3.7 二次函数与一元二次方程 同步练习

第三章二次函数7二次函数与一元二次方程基础过关全练知识点1二次函数与一元二次方程的关系1.(2022山东威海中考)如图，二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象过点(2，0)，下列结论错误的是()A.b>0B.a+b>0C.x=2是关于x的方程ax2+bx=0(a≠0)的一个根D.点(x1，y1)，(x2，y2)在二次函数的图象上，当x1>x2>2时，y2<y1<02.(2023山东泰安东平期中)抛物线y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的对称轴是直线()A.x=1 B.x=-1 C.x=-3 D.x=33.(2022山东泰安泰山期中)如图，一次函数y=-x与二次函数y=ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+(b+1)x+c=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.以上结论都不正确4.(2022山东烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=-12，且与x轴的一个交点坐标为(-2，0).下列结论：①abc>0；②a=b；③2a+c=0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c-1=0有两个相等的实数根.A.①③ B.②④ C.③④ D.②③5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-2，直线y=c与抛物线交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，则AB=.

6.(2023山东威海文登期中)若抛物线y=ax2-x+1与x轴有公共点，则a的取值范围是.

7.(2021新疆中考)已知抛物线y=ax2-2ax+3(a≠0).(1)求抛物线的对称轴；(2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；(3)设点P(a，y1)，Q(2，y2)在抛物线上，若y1>y2，求a的取值范围.知识点2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根8.(2022山东泰安岱岳期中)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列说法正确的是()x…-1013…y…-3131…A.抛物线开口向上 B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=4时，y>0 D.方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间9.(2020云南昆明中考)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与y轴交于点B(0，-2)，点A(-1，m)在抛物线上，则下列结论中错误的是()A.ab<0 B.一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间C.a=m+23 D.点P1(t，y1)，P2(t+1，y2)在抛物线上，当实数t>13时，y1能力提升全练10.(2022四川凉山州中考)已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1，0)和点(0，-3)，且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是()A.a>0B.a+b=3C.抛物线经过点(-1，0)D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根11.(2023山东泰安泰山期末)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0，1)和(-1，0).下列结论：①ab>0；②b2-4ac>0；③0<a+b+c<2；④0<b<1；⑤当y>-1时，x>0.其中正确的结论有()A.5个 B.4个 C.3个 D.2个12.(2021山东淄博中考)已知二次函数y=2x2-8x+6的图象交x轴于A，B两点.若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足S△ABP1=A.1 B.32 C.2 13.(2022贵州铜仁中考)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若∠OAC=∠OCB，则ac的值为()A.-1 B.-2 C.-12 14.(2023山东淄博淄川期中)已知函数y=x2-mx+m-3.(1)求证：无论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点；(2)若该函数图象不经过第三象限，求m的范围；(3)求证：无论m为何实数，此二次函数的图象一定经过第四象限.素养探究全练15.(2021湖北荆州中考)小明同学学习二次函数后，对函数y=-(|x|-1)2进行了探究.在经历列表，描点，连线步骤后，得到如图所示的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：(1)观察探究：①写出该函数的一条性质：；②方程-(|x|-1)2=-1的解为；

③若方程-(|x|-1)2=a有四个不相等的实数根，则a的取值范围是.

(2)延伸思考：将函数y=-(|x|-1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y1=-(|x-2|-1)2+3的图象?写出平移过程，并直接写出当2<y1≤3时，自变量x的取值范围.

第三章二次函数7二次函数与一元二次方程答案全解全析基础过关全练1.DA项，由题图知，二次函数图象的对称轴为直线x=0+22∴-b2a=1>0，又∵a<0，∴bB项，当x=1时，y=a+b>0，故该项结论正确.C项，∵抛物线y=ax2+bx与x轴的一个交点的坐标为(2，0)，∴x=2是关于x的方程ax2+bx=0(a≠0)的一个根，故该项结论正确.D项，由题图知，当x>1时，y随x的增大而减小，∴当x1>x2>2时，y1<y2<0，故该项结论不正确.故选D.2.A∵-1，3是方程a(x+1)(x-3)=0的两根，∴抛物线y=a(x+1)(x-3)与x轴的交点的横坐标是-1，3，∴抛物线的对称轴是直线x=−1+32=1故选A.3.A∵一次函数y=-x与二次函数y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=-x有两个不相等的实数根，即ax2+(b+1)x+c=0有两个不相等的实数根，故选A.4.D①由题图可知a>0，c<0，-b2a<0，∴b∴abc<0，故①错误.②∵对称轴为直线x=-12，∴-b2a=−12，∴b③将(-2，0)代入y=ax2+bx+c，得4a-2b+c=0.∵a=b，∴2a+c=0，故③正确.④由题中图象可知抛物线与直线y=1有两个不同的交点，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c-1=0有两个不相等的实数根，故④错误.综上，②③正确，故选D.5.4解析由题意得-b2a=-2，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=c的两交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=c，即ax2+bx解方程ax2+bx=0，得x=0或x=-ba=2×(-2)=-4所以AB=4.6.a≤14且a解析注意a的取值范围应满足两个条件：一是根的判别式大于或等于0，二是二次项系数不为0.根据题意，得Δ=(-1)2-4a≥0且a≠0，解得a≤14且a≠07.解析(1)抛物线的对称轴为直线x=-−2a2(2)抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，可得抛物线y=ax2-2ax+3-3|a|，∵该抛物线的顶点落在x轴上，∴Δ=(-2a)2-4a(3-3|a|)=0，解得a=34(3)当x=a时，y1=a3-2a2+3，当x=2时，y2=4a-4a+3=3，若y1>y2，则a3-2a2+3>3，解得a>2.8.D从题中表格可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为直线x=0+32=1.5，所以x=4时的y值与x=-1时的y值相同，为-3，又因为x=3时，y=1>0，所以方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间故选D.9.DA项，∵抛物线开口向上，∴a>0.∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，∴b=-2a<0.∴abB项，∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点在点(-1，0)与点(0，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(2，0)与点(3，0)之间，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间，故B选项中的结论正确.C项，把B(0，-2)，A(-1，m)代入y=ax2+bx+c，得c=-2，a-b+c=m，又∵b=-2a，∴a+2a-2=m，∴a=m+23D项，∵点P1(t，y1)，P2(t+1，y2)在抛物线上，∴y1=at2+bt+c，y2=a(t+1)2+b(t+1)+c.若y1<y2，则y2-y1>0，即a(t+1)2+b(t+1)+c-(at2+bt+c)>0，∴2at+a+b>0，∵b=-2a，∴2at+a-2a>0，即2at>a，∵a>0，∴t>12.∴t>12时，y能力提升全练10.C由题意作图如下：A项，由图象知，a>0，故该选项结论正确.B项，∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(1，0)和点(0，-3)，∴a+b+c=0，c=-3.∴a+b=3，故该选项结论正确.C项，∵对称轴在y轴的左侧，∴抛物线不经过点(-1，0)，故该选项结论错误.D项，由图象可知，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-1有两个交点，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根，故该选项结论正确.故选C.11.C∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0，1)和点(-1，0)，∴c=1，a-b+c=0.①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴-b2∴a与b异号，∴ab<0，∴①错误.②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2-4ac>0，∴②正确.③∵抛物线开口向下，∴a<0.∵ab<0，∴b>0.∵a-b+c=0，c=1，∴a=b-1.∵a<0，∴b-1<0，∴b<1，∵a-b+c=0，∴a+c=b，∴a+b+c=2b>0，a+b+c=2b<2.∴0<a+b+c<2，∴③正确.④由③知0<b<1，∴④正确.⑤由函数图象易知，当y>-1时，存在x<0的情况，∴⑤错误.综上所述，正确的结论是②③④，共3个.故选C.12.C∵二次函数y=2x2-8x+6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足S△ABP∴三点中必有一点在二次函数y=2x2-8x+6的图象的顶点处.∵y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2=2(x-1)(x-3)，∴二次函数y=2x2-8x+6的图象的顶点坐标为(2，-2)，与x轴的交点坐标分别为(1，0)，(3，0).∴AB=3-1=2.∴m=12×2×2=2.13.A此题需要借助相似解决问题.设A(x1，0)，B(x2，0).∵抛物线y=ax2+bx+c过点C(0，c)，且由题图知c>0，∴OC=c.∵OC⊥AB，∴∠AOC=∠COB=90°，又∠OAC=∠OCB，∴△OAC∽△OCB.∴OAOC∴OC2=OA·OB，即c2=|x1·x2|=-x1x2.令ax2+bx+c=0，根据根与系数的关系知x1x2=ca∴-x1x2=-ca=c2∴ac=-1，故选A.14.解析(1)证明：∵y=x2-mx+m-3，∴Δ=(-m)2-4(m-3)=m2-4m+12=(m-2)2+8>0，∴无论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点.(2)抛物线y=x2-mx+m-3的对称轴为直线x=m2由题意得m2>0,∴当函数图象不经过第三象限时，m≥3.(3)证明：当x=1时，y=1-m+m-3=-2，∴无论m为何实数，抛物线必过点(1，-2)，∴此二次函