^,则

BOAC=.

变式19.（2024•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点。是△/8C的外心，

a,6,c分别为内角4B,。的对边，A=f,且弊.互+您二.京=24砺，则2的值为

3sinCsmB

变式20.（2024・全国•高三专题练习）在AABC中，AB=6,AC=3出.点M满足

AM=^AB+^-AC.过点M的直线/分别与边A3,AC交于点RE且而=之而，

AE=^AC.已知点G为“WC的外心，AG=2AB+^AC,贝”而|为.

变式21.（2024•全国•高三专题练习）已知△NBC中，AB=AC=1,BC=g，点、。是乙

ABC的外心，则函.丽=.

变式22.（2024•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点P是AABC的内心、外

心、重心、垂心之一，且满足2衣•阮二女,-福2,则点P一定是AABC的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

题型五：垂心定理

例13.（2024・全国•高三专题练习）设。为AABC的外心，若函+。5+玩=两，则M是

AABC的（）

A.重心（三条中线交点）B.内心（三条角平分线交点）

C.垂心（三条高线交点）D.外心（三边中垂线交点）

9

例14.（2024・全国•高三专题练习）已知H为AA3C的垂心（三角形的三条高线的交点）,

__.1―.?—■

^AH=-AB+-AC,贝lJsin/R4C=.

例15.（2024・北京•高三强基计划）已知〃是AABC的垂心，2丽+3丽+4沅=0，贝U

AABC的最大内角的正弦值是.

变式23.（2024•全国•高三专题练习）设〃是“BC的垂心，S.4HA+5HB+6HC=0＞则

cosZAHB=.

变式24.（2024・全国•高三专题练习）在“BC中，点。、点〃分别为AABC的外心和垂

心，|AB|=5,|AC|=3,则超前=.

4

tanC=—

变式25.（2024•全国•高三专题练习）在“3C中，AB=AC,3,H为AABC的垂

心，且满足病=加丽+〃前，贝卜w+〃=

10

第37讲三角形四心及奔驰定理

知识梳理

技巧一.四心的概念介绍：

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1.

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相

等.

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

技巧二.奔驰定理一解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知AABC的顶点A(xt,%),2(%，%)，C(W，%)，则△48C的重心坐标为

cxl+x2+x3%+y?+%)

'3'3

注意：(1)在人钻。中，若。为重心，贝！］函+砺+反=6.

(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔驰定理：SAOA+SBOB+SCOC=Q,则"08、Z\A0C>△BOC的面积

之比等于4：4：4

奔驰定理证明：如图，令人况=两，％无=两，4k=西，即满足

技巧三.三角形四心与推论:

(1)。是ZXABC的重心：S&BOC:^ACOA:SAAOB=l：l：loOA+OB+OC=0.

(2)。是AABC的内心：:S^=a:b:c<^>aOA+bOB+cOC=6.

WZ-iC-Lz/iZ-iA/iCnzRo

1

(3)。是的外心：

S=

SA/\Rr>Unr:/S\lAff™y:/\rAA\/A1>nRsin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2BOB+sin2C0C=0.

(4)。是△ABC的垂心：

5:

S&BOC:ACOAS^AOB=tanA:tan8:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

技巧四.常见结论

(1)内心：三角形的内心在向量售+禺所在的直线上.

网M

|AB|-PC+|BC|-PC+|CA|-PB=O=尸为八48。的内心.

(2)外心：|声曰=|而卜］正|o尸为△ABC的外心.

(3)垂心：丽•丽=丽•定=玄.玄oP为/XABC的垂心.

（4）重心：西+而+前=6o尸为的重心.

必考题型全归纳

题型一：奔驰定理

例1.（2024・全国•高一专题练习）已知。是AABC内部的一点，/A,ZB,/C所对的边

分别为。=3,6=2,c=4,若sinA.西+sinB-砺+sinC•元=0，则从103与AABC的面

积之比为（）

【答案】A

b

【解析】由正弦定理二------=K又a=3b=2,c=4,所以得

sinAsin5sinC

\（3・函+2・历+4・比）=0,因为所以3.砺+2.砺+4・无=C.

设西=3OA,西=20B,西=40C,可得西+西+西=6,则。是△AgC；的重心,

Sgq=Sgq=S«a41G=S,利用S=gOR•。瓦•sinZAiOBl,sinZAOB=sinZAiOBl，所以

-OAOBsinZAOB

q2黑粽=|，所以工3:S，同理可得或血="s,

sg两.西sin404

2

S2=1s.所以AAOB与AABC的面积之比为:s：Rs+：S+3S)=4:9即为工

12616yl2/9

故选：A.

例2.（2024•安徽六安•高一六安一中校考期末）已知。是三角形ABC内部一点，且

OA+2OB+OC=0.则AAOB的面积与AABC的面积之比为（）

A.gB.—C.—D.—

【答案】C

【解析】如图，设西+反=历，：函+2砺+元=0，，也=一2无，设AC与。。交

于点则M平分AC,BD,_砺，。是中点，

•,^AAOB=万SMMB=7SAABC-比值为；.

故选：c.

A

D

例3.（2024・全国•高一专题练习）若点〃是"LBC所在平面内的一点，点。是边AC靠近

A的三等分点，且满足5丽=荏+而，则AABM与△AB。的面积比为（）

A.-B.-C.-D.—

55525

【答案】C

【解析】加是AABC所在平面内一点，连接AM,BM,延长AM至E使AE=5AM,

V5AM=AB+AC=AE>-^AB=AE-AC=CE>

连接BE,则四边形ABEO是平行四边形，向量通和向量屈平行且模相等，

3

由于AC—3AD，所以S&ABD=1,^AABC，又AE=5AM，所以SAABM=5^AABE,

7,^AABE3

在平行四边形中，S^BD=SAABE,则AABM与△ABD的面积比为^-----=-

,^AABD

故选：C.

变式1.（2024•全国•高三专题练习）平面上有AABC及其内一点O,构成如图所示图形，

若将AOAB,△05C,的面积分别记作臬，Sa,Sb,则有关系式

Sa-OA+ShOB+ScOC=6.因图形和奔驰车的bg。很相似，常把上述结论称为“奔驰定

理已知AA3C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若满足

a-OA+bOB+cOC=6^则。为AABC的（）

【答案】B

__s______ks__

【解析】由*.况+%无+&,方=6得况=-/砺-方前,

由小丽+6•砺+c・反=。得市=-2历一£诙，

aa

SbSc

根据平面向量基本定理可得一h学=-一，一r百二一一，

S,aS〃a

延长co交AB于E,延长30交AC于尸，

4

A

S二|AK|Sbb\AE\b|AC|

贝U丁=7^/7，又不=一，所以=-=

Sa\BE\Saa|BE|a\BC\

所以CE为/AC8的平分线，

同理可得BF是ZABC的平分线，

所以。为44BC的内心.

故选：B

变式2.（2024•上海奉贤•高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一

个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地

称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是△ABC内的一点，ABOC,AAOC,的面

积分别为％、SB、SC,则有％丽+SB9+SC丽=G,设。是锐角△/8C内的一点，Z

BAC,ZABC,分别是△A8C的三个内角，以下命题错误的是（）

A.^OA+OB+OC=Q，则。为△NBC的重心

B.若西+2砺+3反则SA：SB：SC=1：2：3

C.则。为△NBC（不为直角三角形）的垂心，则

tanABAC-OA+tanZABC-OB+tanZACB-OC=0

D.若|碉=|国=2,ZAOB=^,2OA+3OB+4OC^6,则S“BC=|

【答案】D

【解析】对于A：如下图所示，

5

A

假设。为4B的中点，连接0D,则丽+丽=2/=由，故C,0,0共线，即。在中线CD

上，

同理可得。在另外两边8cAe的中线上，故。为AABC的重心，即A正确；

对于B：由奔驰定理。是AABC内的一点，△3。。,四。041。2的面积分别为54,57）,5-

则有枭・砺+SB•砺+Sc•无=0可知，

若西+2赤+3反=0,可得3：SB：S0=1:2:3,即B正确;

对于C：由四边形内角和可知，ZBOC+ZBAC=71,贝lj

OB.OC=|OB||OC|COSZBOC=-|OB||OC|COSABAC,

同理，OB^A=|OB||OA|COSZBOA=-|OB||OA|COSZBCA,

因为。为AA5C的垂心，则砺•而=丽.（历-函）=砺•诙-砺•砺=0,

所l^|oc|cosABAC=网cosZBCA,同理得国即NABC=同cosZBCA,

|OA|COSZABC-|OB|COSABAC,

则网：|砺，困=cosABAC:cosZABC:cosNBCA,

令|。4卜mcosZBAC,|OB|=zncosZABC,|oc|=mcosZBCA,

由臬=T而，诙卜in/BOC,则

SA=||o5||oc|sinNBAC=geosZABCcosZBCAsinZ.BAC,

同理：SB=J网®sinNA8C=拳cos/BACcosNBCAsinNABC,

Sc=；网网sinN8G4=春cosABACcosNABCsinZBCA,

sinZBACsinZ4BCsinZBCA

综上，S:S:S==tanZBAC:tanZABC:tanZBCA

ABCcosZBACcosZABCcosZBCA

6

根据奔驰定理得tan/BAC•西+tan/ABC-3§+tanZACB•/=0，即C正确

对于D：由|市|=|而|=2,/4。8=型可知，Sr=-x2x2xsin—=1,

626

X20A+30B+40C=0.所以枭：：S0=2:3:4

13

由Sc=1可得，SA=-,SB=-；

139

所以S皿=SA+SB+SC=5+Z+1="即D错误;

故选：D.

变式3.（多选题）（2024•江苏盐城•高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面

向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes6e〃z）的logo

很相似，故形象地称其为“奔驰定理奔驰定理：已知。是AABC内一点，ABOC,

△AOC,9。3的面积分别为21,57）,5一贝1|枭・砺+,・砺+$c・前=。，。是AA3C内的

一点，ZBAC,ZABC,NACB分别是AABC的三个内角，以下命题思碑的有（）

A.若2砺+3砺+4元=0,则SA：S&：SC=4:3:2

B.若网=|词=2,ZAOB=y,且2函+3砺+4元=0,贝应,=竽

C.若西.怎=砺.配=诙.函，则。为AABC的垂心

__„_________兀

D.若。为AABC的内心，且5次+12砺+13玄=0，则ZACB=-

【答案】BCD

【解析】对选项A：20A+30B+40C=0,则枭：S8:S0=2:3:4,错误；

对选项B：SAA0B=1x2x2xsinl20°=V3,2OA+3OB+4OC=0

故5小品：k=2：3:4,S-=\XSA=苧，正确；

对选项C：m-OB=OBOC，^{OA-OCyOB=CA-OB=D,故而，

同理可得四_1_函，AB1OC＞故。为AABC的垂心，正确；

7

对选项D：50A+120B+130C=0，故'：S§:k=5:12:13,设内接圆半径为小

SA=-^r-BC,SB=^r-AC,Sc=r-AB,BPBC:AC:AB=5:12:13,

TT

即ABJAC'+BCZ,ZACB=-,正确.

故选：BCD

变式4.（多选题）（2024•全国•高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其

为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是AABC内一点，ABOC、AAOC、AAOB的面积分别为

枭、SB、S「则枭•次+SR•丽+Sc•方=6.设。是锐角AABC内的一点，/BAC、

ZABC./ACB分别是A43C的三个内角，以下命题正确的有（）

A.若丽+2砺+3反=6，则SA：SB：SC=L2:3

B.网=囱=2,ZAOB=^,2OA+3OB+4OC=6,则LBC=|

jr

C.右。为443C的内心，30A+40B+50C=0.则/。=耳

D.若。为AABC的重心，贝1]OA+OB+OC=Q

【答案】ACD

【解析】对于A选项，^^JOA+2OB+3OC=0＞由“奔驰定理”可知SA：SB：SC=1:2:3,A

对；

对于B选项，由|。d=|0@=2,AOB=,可知S©=；x2x2xsin■^=1,

X2QA+3OB+4OC=0,所以必：SB:儿=2:3:4,

13

由7=1可得，SA=-,SB=-,

139

所以ZABC=SA+SB+SC=5+7+1="B错；

对于C选项，若。为AABC的内心，3OA+4OB+5OC=6,则3:S8:Sc=3:4:5,

8

又SA：SB：SC=-^ar:^br:^cr=a:b:C（尸为3c内切圆半径）,

所以，a2+b2=c2,故NC=1,C对;

对于D选项，如下图所示,

因为。为AABC的重心，延长CO交AB于点。，则。为AB的中点,

所以，

OC=2ODS"oz>=SWOD=]Sc,且S'。。=—SB,S^BOD=],

所以，J=SB=SC，由“奔驰定理”可得方+方+玩=G，D对.

故选：ACD.

题型二：重心定理

例4.(2024•福建泉州•高一校考期中)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、

重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线

被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知93c的外心为。，重心为G,

垂心为〃，〃为2c中点，且AB=5,AC=4,则下列各式正确的有.

®AGBC=-3®AOBC^-6

®OH=OA+OB+OC®AB+AC=4OM+2HM

【答案】①③④

__.2___.1__.___

【解析】对于①，AABC重心为G,^AG=-AM=-(AB+AC),

AG-BC=1(AB+AC)(AC-AB)=|(AC2-AB2)=1(16-25)=-3,故①正确；

对于②，AABC外心为O,过三角形NBC的外心O分别作48、NC的垂线，垂足为。、

E,易知。、E分别是43、/C的中点，有=,AO-AC=—AC=8

AAOBC=AO(AC-AB)=8--^=-^f故②错误；

9

A

对于③，由欧拉线定理得2诟=而，即两=3而，X<G4+GB+GC=0，

故函+函+宓=（M+GX）+（因+而）+（因+配）=3OG+GA+GB+GC=3OG,即

OH=OA+OB+OC^故③正确；

___k2___.]___.

对于④，由两=3砺得诙一祈5=3（砺-M，i^MG=^MO+-MH,

所以荏+*=2丽=-6砺=4丽'+2丽，故④正确.

故答案为：①③④.

例5.（2024・全国•高一专题练习）点。是平面上一定点，A、B、C是平面上AABC的三

个顶点，NB、/C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是（把你认为正

确的序号全部写上）.

①动点P满足加=诙+而+元，则AABC的重心一定在满足条件的P点集合中；

AC

②动点P满足/=砺++』）（4>0）,则AABC的内心一定在满足条件的P点集合

\AB\\AC\

中；

③动点p满足存=函+〃,，8->0）,则^ABC的重心一定在满足条件的P

点集合中；

AfiAC

④动点p满足加=次+“行*--+=―-）（^>0）,则AABC的垂心一定在满足条件的P

|AB\cosB|AC|cosC

点集合中；

⑤动点P满足而=O8：OC+〃r+JJ）（」>o）,则AABC的外心一定在满足条

2|AB|cosB|AC|cosC

件的p点集合中.

【答案】①②③④⑤

【解析】对于①，因为动点P满足力5=01+方+汽，

AP=PB+PC,

10

则点P是AABC的重心，故①正确；

对于②，因为动点P满足哈函+〃黑+焉Q。),

.・・/="篇+篇)(">°)'

4RAC

朋C的平分线上,

\AB\|AC|

Q与NBAC的平分线所在向量共线,

所以AABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确;

ABAC

对于③，动点P满足罚5=函+〃;H-)a>-o---)--,--

|AB|sinB|AC|sinC

ABAC

/.AP=2(-,-------1-------),(A>0),

|AB|sinB|AC|sinC

过点A作AD1BC,垂足为则|通|sin8=|正|sinC=A£>,

AP=(AB+AC),向量通+正与BC边的中线共线,

因此AABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；

对于④，动点尸满足方=西+阳二8+)(2>0),

|AB|cosB|AC|cosC

：.AP=4(一.—+—)(4>0),

IAB|cosB|AC|cosC

——►——.ABAC——►—.——.

/.APBC=2(---------+一)BC=A(|BC\-\BC|)=0,

|AB|cosB|AC|cosC

•••APLBC，

所以445C的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；

对于⑤,动点户满足