第二十四章 相似三角形（单元重点综合测试）

第二十四章相似三角形单元重点综合测试注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（6小题，每小题3分，共18分）1．（2023秋·上海闵行·六年级统考期末）如果和都不为零，且，那么下列比例中正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（）A． B． C． D．3．（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）在矩形中，，则向量的长度为（）A． B． C． D．4．（2023·上海嘉定·模拟预测）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则的值为（）A． B． C． D．5．（2023·上海·九年级假期作业）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·上海·九年级假期作业）如图，直角梯形中，，，，，．是延长线上一点，使得与相似，这样的点的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（12小题，每小题3分，共36分）7．（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）已知P点为线段的黄金分割点，，且，则8．（2023春·上海普陀·八年级校考阶段练习）在中，点是边的中点，，那么用表示．9．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且，，，，则．10．（2023秋·上海黄浦·九年级上海市民办明珠中学校考阶段练习）如图，，点分别在上，如果，那么的长为．11．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）在中，，点是的重心，连接．若，则长为．12．（2023·上海·一模）如图，G是的重心，延长交于点D，延长交于点E，P、Q分别是和的重心，长为6，则的长为．13．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，中线、交于点，设，，那么向量用向量，表示为．14．（2023·上海徐汇·统考一模）规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在中，，是斜边上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和谐三角形”，直线为的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知是“和谐三角形”，，当直线是的“和谐分割线”时，的度数是（写出所有符合条件的情况）15．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是．16．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地面底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在一直线），且，那么底部B到球体P之间的距离是米（结果保留根号）17．（2023春·上海普陀·八年级校考期末）如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，如果，那么的面积为．18．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，，连接DE，将沿着DE翻折，点A的对应点为P，连接EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果，那么CG的长是．

三、解答题（9小题，共96分）19．（2023·上海·九年级假期作业）如图，，，，求的值．20．（2023春·上海奉贤·八年级统考期末）如图，在中，点、、分别是边、、的中点．

(1)写出图中所有与相等的向量：______；(2)用图中的向量表示：______；(3)求作：（不要求写作法，但要写出结论）．21．（2023春·上海·九年级专题练习）已知，在等腰中，，以的中点D为顶点作，分别交、于点E、F，，，求底边的长．

22．（2023·上海·一模）如图，在梯形ABCD中，，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且．(1)求证：；(2)点G在底边BC上，，，连接，如果与的面积相等，求的长．23．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知与都是等边三角形，点D在BC边上（点D不与B、C重合），DE与AC相交于点F．(1)求证：∽；(2)若BC＝1，设BD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；(3)当x为何值时，？24．（2023·上海·九年级假期作业）把两块全等的直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角顶点D与三角板的斜边中点O重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点O旋转，设射线与射线相交于点P，射线与线段相交于点Q．

(1)如图1，当射线经过点B，即点Q与点B重合时，易证，则此时______；(2)将三角板由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为α．其中，问的值是否改变？请说明理由．25．（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）如图，点E在菱形的边上（点E不与点B、点C重合），联结交对角线于点F，联结．

(1)求证：；(2)当，时，①如果，求的长；②如果是直角三角形，求的长．

第二十四章相似三角形单元重点综合测试注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（6小题，每小题3分，共18分）1．（2023秋·上海闵行·六年级统考期末）如果a和b都不为零，且，那么下列比例中正确的是（

）A．ab=34 B． C．a【答案】B【分析】根据逆用比例的基本性质，将乘积式化成比例式，逐个判定即可．【详解】解：A、∵，∴ab=B、∵，∴，故此选项正确，符合题意；C、∵，∴，故此选项错误，不符合题意；D、∵，∴，故此选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查比例的基本性质，熟练掌握根据比例的基本性质，将乘积式化成比例式是解题的关键．2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABCA．ABAD=ACAE B．∠B=∠【答案】D【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可．【详解】解∵∠1=∴∠DAE=若ABAD=AC∴△ABC若∠DAE=∠BAC∴△ABC~若∠C=∠AED∴△ABC~∵ABAD=BC∴无法判断△ABC与△故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，熟记知识点是解题关键．3．（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）在矩形ABCD中，|AB|=3A．2 B．4 C．3−1 D．【答案】A【分析】在矩形ABCD中，AB=3，BC=1，∠ABC=90°，则AB=3，BC=1【详解】解：如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=1∴AB=3，∴AC=∵AB∴向量AB+BC的长度为故选：A【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是熟练掌握矩形的性质和三角形法则.4．（2023·上海嘉定·模拟预测）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则xyA． B．74 C．411 D．【答案】A【分析】根据平行截线所截线段对应成比例，即可求解.【详解】解：∵两条直线被三条平行线所截，∴xy故选：A．【点睛】此题考查了平行截线求相关线段的长或比值，解题的关键熟记平行截线对应成比例．5．（2023·上海·九年级假期作业）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】取AB,BC,AC的中点D,F,E，再取网格点M、N，连接格点DE,DF,EF,MN，结合中位线的性质可证明△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB，再根据BN=32，BM=4，【详解】解：如图，取AB,BC,AC的中点D,F,E，再取网格点M、N，连接格点DE,DF,EF,MN，

则DE∥BC，且∴∠ADE=∠B∴△ADE同理可证：△BDF∽△BAC∵BN=32，BM=4，，BC=6，∴BNBM∴BNBM=BC∴△ABC综上，满足条件的三角形有4个，故选：D．【点睛】本题主要考查了中位线的性质、相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答本题的关键．6．（2023·上海·九年级假期作业）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，，AD=2，．P是BA延长线上一点，使得△PAD与△PBC相似，这样的点PA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∼△BPC，②△【详解】∵AD∥BC，∴∠∴∠设AP的长为x，则BP=AB+AP=3+x．若AB边上存在P点，使ΔPAD与ΔPBC相似，那么分两种情况：①若△APD∼△BPC即x3+x解得：x=3②若△APD∼△BCP即x4整理得：x2x1=−3+∴满足条件的点P的个数是2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．二、填空题（12小题，每小题3分，共36分）7．（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）已知P点为线段AB的黄金分割点，AP=4cm，且，则AB=【答案】25+2【分析】如图，点P是线段AB上的黄金分割点，，则BPAP=【详解】解：如图，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP=4cm，，∴BP解得AB=25故答案为：25【点睛】本题考查的是线段的黄金分割点，掌握“线段的黄金分割点的定义”是解题的关键．8．（2023春·上海普陀·八年级校考阶段练习）在△ABC中，点D是边AC的中点，BA=a,BC=【答案】1【分析】由点D是边AC的中点，BA=a,BC=【详解】解：如图，

∵点D是边AC的中点，BA=∴AC=∴AD=∴BD=故答案为：1【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：平行向量既有大小又有方向．9．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥【答案】8【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答．【详解】解：∵l1∴ABBC=DE∵DF=12，∴DE12−DF=2，解得：故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例是解题关键．10．（2023秋·上海黄浦·九年级上海市民办明珠中学校考阶段练习）如图，AB//CD//EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC=6,CE=9,AF=10，那么DF的长为．【答案】6．【分析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质解答即可．【详解】解：∵AB//CD//EF，∴BECE∴6+99∴DF=6，故答案为6．【点睛】本题考查平行线分线段成比例、比例的性质；解题的关键是由平行线分线段成比例定理得出比例式求出DF．11．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）在△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，连接AG．若AG=6，则BC长为．【答案】18【分析】延长AG交BC于点D，根据点G是△ABC的重心，得到D为BC的中点，以及AG=2DG，进而求出AD的长度，根据AD是直角三角形斜边上的中线，从而求出BC的长．【详解】解：如图，延长AG交BC于点D，

∵点G是△ABC的重心，AG=6，∴D为BC的中点，且AG=2DG=6，∴DG=3，∴AD=AG+DG=9，∵∠BAC=90°∴BC=2AD=18；故答案为：18．【点睛】本题考查重心的性质，以及直角三角形斜边上的中线．熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．12．（2023·上海·一模）如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长交AB于点E，P、Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为6，则的长为．【答案】1【分析】连接DE，延长EP交BC于F点，连接DF，由G是△ABC的重心，可证DE是△ABC的中位线，从而可求出DE的长．利用三角形重心的定义和性质得到EP=2PF，，再证明△FPQ∽△FED得到PQED=【详解】解：连接DE，延长EP交BC于F点，连接DF，如图，

∵G是△ABC∴D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC∴．∵P点是△BCE∴F点为BC的中点，EP=2PF，∵Q点是△BCD∴点Q在中线DF上，，∵∠PFQ=∠EFD，FQFE∴△FPQ∴PQED∴PQ=1故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．13．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在△ABC中，中线AD、交于点F，设BA=a，BC=b，那么向量AF用向量a，b【答案】−【分析】根据重心的性质可得AF=2DF，利用三角形法则求出AD，进而可得结果．【详解】解：∵中线AD、交于点F，∴AF=2DF，∴AF=2∵AD=AB+∴AF=−故答案为：−2【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．14．（2023·上海徐汇·统考一模）规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,CA=CB，CD是斜边AB上的高，其中△ACD是等腰三角形，且△BCD和△ABC相似，所以△ABC是“和谐三角形”，直线CD为△ABC的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知△DEF是“和谐三角形”，∠D=42°，当直线EG是△DEF的“和谐分割线”时，∠F【答案】54°、【分析】分类讨论，①△EGF∽△DEF，△DEG是等腰三角形，EG=EF；②△DEG∽△DFE，△GEF是等腰三角形，GE=GF；③△DGF∽△DEF，△DEF是等腰三角形，FE=FG；④△FEG∽△FDG，△DEG是等腰三角形，DE=DG；根据等腰三角形的性质，相似三角形的性质即可求解．【详解】解：△DEF是“和谐三角形”，∠D=42°，EG是△DEF①根据题意，如图所示，△EGF∽△DEF，△DEG是等腰三角形，EG=EF，∴∠D=∴在△DEG中，∠DGE=180°−∵∠DGE是△EGF∴∠F=②如图所示，△DEG∽△DFE，△GEF是等腰三角形，GE=GF，∴∠DEG=设∠F=a，则∠DEG=∠F=∠FEG=a，∠EGF=180°−2a∵∠EGF是△DEG∴∠EGF=∠D+∠DEG，即180°−2a=42°+a，解得，a=46°，∴∠F=46°③如图所示，△DGF∽△DEF，△DEF是等腰三角形，FE=FG，∴FE=FG，∠F=∠GED，∠FEG=设∠F=x，则∠F=∠GED=x，∠FEG=∵∠EGF是△DEG∴∠EGF=∠GED+∠D，即12(180°−x)=x+42°，解得∴∠F=32°④如图所示，△FEG∽△FDG，△DEG是等腰三角形，DE=DG，∴∠D=∠GEF=42°，∠DEG=∵∠DGE是△EFG∴∠DGE=∠F+∠GEF，即69°=∠∴∠F=69°−42°=27°综上所述，△DEF是“和谐三角形”，∠D=42°，当直线EG是△DEF的“和谐分割线”时，∠F的度数是54°、46°、32°、27°，故答案为：54°、46°、32°、27°．【点睛】本题主要考查等腰三角形，相似三角形的综合，掌握等腰三角形的性质，相似三角形的性质是解题的关键．15．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，如果DE:BC=2:5，那么EF:AB的值是．【答案】3【分析】根据DE∥BC得到AEAC=DEBC=【详解】解：∵DE∥∴AEAC∴CEAC∵EF∥∴EFAB故答案为：35【点睛】本题考查平行线截线段对应成比例，解题的关键是根据比例性质求得CEAC16．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地面底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在一直线），且BP>AP，那么底部B到球体P之间的距离是米（结果保留根号）【答案】(234【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值5−1【详解】解：∵点P是线段AB上的一个黄金分割点，且米，BP>AP，∴BP=5故答案为：(2345【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．17．（2023春·上海普陀·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且，AD⊥AB，过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E，如果DE=2，那么△ABC的面积为．【答案】16【分析】由题意得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方求得两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE与三角形ABC面积之比，求出四边形ABDE面积，即可确定出三角形ABC面积．【详解】解：∵AB⊥AD，AD⊥∴∠∴DE∴∠∵∠∴△∵DE=2，AB=4，即DE:AB=1:2，∴S△∴S∵S∴S故答案为：16．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．18．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，AE=2，连接DE，将△ADE沿着DE翻折，点A的对应点为P，连接EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果BF=14BC，那么CG的长是

【答案】655【分析】延长EP交DC于点Q，根据已知得出，证明△EBF∽△QCF，求得CQ=3，根据折叠的性质以及平行线的性质得出QE=QD，在Rt△PDQ中，PD=DQ2−P【详解】解：如图所示，延长EP交DC于点Q，

∵BF=1∴，∴四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=3，AD=BC∴△EBF∴EFFQ∵，

∴CQ=3BE=3，∴DQ=DC+CQ=6，∵折叠，∴AD=PD，∠AED=∠QED，AE=EP，则BC=PD，又∵AB∥∴∠∴∠DEQ=∴QE=QD=6∵AE=EP=2，∴PQ=EQ−EP=6−2=4，在Rt△PDQ中，∴BC=AD=PD=25∴BF=1∵∠BEF=90°−∠BFE,∠BFE=∠PFG=90°−∠PGF，∠∴∠BEF=∠又∵∠B=∴△EBF∴EBCG即1CG∴，故答案为：65【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质以及相似三角形的性质是解题的关键．三、解答题（9小题，共96分）19．（2023·上海·九年级假期作业）如图，l1∥l2，AF:FB=2:5，【答案】2:1【分析】先证明△AFG∽△BFD，可得AGBD=AFFB=【详解】解：∵l1∴△AFG∴AGBD又BC:CD=4:1，∴BD=5CD，∴AGCD同理可得：△AEG∴AE:EC=AG:CD=2:1．【点睛】考查相似三角形中“X”字型的综合应用，熟记相似三角形的判定与性质是解本题的关键．20．（2023春·上海奉贤·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点．

(1)写出图中所有与BE相等的向量：______；(2)用图中的向量表示：DB+(3)求作：AB−【答案】(1)DF(2)DE或AF或FC(3)见解析【分析】（1）根据中位线的性质得出DF∥BC，DF=1（2）根据三角形法则求向量的和，进而即可求解；（3）连接AE，则即为所求，【详解】（1）解：∵在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点∴DF=12∴与BE相等的向量是：DF,故答案为：DF,（2）解：∵∴DB+又点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，则∴DE故答案为：DE或AF或FC（3）解：如图所示，即为所求，

∵AB∴即为所求，【点睛】本题考查了向量的顶用，三角形法则求向量，熟练掌握向量的定义以及线性运算是解题的关键．21．（2023春·上海·九年级专题练习）已知，在等腰△ABC中，，以BC的中点D为顶点作∠EDF=∠B，分别交AB、AC于点E、F，AE=6，AF=4，求底边BC的长．

【答案】4【分析】先证明∠BED=∠FDC，∠B=∠C，即可证明△EDB∽△DFC，得出BEDC=BDCF，根据【详解】解：∵∠而∠EDC=∴∠又∵∠∴∠∵AB=AC∴∠∴△∴BE∴10−6∴DC又∵CD=DB=∴BC=4【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是证明△EDB22．（2023·上海·一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且AD⋅(1)求证：AB∥(2)点G在底边BC上，BC=10，CG=3，连接AG，如果△AGC与△EFC的面积相等，求FC的长．【答案】(1)见解析(2)30【分析】（1）根据题意及平行线的性质可证明△AED（2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∴∵∴∴∴∴（2）根据题意得，S∵∴∴∵△AGC和△EFC∴解得：CF=【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，三角形面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题的关键．23．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知ΔABC与ΔADE都是等边三角形，点D在BC边上（点D不与B、C重合），DE与AC相交于点F．(1)求证：ΔABD∽ΔDCF；(2)若BC＝1，设BD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；(3)当x为何值时，SΔAEF【答案】(1)见解析(2)y=−(3)x=23【分析】（1）利用两角相等，两三角形相似证明即可；（2）根据ΔABD∽ΔDCF，得到ABDC=BDCF，即可得到（3）易证ΔABD∽ΔAEF，∴AEAB=AFAD,得到SΔAEFSΔABD=AEAB【详解】（1）、ΔADE是等边三角形∴∵∴∠CDF=∠DAB,

∴Δ（2）由（1）得ΔABD∽∴AB∴1∴y=−（3）∵∠EAF+∴又∵∠∴Δ∴∴S∴A是等边三角形

∴AD=AE∴A∴∵AB=1∴AF=∴y=CF=1−∴−解得x1∴当x=23或x=【点睛】本题考查旋转的相关知识，熟练运用“一线三等角”模型及相似的性质是解答本题的关键．24．（2023·上海·九年级假期作业）把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．

(1)如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∼△CDQ，则此时AP·CQ=______；(2)将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为α．其中0°<α<90°，问AP·CQ的值是否改变？请说明理由．【答案】(1)8(2)不变【分析】（1）证明△APD∼△CDQ，可得，根据等腰三角形的性质求得AP=PD=2，再代入求值即可；（2）根据旋转的性质可得∠APD=90°−α，∠C