28.4 垂径定理 同步练习

第二十八章圆28.4垂径定理*基础过关全练知识点1垂径定理1.如图，在☉O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，下列结论中一定正确的是()A.AE=OE B.∠COE=30° C.CD=CB D.CE=2.(2022黑龙江牡丹江中考)如图，在☉O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若☉O的半径为2，则弦AB的长为.

[变式]如图所示，在☉O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为.

知识点2垂径定理的应用3.(2021广西柳州中考)往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水后，截面图如图所示，若水面宽度AB=24cm，则水的最大深度为()A.5cm B.8cm C.10cm D.12cm4.(2022四川自贡中考)一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为厘米.

能力提升全练5.(2022湖北荆门中考)如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB=12，BE=3，则四边形ACBD的面积为()A.363 B.243 C.1836.(2022河北廊坊六中期中)如图，已知☉O的半径为6cm，P是☉O内一点，且OP=3cm，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条7.(2022安徽中考)已知☉O的半径为7，AB是☉O的弦，点P在弦AB上.若PA=4，PB=6，则OP的长为()A.14 B.4 C.23 8.(2022黑龙江牡丹江中考)☉O的直径CD=10，AB是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC=3∶5，则AC的长为.

9.(2022贵州遵义中考)数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度.小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；(参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为千米.

10.(2022河北中考)如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN∥AB.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7m.(1)求∠C的大小及AB的长；(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深(不说理由)，并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位).(参考数据：tan76°取4，17取4.1)素养探究全练11.(2022贵州六盘水中考)牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图.(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长(结果精确到0.1m)；(2)若∠COD=162°，点M在CD上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶CD上巡视时总能看清洞口CD的情况.

第二十八章圆28.4垂径定理*答案全解全析基础过关全练1.D根据☉O的直径AB⊥弦CD于点E，可知CE=DE.2.答案23解析如图，连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=12OC=1∴AD=OA∵OC⊥AB，OC为☉O的半径，∴AB=2AD=23.[变式]答案45°解析∵OC⊥AB，∴AC=BC=12AB∵OC=2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠AOC=45°.3.B如图，连接OB，作OC⊥AB于点D，交☉O于点C.∵OC⊥AB，AB=24cm，∴BD=12AB=12cm在Rt△OBD中，OD=OB2∴CD=OC-OD=13-5=8(cm)，即水的最大深度为8cm.4.答案26解析如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，D，O三点共线，由题意可得OC⊥AB，∴AC=12AB=10(厘米)，设镜面半径为x厘米，则OC=(x-2)厘米，在Rt△ACO中，由勾股定理可得x2=102+(x-2)2，∴x=26，∴镜面半径为26厘米能力提升全练5.A如图，连接OC，∵AB=12，∴OB=OC=6，∵BE=3，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴∠OEC=90°，在Rt△COE中，EC=OC∴CD=2CE=63，∴四边形ACBD的面积=126.C如图，过点P作弦AB⊥OP，垂足为P，连接OA，则PA=PB，在Rt△POA中，PA=OA2∴AB=2AP=63cm，∴在过点P的所有☉O的弦中，最短的弦的长为63cm，易知过点P的所有☉O的弦中，最长的弦的长为12cm，∵大于63，小于等于12的整数有11，12，且弦长为11cm的弦有2条，∴弦长为整数的弦有3条.7.D如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，则OB=7，∵PA=4，PB=6，∴AB=PA+PB=10，∵OC⊥AB，∴AC=BC=5，∴PC=PB-BC=1，在Rt△OBC中，OC2=OB2-BC2=72-52=24，在Rt△OPC中，OP=OC28.答案45解析本题易忽略分类讨论而丢解.连接OA，已知OM∶OC=3∶5，设OC=5x，OM=3x(x>0)，∵CD=2OC=10，∴x=1，∴OA=OC=5，OM=3，∵AB⊥CD，∴AM=BM=12AB在Rt△OAM中，OA=5，OM=3，∴AM=OA2当M在OD上时，如图1，CM=OC+OM=5+3=8，在Rt△ACM中，AC=AM图1图2当M在OC上时，如图2，CM=OC-OM=5-3=2，在Rt△ACM中，AC=AM综上所述，AC的长为45或29.答案33792解析如图，作OK⊥BC于点K，则∠BKO=90°，∵BC∥OA，∠AOB=28°，∴∠B=∠AOB=28°，在Rt△BOK中，OB=OA=6400千米，∴BK=OB·cosB≈6400×0.88=5632(千米)，∴北纬28°纬线的长=2π·BK≈2×3×5632=33792(千米).10.解析(1)∵嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，∴∠CAB=14°，∠CBA=90°，∴∠C=180°-∠CAB-∠CBA=76°，∵tanC=ABBC，BC=1.7m，∴tan76°=AB∴AB=1.7×tan76°=6.8(m).(2)如图，过点O作OH⊥MN，交MN于点D，交MN于点H，连接OM，∵OA=OM，∠BAM=7°，∴∠OMA=∠OAM=7°，∵AB∥MN，∴∠AMD=∠BAM=7°，∴∠OMD=∠OMA+∠AMD=14°，∴∠MOD=90°-∠OMD=76°，在Rt△MOD中，tan∠MOD=MDOD∴tan76°=MDOD，∴MD=4OD设OD=xm，则MD=4xm，在Rt△MOD中，OM=OA=12AB=3.4m∴x2+(4x)2=3.42，∵x>0，∴x=175=0.82，∴OD=0.82m∴DH=OH-OD=OA-OD=3.4-0.82=2.58≈2.6(m).答：最大水深约为2.6米.素养探究全练11.解析(1)设OA=OC=rm，∵OA⊥CD，∴CB=BD=12CD=14m在Rt△COB