24.3 锐角三角函数 同步练习

第24章解直角三角形24.3锐角三角函数基础过关全练知识点1锐角三角函数的概念1.(2023吉林长春二道期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3BC，则cosB的值为()A.24 B.3 C.13 2.在商周时期就有了用来攀登城墙的设备——云梯，后来被鲁国人鲁班改进.如图，梯子(长度不变)与地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是()A.sinA的值越大，梯子越陡 B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡 D.倾斜程度与∠A的函数值无关3.(2023福建漳州外国语学校期末)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列选项中不等于sinA的是()A.CDAC B.CBAB C.BDCB4.(2023四川眉山仁寿月考)如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα=45，则tanαA.35 B.34 C.435.(2023河南南阳十三中期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果sinA∶sinB=2∶3，那么a∶b等于.

6.(2023四川成都实验外国语学校西区月考)如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是.

7.(2023河南南阳西峡月考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，求sinA，cosA，tanA的值.知识点2特殊角的三角函数值8.(2023海南海口中学期末)β为锐角，且2cosβ-1=0，则β=()A.30° B.60° C.45° D.37.5°9.(2023湖南衡阳船山实验中学月考)下列运算中，值为14A.sin45°×cos45° B.tan45°-cos230° C.tan30°cos60° D.(tan60°)10.(2023河南鹤壁浚县期末)在△ABC中，若sinA-32+12−cosB2=0，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是11.计算下列各式的值：(1)(2023山西晋城陵川月考)12sin30°+22cos45°-2tan30°·tan60(2)(2023陕西延安新区三中期末)2sin260°·tan30°+cos230°-tan45°.12.(2023吉林长春绿园月考)若sin(α+15°)=32(α是锐角)(1)求出α的值；(2)计算：8-4cosα-(π-3.14)0+tanα+13知识点3计算器在锐角三角函数中的应用13.(2021山东威海中考)若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18'，按键顺序正确的是()A.sin36·18= B.sin36DMS18= C.2ndFsin36DMS18= D.sin36DMS18DMS=14.(2023福建泉州南安月考)已知tanA=0.85，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是()A.2ndFtan0·85= B.2ndF0·85tan= C.tan2ndF0·85= D.tan0·852ndF=15.如图，台风来临后，一根长为5.5米的竖直木杆在离地面2.1米处折断，木杆顶端A落在地面上，则AB与地面所成的锐角约为°.(结果保留整数)

能力提升全练16.(2022天津中考)tan45°的值等于()A.2 B.1 C.22 D.17.(2022湖北荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC=1∶2，连结AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1，1)，则tan∠OAP的值是()A.33 B.22 C.118.(2023吉林长春农安期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D.给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论为.(填序号)

19.(2022河南南阳模拟)我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，其中直角三角形中较大的锐角度数为α.若小正方形与大正方形的面积比是1∶9，则|sinα-cosα|=.

20.计算下列各式的值：(1)(2023陕西西安碑林铁一中期末)sin45°+cos30°3−2cos60°-sin30°×(cos45°-sin60°)(2)(2022山西临汾侯马模拟)1−2tan60°+tan260°21.(2023吉林长春东北师大附中净月实验学校期末)在△ABC中，∠B、∠C均为锐角，其对边分别为b、c，求证：bsinB=22.(2023四川乐山夹江期末)如图，直线y=12x+32与x轴交于点A，与直线y=2x(1)求点B的坐标；(2)求sin∠BAO的值.素养探究全练23.如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=-1x，y=3x的图象交于B，A两点，求证：∠OAB

第24章解直角三角形24.3锐角三角函数答案全解全析基础过关全练1.C在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=3BC，∴cosB=BCAB=BC3BC2.A根据锐角三角函数值的变化规律可知，sinA的值越大，梯子越陡.3.D∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=90°，sinA=CDAC=CB∴∠BAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴sinA=sin∠DCB=DBCB.故选D4.C本题在直角坐标系中求锐角的三角函数值.如图，由sinα=PQOP=45可设PQ=4a，OP=5a(a>0)，∵OQ=3，∴由OQ2+PQ2=OP2可得32+(4a)2=(5a)2，解得a=1(负值舍去)，∴PQ=4，OP=5，∴tanα=PQOQ5.2∶3解析在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∴sinA=ac，sinB=b∵sinA∶sinB=2∶3，∴ac∶bc=2∶3，∴a∶b=2∶6.10解析解法1：(构造直角三角形求解)如图，过A作BO的垂线，交OB的延长线于点C，则∠ACO=90°，AC=12+12=2，AO=22+42sin∠AOB=ACAO=225解法2：(等面积法求解)如图，过B作BC⊥OA于C，过O作OE⊥AB，交AB的延长线于点E，则AO=22+42=25，OB=22+22=22，∵S△ABO=12·AB∴2×2=25·BC，∴BC=255，∴sin∠AOB=BCOB=27.解析∵∠C=90°，AC=4，BC=2，∴AB=BC2+AC2=22+42=25∴sinA=BCAB=225=55，cosA=ACAB8.B∵2cosβ-1=0，∴cosβ=12，∵β为锐角，∴β=609.Bsin45°×cos45°=22×22=12，故选项A不符合题意；tan45°-cos230°=1-322=1-34=14，故选项B符合题意；tan30°cos60°=3312=233，故选项C不符合题意；10.等边解析∵sinA-32+12−cosB2=0，∴sinA=32，cosB=12，∵∠A∴∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形.11.解析(1)原式=12×12+22×22-2×33×3=1(2)原式=2×322×33+322-1=32+12.解析本题易由sin(α+15°)=32，误认为α=60°，从而出现错误(1)∵sin(α+15°)=32(α是锐角)，∴α+15°=60°，∴α=45(2)8-4cosα-(π-3.14)0+tanα+13−1=8-4cos45°-(π-3.14)tan45°+13−1=22-4×213.D先按键“sin”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果.14.A15.38解析由题意知BC=2.1米，AB=5.5-2.1=3.4米.在Rt△ABC中，sinA=BCAB=2.13.4≈0.62，利用计算器求得∠A能力提升全练16.Btan45°的值等于1.17.C如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP∥AB，∴∠CAB=∠CPO，∠ABC=∠COP，∴△OCP∽△BCA，∴CP∶AC=OC∶BC=1∶2，∵∠AOC=∠AQP=90°，∴CO∥PQ，∴OQ∶AO=CP∶AC=1∶2，∵P(1，1)，∴PQ=OQ=1，∴AO=2，∴tan∠OAP=PQAQ=12+1=18.①②③④解析∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，sinβ=sinC，故①②正确；∵在Rt△ABC中，sinB=ACBC，cosC=AC∴sinB=cosC，故③正确；∵sinα=sinB，cosβ=sinB，∴sinα=cosβ，故④正确.19.1解析如图，∵小正方形与大正方形的面积比是1∶9，∴小正方形与大正方形的边长比是1∶3，设小正方形的边长为a，则大正方形的边长为3a，∴AB=3a，CD=a，在Rt△ABC中，sinα=ACAB，cosα=BC∴|sinα-cosα|=ACAB−BCAB=AC−BCAB=AC20.解析(1)原式=22+323−2×12-12×22(2)原式=tan60°-1-4×123−1=321.证明如图，过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，sinB=ADAB，∴AD=AB·sinB在Rt△ADC中，sinC=ADAC，∴AD=AC·sinC，∴AB·sinB=AC·sinC，∵AB=c，AC=b∴csinB=bsinC，∴bsinB=22.解析本题综合考查锐角三角函数值与一次函数，容易忽略直角三角形的条件，从而出现sin∠BAO=BOAB的错误(1)解方程组y=12x+32,(2)如图，过点B作BC⊥x轴于C，在y=12x+32中，当y=0时，12x+32=0，解得x=-3，则A∴OA=3，∵OC=1，BC=2，∴AB=AC2+∴sin∠BAC=BCAB=225即sin∠BAO=55素养探究全练23.证明如图，分别过