指数函数型函数的单调性、对称性-高考数学复习压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题07指数函数型函数的单调性、对称性

【方法点拨】

nIIn

1.指数复合型函数/(%)=------(。＞0且。/1,相〃片0)的对称中心为(108产,——).

ax+m2m

记忆方法：横下对，纵半分(即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已,

而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半).

2X-1

2.函数/(%)=的性质如下：

2'+1

(1)定义域是R；(2)值域是(—1,1)；

说明：形如/(x)=------的函数，即指数函数与一次分式函数复合类型的函数是重要的考察的载体，通过

2、+1

1+11

变形(部分分式)，可得到/'(x)=k：、/⑺=二：/(刈=k：等.

2+12-12-1

【典型例题】

例1已知函数小)=岛-2%,则满足不等式｛)+〃3"2)〉2的实数。的取值范围

是.

【答案】

【解析】y=f—的对称中心是(0,1),其定义域为R且单减

3+1

令g(x)=/(x)-l=——-2x-l,则g(九)为R上的单调递减的奇函数

3+1

由f(a)+f(3a+2)>2得f(3a+2)-l>l-f{d}

即g(3a+2)>—g(a)

因为g(x)为奇函数，故一g(a)=g(—a)

所以g(3a+2)>g(-a)

1

又g(x)在R上单减，所以3。+2<-。，解之得。<——

2

所以实数。的取值范围是8,-g

同「Ac、几,/、2020"+1+2019

例2已知a>0,设函数/(X)=--,-----------a--,-a--］--的-最大值、最小值分别为“、N,则M+N

2020,+1

的值为.

【答案】4039

【分析】研究函数的对称性，利用函数g(x)=/(%)+。(其中〃龙)是奇函数)在对称区间上的最大值、最

小值的和为2a.

2020x+1+201920201+1+2020-11

【解析】/(%)=―2020

2020'+12020'+120201+1

1

设g(x)=〃x)—2020=—

2020,+1

贝ijg(-x)+g(x)=-(-----\—

+---------)=―]

202(/+12020-x+l

所以g(x)的图象关于点(0,-g)对称

所以/(%)的图象关于点(0,下一)对称

故4+N的值为4039.

1y2

例3已知函数/(x)=log1——(awl)是奇函数，设函数g(x)=/(x)+r—,xe(-l,l),

31+ax2+1

若g(m)>g(〃)，其中八,试比较加,九的大小.

【答案】m<n.

【分析】研究函数的单调性，逆用单调性脱“g”即可.

1+r2

【解析】易得a=—1,故g(x)=log1—-+--,xe(-l,l),下面考察函数的单调性.

21—X2+1

对于匕2=2—(1)=—2_1在(_1,1)单增，由复合函数单调性得l0gi在(—1,1)单减；

1X1XX1,1—A

2二-在单减，由复合函数单调性得二一

对于设2'=/(fe(—,—)),在(—1,1)单

2T+122t+1222X+1

减，

1+r2

再由函数单调性得性质得g(x)=logi--+--,在xe(—1,1)单减,

鼻1x2+1

因为g(m)>g(〃)，zw,«e(-l,l),所以机<〃.

【巩固练习】

1.已知函数/(x)=——+a的图象关于坐标原点对称，则实数。的值为___.

2-1

2.已知函数/(X)=0K+2X,则满足不等式/(。)+/(3。+2)>0的实数。的取值范围是_________.

3+1

3.已知小)=士，则…+/幽］的值为

4"+2U001JU001JU001JU001J----------

4.已知函数/(%)=亍一在区间［一匕内上的值域为［利川，则m+n=.

2%

/(x)=a-------「a.

5.已知函数2、+1是定义域为R的奇函数，当龙右1，刃时，不等式

/(logs2x)+/(2-mlog3%)N0恒成立，则实数m的取值范围是

【答案与提示】

1.【答案】一1

【提示】由/(—1)+/(1)=0立得.

2.【答案】^—―+

3'-1y+1-22

【提示】/(%)=-—+2x=--------+2x=l------+2x的对称中心是(0,0),其定义域为R且单增.

3+13+13+1

3.【答案】500

【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称性.设若尝试去求

/(a)+/(I-a)的值，易得/(a)+f(l-a)=l.

【思路二】主动发现函数的对称性，〃无)=且二=1-——,设g(x)=，—，则其对称中心为pi,口，

4,+24*+24*+2(22)

则f(x)的对称中心也为,故/(%)+/(l-x)=l.

4.【答案】2

V-12'-1

【提示】/(%)=---2x+l,g(x)=---2%^,单增.

2+12+1

5.【答案】[3,+8).

【解析】：函数是定义域为R的奇函数，

201

•,*f(0)=a—7—=0,解得a=—.

」'J2°+12

经检验，当a=；时，函数了(%)为奇函数，即所求实数°的值为;.

]2国(12巧、

设V%,%2eR且不<%2，则/(盾)―/(%2)=5一。为]一]

乙乙IJ.I4乙IJ.)

2*(2为+1)-2Xl(2f+1)_2*—2Xl

―(2.+1)(2*+1)付+1)(2*+1)，

：%2*—2为〉0，(23+1)(2*+1)>0,

・••〃西)-/(%)>。即/(西)>/(々)，所以/(%)是R上的减函数.

22

由f(log3x)+/(2-mlog3x)>0,可得/(log3%)>-/(2