高考数学专项复习训练：立体几何初步

清单07立体几何初步

空间几何体与斜二测画法

直线与直线的位置关系：平行、相交、异面

直线在平面内

直线与平面的位置关系

构成空间几何铀基本元素直线与平面平行

直线在外/-----------------

空间几何体--------------直线与平面相交

平面与平面的位置关系：平行、相交

多面体：棱柱、棱锥和棱台

空间几/----------------------------简单组合体的结构特征、截面、展开图、例面积和表面积

-------------《旋转体：圆柱、圆锥和圆台

祖迪原理与几何体的体积

平面的基本性质与推论/三个右界

---------------------------------《三个推论

空间平行线的传递性

空间等角定理

平行直线与异面直线判定方法：与YTO相交于一点的直线与

异面直线这个平面内不经过交点的直线异面

空间四边形

立体几何初步

判定共：如果平面夕舟)一条直线与平面内的一条直线平行，那

空间中的钠亍关系么这条直线与这个平面平行

性质迎：如果平行，且经过这条直线的平面

与这个平面相交，那么这条直线就与两个平面的交线平行

判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另夕

面，另幽这两个平面平行

与平面平行

性质迎：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，另隐它们的交线平行

异面直线所成的角

判定定理：如果一条直线与面内的两条相交直线垂直，另陷城

条直线与这个平面垂直

直线与平面垂直

性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

平面所频角

空间中的垂直关系距离问题

二面角

判定钿：如果Y平面经过另夕一^平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

平面与平面垂直

性质定理：如果两个平面互相垂直，另战在一个平面内垂直于它

们交线的直线垂另一个平面

考点侪单

【考点题型一】斜二测画法的概念及计算

1、斜二测画法的概念：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图.

(1)“斜”：在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与%'轴承45。或135。

(2)“二测”：两种度量形式,即在直观图中，平行于久'轴或/轴的线段长度不变；

平行于y'轴的长度变成原来的一半，

2、直观图与原图之间的“变”与“不变”

“三变”：(1)坐标轴的夹角改变；(2)与y轴平行的线段长度变为原来的一半；(3)图形改变.

，，三不变，，：(1)平行性不改变;(2)与x轴和z轴平行的线段长度不改变；(3)相对位置不改变.

3、直观图与原图形面积的关系：按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图=

*s原图形；S原图形=2吸S直观图.

[例1](2223高一下•天津•期末)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是

()

A.正方形的直观图是正方形

B.矩形的直观图是矩形

C.菱形的直观图是菱形

D.平行四边形的直观图是平行四边形

【答案】D

【解析】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，

平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半.

对于A中，正方形的直角，在直观图中变为45。或135。,不是正方形，所以A错误；

对于B中，矩形的直角，在直观图中变为45。或135。，不是矩形，所以B错误；

对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为45。，

所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误；

对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确.故选：D.

【变式11】(2324高一下.黑龙江牡丹江期中)如图所示，正方形OA8C的边长为2cm,它是水平放置

的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是()

D.4+4gcm

【答案】A

【解析】•••直观图正方形O'AM。的边长为2cm,.-.O'B'=2^2cm,

原图形为平行四边形Q4BC,如图：

其中。1=2cm,高OB=2x2应=4瓜m,

AB=CO=上+(40)2=6cm,

二原图形的周长工=2x(2+6)=16cm.故选：A.

【变式12]（2324高一下•天津北辰期中）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD,

如图所示，ZABC=45\AB=AD=1,DC1BC,则原平面图形的面积为（）

【答案】A

【解析】如图，在直观图中过点A，作AELBC交3c于点E,

因为NA8C=45°,A8=AD=1,DC_L3c,

所以CE=U>=1,BE=ABcos45°=—,§PBC=1+-

2

—D

/B（O）ECx

将直观图还原为平面图如下：

所以SABCD=-1+1+*x2=2+乎・故选：A

【变式13]（2324高一下•广东广州•期中）如图所示，梯形AB'C'D是平面图形ABCD用斜二测画法得到

的直观图，A'D'=2,A'B'=B'C'=1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（）

【答案】c

【解析】由直观图知原几何图形是直角梯形ABC。,如图，

由斜二测法贝II知钻=249=2,BC=B'C=1,

所以AC=+BC，==亚•故选:C.

【考点题型二】多面体与旋转体的结构特征

1、多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

D'D'

S

图形

ABABAB

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点，但不一定相等

侧面形状平行四边形三角形梯形

2、旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥总圆台球

口

图形A

旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆形

旋转轴任一边所在的直线任一直角边所在的垂直于底边的腰直径所在的

直线所在的直线直线

互相平行且相等，垂

母线相交于一点延长线交于一点

直于底面

轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆

侧面展开图矩形扇形扇环

[例2]（2324高一下•河南濮阳月考）下列说法中错误的是（）

A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形

B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台

C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥

D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线

【答案】C

【解析】由棱台的结构特征可知，A选项中说法正确；

由圆台的结构特征可知，B选项中说法正确；

直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥，

是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项中的说法错误；

在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，

只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项中说法正确.故选：C

【变式21]（2324高一下•黑龙江佳木斯•期中）下列命题中正确的是（）

A.梯形的直观图可能是平行四边形

B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个

C.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

D.底面是矩形的直平行六面体是长方体

【答案】D

【解析】对于A:因为梯形平行的一组对边长度不相等，所以它们的直观图的长度也不相等，

故梯形的直观图不可能是平行四边形，故A错误；

对于B：过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长/,

1JT

设该等腰三角形顶角为，,则截面三角形面积为S=sin，，显然当。=5,面积S最大，

TT

故当圆锥的轴截面三角形顶角大于5时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故B错误；

对于C：根据棱台的定义，棱台的侧棱延伸后必须交于同一点，故C错误；

对于D:底面是矩形的直平行六面体是长方体，故D正确.故选：D

【变式22］（2324高一下•福建•期中）下列说法正确的是（）

A.圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等

B.直四棱柱是长方体

C.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥

D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形

【答案】D

【解析】A.圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径可能相等，故A错误；

B.直四棱柱是底面是四边形，侧棱和底面垂直的棱柱，不一定是长方体，故B错误；

C.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，

所得的几何体是一个组合体，上下是圆锥，中间是圆柱，故C错误；

D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确.故选：D

【变式23］（2324高一下•福建福州期中）（多选）下列说法错误的是（）

A.直四棱柱是长方体

B.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

C.棱台的各侧棱延长后必交于一点

D.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面

【答案】AD

【解析】对于A:因为直四棱柱上下底面平行，侧棱垂直于底面，

但是上下底面可以不是矩形，所以直棱柱不一定是长方体，故A错误；

对于B:圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故B正确；

对于C:由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故C正确；

对于D：棱柱的两个面平行可能是棱柱的底面也可能是棱柱的侧面，故D错误；故选：AD.

【考点题型三】几何体展开图的最短距离问题

求解空间几何体表面最短路径问题通常涉及以下步骤：

1、化曲为直：将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路线转化为两点间的距离，然后借助直角三角

形利用勾股定理求出最短路线；

2、考虑路径选择：在空间几何体的表面上，从一点到另一点的最短路径可能不是唯一的。有时需要考虑不

同的路径选择，例如既走侧面又走底面的路径；

3、利用几何性质：在某些情况下，可以利用几何体的对称性或者特定的几何性质来简化问题。例如，在正

方体或其他规则多面体上，可以利用对称性找到最短路径.

[例3]（2223高一下•山东潍坊月考）如图所示，在正三棱柱ABC-A瓦G中，AB=2,⑨=2,由顶

点B沿棱柱侧面（经过棱AA）到达顶点G,与M的交点记为M,则从点B经点M到G的最短路线长为

【答案】B

由侧面展开图可知，当BM,G三点共线时，从点8经点M到G的路线最短.

所以最短路线长为BQ=A/42+22=26.故选：B.

【变式31]（2223高一下•河南郑州•期中）如图，正三棱锥尸-ABC中，ZBPC=20。，侧棱长为4,一只

虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（）

【答案】B

【解析】将正三棱锥尸-ABC沿9剪开，得到侧面展开图，如图所示,

因为ZBPC=20°,即NAP4=60°,

由△ABC的周长为A瓦+BtCt+QA,

要使△ABC的周长的最小，则A,与C，A共线，即44+86+44=44,,

又由正三棱锥P-ABC侧棱长为4,△人必是等边三角形，

所以（阴+4G+GAL=4,即虫子爬行的最短距离是4.故选：B.

【变式32】（2024.贵州贵阳一模）如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为

3km,山高为是山坡上一点，且AB=7km.现要建设一条从A到8的环山观光公路，这条

公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（）

A

A.10.2kmB.12kmC.——kmD.——km

1313

【答案】D

【解析】依题意,半径为3km,山高为3、后km,贝!］母线SA=旧+（3而了=12,

67rit

底面圆周长2助=6兀,则圆锥侧面展开图扇形的圆心角1=逐=万,

如图，是圆锥侧面展开图，

显然AB=J122+5Z=13,

由点S向AB引垂线，垂足为点H,此时S”为点S和线段48上的点连线的最小值,

即点H为公路的最高点，A"段为上坡路段，的段为下坡路段，

144

由直角三角形射影定理知,BP122=13AH,解得4"=石小，

144

所以公路上坡路段长为瓦km.故选：D

【变式33］（2223高一下•全国•单元测试）如图，已知圆柱的高为h,底面半径为R,轴截面为矩形

A4珥，在母线网上有一点P,且丛=。，在母线8用上取一点Q，使用。=6，则圆柱侧面上P、。两

点的最短距离为.

【答案】《成¥+（h-a-b）2

【解析】如图，把圆柱的半个侧面展开，是一个下长为兀R,宽为〃的矩形，

BtQ=b,PA=a,过尸作,E为垂足，所以QE=h—a—b,

即可把尸。放在一个直角边为成和人。-匕的直角三角形PQE中，

根据勾股定理可得：PQ=^PE2+QE2=&TIR）2+（h-a-b）2.

【考点题型四】空间几何体表面积与体积计算

空间几何体的表面积和体积公式

表面积体积

几何体

柱体（棱柱和圆柱）s表面积=S侧+2S底V=S底力

锥体（棱锥和圆锥）s表面积=s侧+S底■底〃

s表面积=S侧+S上+S

台体（棱台和圆台）V=g（S上+s下+75上5下）〃

下

球S=4TTR2V=

【例4】（2324高一下.重庆月考）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同

的四面体得到的（如图），若被截正方体的棱长是6dm,那么该几何体的表面积是_____dm2.

【答案】36（3+百）

【解析】因为被截正方体的棱长是6dm,所截去八个四面体是相同的，

所以几何体是由边长为3亚dm的六个正方形和八个正三角形围成的,

所以表面积为6X（3&）+8X-^X（3&）=36（3+若）dm。.

【变式41］（2324高一下•河南濮阳月考）已知正四棱台ABC。-AgGR的上、下底面边长分别为2和

4,直线AA,与CC,的夹角为60。，则该正四棱台的体积为（）

.2073„28如„20A/662876

A.---------D.----C.---------D.-----

3333

【答案】D

【解析】依题意将正四棱台ABCD-44GR补形为正四棱锥尸―ABC。，如下图所示：

因为直线AA与CG的夹角为60。，所以△PAC为边长为4&的等边三角形，

又AG=272,且AC//4G,所以AG是△PAC的中位线，

T^ACC\BD=O,贝［］尸01平面ABCD,且尸0=,（44）2_（2&）2=2瓜,

所以正四棱台ABCD-A4GA的高OQ=：PO=n,

所以四棱台ABCD-A耳GA的体积丫=?22+42+2*4卜指=苧.故选：D

【变式42】（2324高一下.重庆.期中）（多选）在等腰梯形ABCD中，AB//DC,AB=2DC=4,

BC=45,以CD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则下列说法正确的是

）

A.等腰梯形ABCD的高为2B.该几何体为圆柱

c.该几何体的表面积为（16+兀D.该几何体的体积为飞-

【答案】ACD

【解析】因为在等腰梯形ABC。中，AB//DC,AB=2OC=4,BC=^,

过点。作。E1相交A8于点E,过点C作b1AB交AB于点尸,

贝1|AE=BF=AB、DC=1,所以=CF=-JAD2-AE2=2,

所以等腰梯形ABCD的高为2,

以8所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，

则该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上、下两个圆锥，

且圆柱的底面半径r=£®=2，高为AB=4,

圆锥的底面半径厂=DE=2,高为A£=l,故A正确，B错误.

该几何体的表面积S=2TIX2X4+27IX2X岔=（16+4君）兀,

140兀

体积卜=无'22*4-2*]><71乂22义1=不一,故C、D正确.故选：ACD

【变式43】（2223高一下•山东•期中）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为

直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，

且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥）和一个鳖月需（四个面均为直角三角形的四面

体，即三棱锥G-ABC）.在如图所示的堑堵ABC-A百G中，已知AB=3,3C=4,AC=5,若鳖月需

C「ABC的体积等于12,求：

（1）求堑堵ABC-AB©的侧棱长；

（2）求阳马6-428凶的体积；

（3）求阳马G-A理A的表面积.

【答案】（1）6;（2）24;（3）51+3屈

【解析】（1）由题设AB2+3C2=AC2,贝UAB13C,且面A3C,

设的=/?,因为匕TBC=12，所以*；43]=12,所以/z=6.

（2）由题意AA，面ABC,BCu面ABC，贝[，①,

又ABcA4,=A,且都在面内，故BC1面42片4,

所以％一期&=:364=24・

（3）由（1）可知，CG=A4,=6,

贝（JA"=32,AC：=5?+62,BC：=4。+6?,

所以AC：=A82+8C；,即AABC为直角三角形，

Sc]_AB44=^/\ABCt+SAB^C、+S4aAC,+BtBAA

=1-3-2>/13+|-6-4+|-5-6+|-4-3+3-6=51+35/13.

【考点题型五】祖胆原理及其应用

1、祖晅原理的内容：幕势既同，则积不容异。

2、祖暄原理的含义：加在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个

截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等。

3、应用：等地面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。

[例5]（2223高一下•福建福州•期末）九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几

何体为“牟合方盖”（如图）.现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法.显然，正方体的内切球同时也是“牟

合方盖”的内切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面截内切球

得到的是上述正方形截面的内切圆.结合祖晅原理，两个同高的立方体，如在等高处的截面积相等，则体

积相等.若正方体的棱长为6,贝「牟合方盖”的体积为（）

A.144B.6兀C.72D.—兀

3

【答案】A

4二

【解析】正方体的棱长。=6,则其内切球的半径r=3,内切球的体积匕=§兀，=36兀.

由于截面正方形与其内切圆的面积之比为,

Ttr7i

设牟合方盖的体积为匕，则兀％=的，

从而牟合方盖的体积％=也一±*=144.故选：A

7171

【变式51】（2223高一下•湖南岳阳•期末）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖晅父子总结了魏

晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幕势既同，则积不容异”.“幕”是截面积，“势”是几何体的

高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两

个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖晅原理.一个上底面边长为

2,下底面边长为4,高为6的正四棱台与一个不规则几何体满足“幕势既同”，则该不规则几何体的体积

为.

【答案】56

【解析】由题可得即求相应台体体积，

设台体上底面面积为工=4,下底面面积为S?=16,台体高为〃=6,

则台体体积为g,+邑+际）〃=；x（4+16+8）x6=56.

【变式52】（2223高一下•辽宁・期末）国南北朝时期的数学家祖昭提出了一条原理：“幕势既同，则积不容

异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面

的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，将底面半径都为b,高都为。＞为的半椭球（左

侧图）和已被挖去了圆锥的圆柱右侧图）（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）

放置于同一平面夕上,用平行于平面夕且与平面△任意距离1处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面

和圆环，可以证明$圆=$圆环总成立.据此，图中圆柱体（右侧图）的底面半径b为2,高a为3,则该半椭

球体（左侧图）的体积为

【解析】根据题意，因为端=S环总成立,

i2

所以半椭球体的体积为V^-V^=nb2a--nb2a=-nb2a,

由题意知：匕=2,a=3,

2

所以半椭球体的体积为：JX7IX22X3=8TT.

【变式53】（2324高一下•湖北武汉月考）我国南北朝的伟大科学教祖晅于5世纪提出了著名的祖晅原

理，意思就是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的

两个几截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图1,为了求半球的体积，可以构造一个底

面半径和高都与半球的半径相等的圆柱，与半球放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面

圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一个新几何体，用任何一个平行底面的平面去截它们时，两

个截面面积总相等.如图2,某个清代陶瓷容器的上、下底面为互相平行的圆面（上底面开口，下底面封

闭），侧面为球面的一部分，上、下底面圆半径都为6cm,且它们的距离为24cm,则该容器的容积为

cm3（容器的厚度忽略不计）.

【解析】先求容器一半的体积V,根据图一左图，可知/=12/=6,

则球的半径为R=J122+62=6万,且上底面圆的面积为36兀，

建立一个底面半径为6石，高为12的圆柱，如图一右图，

那么根据祖晅原理，挖去一个与圆柱等高的小圆锥。-钻,

其底面面积为（6百）一兀-36兀=144兀,

所以/=嗡柱一幅锥=12x（6斯）2n-gxl2xl447r=1584兀,

所以整个容器的容积为31687t.

【考点题型六】共面、共线、共点的证明

1、证明点或线共面问题的2种方法

（1）首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；

（2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.

2、证明点共线问题的2种方法

（1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

（2）直接证明这些点都在同一条特定直线（如某两个平面的交线）上.

3、证明线共点问题的常用方法

先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

[例6]（2223高一下•安徽月考）空间四边形ABCD,E,F,G,H分别在48,,CD,4。上，目

^^AE:EB=CF:FB=2:1,CG:GD=AH:HD=3:1.

(1)求证：£,尸，6,〃四点共面；

(2)求证：成/,FG,2D三线共点.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】(1)；AE:EB=CF:FB=2:1,EF//AC

CG:GD^AH:HD=3:1,..HG//AC

■■EF//HG,所以四点共面；

FF1GH1

{2y：EF//HG,=-,—=-,EFMGH,

AC3AC4

二四边形EFGH为梯形，

设EHcFG=P，则PeEH,而EHu平面ABD,所以尸e平面ABD,

又PeFG,尸Gu平面BCD,所以尸e平面8C。,

而平面ABDc平面38=3。,P&BD,

•.EH,FG,BD三线共点.

【变式61】（2223高一下河南信阳期中）如图，在正方体ABCO-ABG"中，E,尸分别是越例上的

点，且人尸=2网,BE=2AE.

AE

（2）设[FcCE=O，证明：A,。，。三点共线.

【答案】（1）证明见祥解；（2）证明见祥解

【解析】（1）证明：如图，连接

在正方体ABCD-ABG。中，AF=2FA,BE=2AE，所以所//Ad,

又BC〃AQ,且BC=W,

所以四边形BCD0是平行四边形，所以AB〃QC,

•­•EF//D.C,所以E,C,\,F四点共面；

（2）证明：由2尸cCE=。,:.OeDtF,

又RFu平面AORA,；.Oe平面,

同理Oe平面ABC。,

又平面4。口4门平面至0。=仞，

••.OeAD，即4,。，。三点共线.

【变式62】（2223高一下.河南商丘月考）如图，在正四棱台ABCD-4月£〃中，AB=AA[=3.

（1）求正四棱台ABC。-AB©A的体积；

（2）若瓦EG,“分别为棱A综8G，ABIC的中点，证明：GE,M,即相交于一点.

【答案】（1）号；（2）证明见解析

【解析】（1）连接AGA©,取。,Q分别为AC和AG的中点,

因为ABC。-ABCR为正四棱台，所以AG//AC,且。a为ABC。-4月6。的高，

因为A4=1,AB=AA=3,所以oq=不,

所以正四棱台ABCD-MGP的体积为|XV7X（12+32+户句=拿；

（2）因为E,8G,"分别为棱A4,2G，AB,BC的中点，所以M//AG，GH〃AC,ACHAfi,,

所以EF//GH,所以EfHG为梯形，则EG与尸〃必相交，

设EGcFH=P,因为EGu平面9瓦2,所以Pe平面他与内，

因为切u平面8瓦GC,所以尸e平面BBgC,

又平面92田。平面B4GC=8瓦，所以,

所以GE,以7,2耳交于一点.

【考点题型七】线面位置关系的命题判断

1、直观判断：通过实物或画图来直观感受空间线面的位置关系，这有助于快速形成判断。

2、逻辑推理：根据已知条件和线面平行、垂直的判定定理、性质定理，进行逻辑推导，得出结论。

3、反例验证：对于认为是真的命题，尝试找出反例来验证其真实性；对于认为是假的命题，尝试找到支持

其真实性的证据

【例7】（2324高一下.河南商丘月考）已知名乃是两个不同的平面，私〃是两条不同的直线，下列说法正

确的是（）

A.若"2上有两点到平面。距离相等，则加//a

B.若a//f3,mua,nu。,则m与〃是异面直线

C.若aH/3,mua,nu/3，则，与“没有公共点

D.若£门£=%mua,则机与夕一定相交

【答案】C

【解析】对于A，加上有两点到平面。距离相等，平面々可以过这两点的中点，

此时机与。相交，A错误；

对于BC,allp,则a,"没有公共点，由力,得机与g殳有公共点，

加与”是平行直线或者是异面直线，C正确，B错误；

对于D,a^/3=n,m^a,则〃z//〃或加与〃是相交直线，当时，，〃//月,D错误.故选：C

【变式71]（2024.海南海口.二模）设/,m是两条直线，。，夕是两个平面，则（）

A.若e//6,Illa,m1113,则/〃加

B,若a///7,lUm,mL/3,贝

C.若C/,U/a,m!Ip,则/_1机

D,若a，分,Illa,mlI13,则〃/〃?

【答案】B

【解析】对于A,若a/R,l//a,mlip,贝卜与机可能平行，也可能相交，还可能异面，故A错误；

对于B,若/〃加,m，/3,则/，力,又a/甲,所以Ua,故B正确；

又寸于C,D,，Illa,mlIp,

贝II/与加可能平行，也可能异面或相交，故C,D错误；故选：B.

【变式72】（2324高一下•江苏南京月考）已知加,“为两条不同的直线，夕,用为两个不同的平面，则

下列结论正确的是（）

A.若a///7,mlla,则加〃力B,若租_La,mHn,a/1/3,贝

C.若mua,wua,m///?,nl1/3,则tz〃/?D,若%_L”,mua,nu。,则

【答案】B

【解析】对于选项A,若c//，血/a,则应力或加u4,故选项A错误；

对于选项B,若m_La,mlln,贝,又a〃6,贝,故选项B正确；

对于选项C,若，“ua,〃ua,ml1/3,nil[3,如果机，〃是两条相交直线，则a//£,

如果根〃“，则al可能相交，不一定平行，故选项C错误；

对于选项D,由机"L〃‘mua,〃u#,不能得出n^a,

故不能得出a"故选项D错误.故选：B.

【变式73】（2024.江西宜春.三模）已知私〃是空间中两条不同的直线，。