2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：函数与方程（学生版+解析）

第08讲函数与方程

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................2

第三部分：高频考点一遍过...........................................3

高频考点一：函数零点所在区间的判断..............................3

高频考点二：函数零点个数的判断..................................3

高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数....................4

高频考点四：比较零点大小关系....................................5

高频考点五：求零点和............................................5

高频考点六：根据零点所在区间求参数.............................26

高频考点七：二分法求零点........................................6

第四部分：新定义题(解答题).......................................7

第一部分：基础知识

1、函数的零点

对于一般函数y=/(x),xe£>,我们把使/(x)=O成立的实数x叫做函数y=/(x),无eD的零点.注

意函数的零点不是点，是一个数.

2、函数的零点与方程的根之间的联系

函数y=于(X)的零点就是方程/(%)=0的实数根，也就是函数y=于(x)的图象与%轴的交点的横坐标

即方程/(X)=0有实数根O函数y=/(X)的图象与X轴有交点o函数y=于(x)有零点.

3、零点存在性定理

如果函数y=/(x)在区间[a,切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(a)•/(»<(),那么，函数

丁=/(均在区间(。力)内有零点，即存在ce(a,»,使得/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的根.

注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.

4、二分法

对于在区间上连续不断且于(a)•于电<0的函数y=/(%),通过不断地把函数/(%)的零点所在的区间

一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.求方程/(x)=0的

近似解就是求函数/(x)零点的近似值.

5、高频考点技巧

①若连续不断的函数/(幻是定义域上的单调函数，则/(%)至多有一个零点；

②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

③函数/(X)=f(x)-g(x)有零点0方程/(X)=0有实数根=函数M=/(%)与%=g(x)的图象有交

点；

④函数尸(x)=/(x)-a有零点=方程歹(x)=。有实数根=函数X=/(x)与%=a的图象有交点=

ae{y|y=/(%)},其中a为常数.

第二部分：高考真题回顾

1.(2023,天津•统考高考真题)设aeR,函数〃同=加-2彳-卜2-6+1],若〃尤)恰有两个零点，贝心的取

值范围为.

2.(2022•天津•统考高考真题)设aeR,对任意实数x,记/(x)=min{国-2,尤?-依+3。-5}.若/(x)至

少有3个零点，则实数”的取值范围为

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：函数零点所在区间的判断

典型例题

例题1.（2024上•安徽六安•高一六安一中校考期末）函数/（x）=x+log2尤的零点所在区间为（）

例题2.（2024上•贵州黔东南,高一统考期末）函数〃X）=19+5%-11的零点所在区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（3,4）D.（2,3）

练透核心考点

1.（2024上•安徽安庆・高一统考期末）函数〃x）=ln（x-2）+尤-4的零点所在区间为（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（4,5）D.（5,6）

2.（2024上・河北沧州・高一统考期末）函数/00=£_2-，-1的零点所在的区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

高频考点二：函数零点个数的判断

典型例题

例题1.（2024下•河南•高一校联考开学考试）函数〃幻=打沙-1的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

e"+无,x<0

例题2.（2024下•河北保定•高一河北安国中学校联考开学考试）函数/（x）=一x+2,M。的零点个数

为（）

A.1B.2C.3D.4

例题3.（2024・全国•高一专题练习）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xeR,都有

/（x）=f（6-x）,当xe[0,3]时，/（x）=|log2（x+l）-l|,则函数尸（x）=，3+坨国一1的零点个数是（）

A.6B.8C.10D.12

练透核心考点

1.（2024上•全国•高三统考竞赛）方程log.,（x+2024）=2的实数解的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024下•重庆•高三重庆八中校考开学考试）函数〃力=3+工2—2的零点有（）

A.4个B.2个C.1个D.0个

高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数

典型例题

已知函数=，若函数y=//］所有零点

例题1.（2024上•山东日照,高一统考期末）

的乘积为1,则实数。的取值范围为（）

A.（2,3）B.（O,2]U（3,y）C.（3,+s）D.[L2]U（3,y）

例题2.（2024上•浙江嘉兴・高一统考期末）若函数”了）=/-2x-a-a（a>0）有两个零点，则

7

实数”的取值范围是

练透核心考点

1.（2024上•北京大兴•高一统考期末）已知函数〃x）=x+log2X-4的零点为天，

g（x）=x+log“（x-l）-5（a>l）的零点为巧,若马-玉>1,则实数。的取值范围是（）

A.（1,V2）B.（V2,2）C.（1,2）D.（2,+功

2.（2024上•上海•高二曹杨二中校考期末）已知〃eR,若关于x的方程庐寿=x+6有两个不相等的实

根，则b的取值范围是.

高频考点四：比较零点大小关系

典型例题

例题1.(2024下•河南•高一信阳高中校联考开学考试)已知函数

〃x)=2"+3x+l,g(%)=log2X+3x+l,秋％)=三+3%+1的零点分别是〃，仇c,则〃，瓦。的大小关系为()

A.a>c>bB.b>c>a

C.b>a>cD.a>b>c

例题2.(多选)(2024上•云南德宏•高三统考期末)已知曲线/(x)=e，+x、g。)=lnx+x与直线y=2交

点的横坐标分别为毛、巧，则()

A.%1+工2=2B.%-玉>1

D_Inx2

C.=x2Inx2

玉X2

练透核心考点

1.(2024上•湖南株洲•高一统考期末).已知函数/(x)=2"+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别

为a,b,c,则〃也c的大小关系为()

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

2.(2024上广东•高三广东实验中学校联考期末)若(l-c)e"=(l-。3=1,则a/,c的大小关系为()

A.c<a<bB.c<a<b

C.c<b<aD.b<a<c

高频考点五：求零点和

典型例题

例题L(2024•广东•珠海市第一中学校联考模拟预测)已知定义在R上的函数"X)满足：

f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=罢’,则方程，(x)=g(x)在区间［一5』上的所有实根

之和为()

A.-8B.-7C.—6D.0

2.（2024上•安徽亳州•高一统考期末）若函数，。）=2，-工+°在区间（1,2）上存在零点，则常数。的取值范围

X

为.

高频考点七：二分法求零点

典型例题

例题1.（2024上•吉林延边•高一统考期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）

A.f^x）=2xB./（X）=%2+2A/2X+2

C./（x）=x-\-----3D./（x）=lnx+3

例题2.（多选）（2024上•浙江温州•高一统考期末）设/z（x）=2x+log2（x+l）-2,某同学用二分法求方程

〃（元）=0的近似解（精确度为0.5）,列出了对应值表如下：

-0.50.1250.43750.752

/z(x)-1.73-0.84-0.420.032.69

依据此表格中的数据，方程的近似解与不可能为（）

=_

A.0-125B.=0-375C.%=0.525D.x0=1.5

例题3.（2024上•湖南株洲•高一株洲二中校考期末）用二分法求函数在区间［1,3］的零点，若要求精确度＜0.01,

则至少进行次二分.

练透核心考点

1.（2024上•湖南株洲•高一校考期末）已知函数/（力=丁-3彳-1,现用二分法求函数/（尤）在（L3）内的零

点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（）

2.（2024•全国•高一专题练习）已知函数〃x）=lnx+2x-6在区间（2,3）内存在一个零点，用二分法求方程

近似解时，至少需要求（）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.

A.5B.6C.7D.8

3.(2024上•上海•高一上海市育才中学校考期末)若函数〃x)=x3-x—l在区间的一个零点的近似

值用二分法逐次计算列表如下：

/(1)<0f(l-5)>0

/(1.25)<0f(1.375)>0

“1.3125)<0/(1.34375)>0

那么方程/一%-1=0的一个近似解为工=(精确到0.1)

第四部分：新定义题(解答题)

例题1.(2024上•山东滨州•高一统考期末)已知函数/(x)在定义域内存在实数%和非零实数使得

/(%+0=/(%)+/(D)成立，则称函数“力为D"伴和函数”.

(1)判断是否存在实数。，使得函数/(k=工为伴和函数"？若存在，请求出D的范围；若不存在，请说

X

明理由；

(2)证明：函数/(x)=x2+sinx+l在［0,+8)上为"兀伴和函数”；

⑶若函数〃x)=lg］言］在(0,+。)上为"1伴和函数"，求实数”的取值范围.

例题2.(2024上•湖南郴州•高一统考期末)对于满足一定条件的连续函数g(x),存在实数与，使得8(毛)=%,

我们就称该函数为"不动点"函数，实数与为该函数的不动点.若函数y=f(x)，xel,若存在与乙，使得

/(/(尤o))=尤0，则称/为函数y=的稳定点.

⑴证明：函数不动点一定是函数的稳定点.

(2)已知函数/(力=双2+(。-2)X—1,

(I)当。=2时，求函数的不动点和稳定点；

(口)若存在加＞0,使函数y=f(|x|)+x+3-机-■^有三个不同的不动点，求优的值和实数。的取值范围.

第08讲函数与方程

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................2

第三部分：高频考点一遍过...........................................3

高频考点一：函数零点所在区间的判断..............................3

高频考点二：函数零点个数的判断..................................3

高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数....................4

高频考点四：比较零点大小关系....................................5

高频考点五：求零点和............................................5

高频考点六：根据零点所在区间求参数.............................26

高频考点七：二分法求零点........................................6

第四部分：新定义题(解答题).......................................7

第一部分：基础知识

1、函数的零点

对于一般函数y=/(%),xeD,我们把使/(%)=0成立的实数x叫做函数y=/(%),x&D的零点.注

意函数的零点不是点，是一个数.

2、函数的零点与方程的根之间的联系

函数y=f(x)的零点就是方程/(%)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与X轴的交点的横坐标

即方程/(x)=0有实数根o函数y=于(x)的图象与x轴有交点。函数y=/(%)有零点.

3、零点存在性定理

如果函数，=/(%)在区间切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(a>/S)<0,那么，函数

y=/(x)在区间3,力内有零点，即存在ce(a力)，使得/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的根.

注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.

4,二分法

对于在区间上连续不断且<0的函数y=/(%),通过不断地把函数/(%)的零点所在的区间

一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.求方程/(%)=。的

近似解就是求函数/(x)零点的近似值.

5,高频考点技巧

①若连续不断的函数/(%)是定义域上的单调函数，则/(x)至多有一个零点；

②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

③函数R(x)=/(x)-g(x)有零点=方程尸(x)=0有实数根=函数%=/(%)与%=g(x)的图象有交

点；

④函数尸(%)=/(%)-。有零点=方程歹(x)=。有实数根<=>函数％=/(x)与％的图象有交点=

ae{yl，=/(%)}，其中a为常数.

第二部分：高考真题回顾

1.(2023•天津•统考高考真题)设aeR,函数/■(*)=/-2工-卜2一6+1］,若〃无)恰有两个零点，贝壮的取

值范围为.

【答案】(―8,0)u(0,l)u(L+e)

【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断。的取值范围.

【详解】(1)当/一“无+120时，f(x)=0«(a-l)x2+(a-2)x-l=0,

即［(a-l)x-l］(x+l)=0,

若a=l时，x--1,止匕时12一狈+120成立；

若awl时，％一或

a-1

若方程有一根为x=—1,则1+〃+120,即々之一2且awl；

若方程有一根为％贝lj［」一］-ax-一+120,解得：且awl；

a-1\a-l)a-1

若x=^—=—1时，a=0,此时l+a+120成立.

a-1

(2)当/—依+i<o时，/(%)=0。(a+1)九之一(〃+2)%+1=。,

即[(6Z+l)x-l](x-l)=0,

若。=一1时，X=1,显然/一公+1<0不成立；

若QW-1时，％=1或%=」一

4+1

若方程有一根为x=l,则1一〃+1<0,即々>2；

2

若方程有一根为.占，则1(2X-^—+1<0,解得：。<-2；

〃+1〃+1

若兀=--—=1时，4=0,显然/一办+1<0不成立;

Q+1

综上,

当"一2时，零点为W1

CL-\

当一2<av0时，零点为----，-1；

a-L

当。=0时，只有一个零点-1；

当。时，零点为工，-1;

a-1

当。=1时，只有一个零点-1;

当1<〃K2时，零点为,-1；

a-1

当。>2时，零点为1,一L

所以，当函数有两个零点时，且awl.

故答案为：（一8,0）。（0,1）口（1,+8）.

【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，

然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出.

2.（2022•天津•统考高考真题）设aeR,对任意实数x,记=疝11{同-2,/-ax+3a-5}.若至

少有3个零点，则实数。的取值范围为.

【答案】a>10

【分析】设g（x）=x，-办+3。-5,网司=国-2,分析可知函数g（x）至少有一个零点，可得出-0,求出。

的取值范围，然后对实数。的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数。的不等式，综合可求得实

数。的取值范围.

［详解］设g（x）=d-办+3a-5,〃（力=国一2,由国一2=0可得x=±2.

要使得函数〃尤)至少有3个零点，则函数g(无)至少有一个零点，则公=6一12〃+2()川,

解得或a210.

①当a=2时，g(x)=d-2x+l,作出函数g(x)、人⑴的图象如下图所示：

此时函数只有两个零点，不合乎题意；

②当a<2时，设函数g(x)的两个零点分别为巧、菁</)，

要使得函数/(元)至少有3个零点，则当4-2,

a

一<-2

所以，2,解得4W0;

g(-2)=4+5a-5>0

③当a=10时，g(x)=d—lOx+25,作出函数g(x)、〃(x)的图象如下图所示:

由图可知，函数“X)的零点个数为3,合乎题意；

④当a>10时，设函数g(无)的两个零点分别为退、x4(x,<x4),

要使得函数/(元)至少有3个零点，则$22,

->2/

可得,2,解得。>4,此时a>10.

g(2)=4+a-5>0

综上所述，实数。的取值范围是［10,—).

故答案为：［10,收).

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：函数零点所在区间的判断

典型例题

例题L（2024上•安徽六安,高一六安一中校考期末）函数/（x）=x+log2x的零点所在区间为（）

【答案】C

【分析】根据/（尤）的单调性，结合零点存在性定理，即可判断和选择.

【详解】>=羽丁=。2》在（0,—）上都是单调增函数，故y=在（0,"）上是单调增函数；

又/出=>04=13<0,（力=51吗4：-2<0,

/[1]=；+1呜；=；-1<。，/（l）=l+log2l=l>0；

故/'（X）的零点所在区间为&』].

故选：C.

例题2.（2024上•贵州黔东南,高一统考期末）函数/■（尤）=lgr+5Ali的零点所在区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（3,4）D.（2,3）

【答案】D

【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理，即可判断选项.

【详解】y=坨》在（0,+。）上单调递增，y=5x-ii也是单调递增函数，所以〃尤）在（0,+功上单调递增,

当0vx<l时，lgx<0,5x-ll<0,所以〃x）<0,则在（0,1）上无零点.

因为〃1）=-6<0,J（2）=lg2-l<0,/（3）=lg3+4>0,f（4）=lg4+9>0,

所以〃2）/⑶<0,则根据零点存在性定理可知，“力在（2,3）上有零点.

故选：D

练透核心考点

1.（2024上•安徽安庆•高一统考期末）函数/（x）=ln（x-2）+x-4的零点所在区间为（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（4,5）D.（5,6）

【答案】B

【分析】根据函数的单调性和函数零点存在原理进行求解即可.

【详解】由条件知函数/（无）在（2,+8）上单调递增，

又〃3）=-1<0,/（4）=ln2>0,

根据零点存在定理知该函数零点所在区间为（3,4）,

故选：B

2.（2024上•河北沧州•高一统考期末）函数/（口二/一？^一的零点所在的区间是（

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【分析】由零点的存在定理，判断零点所在区间.

【详解】函数/（x）=x；-2f-1的定义域为［°，+8），

函数y=%在［°，+"）上单调递增，函数）=2r在［0,+e）上单调递减，

所以，（x）在［0,+8）上单调递增.

由/⑴=l_g_l=_g<0,〃2）=0_；_1=近一1.25>0,

所以函数/（x）=/_2--1的零点所在的区间是（L2）.

故选：B.

高频考点二：函数零点个数的判断

典型例题

例题L（2024下•河南•高一校联考开学考试）函数/（无）=北改-1的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】将函数/。）=X1股-1的零点转化为函数>=3》与〉=」的交点问题，画图可解.

X

【详解】令F（x）=xlgxT=0,得lgx=L

X

画出函数〉=想工与〉=’的图象，

X

可得这两个函数在（0,内）上的图象有唯一公共点，

故/（X）的零点个数为L

故选：B

例题2.（2。24下•河北保定,高一河北安国中学校联考开学考试）函数的零点个数

为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】当无20时，解二次方程得函数零点，当x＜0时，把函数零点个数转化为函数y=e'与函数丁=一%的

交点个数，即可求解.

【详解】当时，令％2_3工+2=0，解得x=l或*=2；

当无＜0时，令e，+x=0,则/=一巧画出函数＞=0、与函数》=一%的图象，

可知在（F,0]上有一个公共点.故元）的零点个数为3.

故选：C

例题3.（2024・全国•高一专题练习）己知函数y=〃x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xeR,都有

/（x）=/（6-x）,当xe[0,3]时，/（x）=|log2（x+l）-l|,则函数尸（x）="x）+lg|x|—1的零点个数是（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】由函数偶函数性质及结合/（x）=〃6-x）得到函数的周期T=6,然后求出F（x）的在xe[0,3]

上的解析式〃x）=j[og二有：13《则求人尤）的零点就等价于函数y=〃x）与函数y=l-lg|x|图

象的交点，作出相关图形，从而可求解.

【详解】由函数“X）为偶函数，所以F（X）="T）,

因为对任意xeR,都有〃x）=〃6-x）,即〃—x）=〃6—%）,

所以函数的周期7=6,

当xe［0,3］时,心降4+1)』则力牒甯］:羽

对于函数尸(x)=〃x)+lg国-1的零点等价于函数y=〃x)与函数y=l-lgM图象的交点,

如图所示，一共有10个交点，故C正确.

1.(2024上•全国•高三统考竞赛)方程log,(x+2024)=2的实数解的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根据对数的定义＞0，。#1)n〃=log“b即可求解.

【详解】依题意，

原方程等价于r=x+2024(x＞0,x21)

即f-%-2024=0,显然只有一个正实根.

故选：B.

2.(2024下•重庆•高三重庆八中校考开学考试)函数/(x)=e'+*-2的零点有()

A.4个B.2个C.1个D.0个

【答案】B

【分析】结合函数〉=二与y=2-x?的图象可得正确的选项.

【详解】令f(x)=e"-2=0,即1=2—尤2,

可知函数的零点个数即为丫=^与y=2-x2的交点个数，

结合函数的图像，可知y=e'与＞=2-炉的函数图像有两个交点，

所以函数有两个零点，即函数/（》）=3+/一2的零点有2个.

故选：C.

高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数

典型例题

例题1.（2024上•山东日照•高一统考期末）已知函数=若函数y=所有零点

的乘积为L则实数。的取值范围为（）

A.（2,3）B.（0,2]U（3，HC.（3,+8）D.[1,2]U（3,收）

【答案】B

【分析】作出函数=八的图象，利用换元，令©=,,（"（））,将原问题转化为〃x）=a的

[e+2,x<0a

所有解的乘积为1,结合函数图象，分类讨论，即可求得答案.

【详解】由题意，作出函数〃尤）的图象如图：

Ie+2,x<0

令/H=t,（"0）,贝I函数y=/■丛。=0,即/⑺=0,即t=l,

aIaJ

即〃x）=a,由题意函数y=所有零点的乘积为1,

可知〃无）=。的所有解的乘积为1,

而/（X）=。的解可看作函数y=/（x）的图象与直线y=”的交点的横坐标;

结合/（x）=（?；>°的图象可知，

|e"+2,尤W0

当0<。42时，函数>=/（尤）的图象与直线>有2个交点，

不妨设交点横坐标为占,々,（x<%），则。<不<1,%>1，

且=|1吨|,即-1叫=1吨,二1叫+1咤=0,；.X]/=1,符合题意；

当2<aW3时，函数y=/（x）的图象与直线y=。有3个交点，

其中最左侧交点的横坐标小于等于0,则/（力=。的所有解的乘积小于等于0,不合题意;

当。>3时，函数y=/（x）的图象与直线y=a有2个交点，

不妨设交点横坐标为了3，斗（无3<弱），贝1]0<彳3<1，%>1，

JL|1IU-3|=|lnx4|,即-Inx,=ln9,;.lnx3+lm：4=0,.,.尤3元4=1，符合题意；

综合以上可知实数。的取值范围为（。,2]口（3,+“），

故选：B

【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令""=f,（a/0）,将函数>所有零点的乘积

a（〃J

为1,转化为/（x）=。的所有解的乘积为1；

（2）数形结合法：作出函数/（无）的图象，数形结合，分类讨论，解决问题.

例题2.（2024上•浙江嘉兴・高一统考期末）若函数/（x）=x2-2x-aa（a>0）有两个零点，则

I）

实数。的取值范围是.

【答案】0<"9

2

【分析】令r=|x-l|,则g（/）=产-1-。（占-，只有一个零点，即d=告一“2+1,据此即可求解.

【详解】函数的定义域为R,令f=

则g（。=/T-a（Aj-a）只有一个零点，

且该零点为正数，g⑺=0=/=3―/+1,

根据函数"。）=产（后0）和为⑺=£-/+1（拈0）的图象及凹凸性可知，

只需满足4（。）〈饱（0）即可，艮j0<-a2+a+ln/一0-1<0-土/<4<上黄，

又因为a>0,所以实数。的取值范围是0<。<上苗.

2

故答案为：0<a<匕虫.

2

【点睛】关键点点睛：本题令/=卜-1|,则g（f）=/T-a|j1p4只有一个零点，即-=合一片+i的分

析.

练透核心考点

1.（2024上•北京大兴•高一统考期末）已知函数〃x）=x+log/-4的零点为七，

g（x）=x+log“（x-l）-5（a>l）的零点为巧，若％>1,则实数。的取值范围是C）

A.(1,V2)B.(V2,2)C.(1,2)D.(2,+oo)

【答案】D

【分析】首先由函数零点的定义得到/G)=g(X2)=0,再结合条件进行变形，log2^>loga(^-l),再根

据对数函数的图象和性质，即可求解。取值范围.

【详解】由题意可知，

西+log2%-4=x,+loga(x,-l)-5=0,

X+log2x,-4=x2—1+loga—1)—4,

即芯+log2%l+log/w-1),

因为％-无i>l,所以占<%T，

则log?%>log”(w-l),a>l,当改<%-1时，

解得：a>2.

故选：D

2.(2024上•上海•高二曹杨二中校考期末)已知6eR,若关于x的方程庐斗=尤+6有两个不相等的实

根，则b的取值范围是.

【答案】m

【分析】方程口7=x+6有两个不相等的实根等价于y=Q?与>=彳+6有两个交点，利用数形结合

即可求.

【详解】由题意，y=表示交点在V轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为［手,0),

>=尤+6表示斜率为1的一组平行线，

所以△=462-4x3x^2-1)=。，解得6=手(负根舍去)，

当两图象有两个交点时，根据图象,

纵截距b的取值范围为:

夜>/6

故答案为:

高频考点四：比较零点大小关系

典型例题

例题L(2024下•河南•高一信阳高中校联考开学考试)已知函数

/(x)=2*+3x+l,g(x)=log2x+3x+l,〃(x)=x3+3x+l的零点分别是则a,4c的大小关系为()

A.a>c>bB.b>c>a

C.b>a>cD.a>b>c

【答案】B

【分析】令〃x)=0,g(x)=0,〃(x)=0,从而将问题转化为y=2'、曰嗝无、y=/与y=-3x-l交点的横

坐标，画出函数图象，数形结合即可判断.

【详解】令/(x)=0,g(x)=0,/z(x)=0,得2,=一3x-l,log2x=-3x-l,无3=_3工一1,

则。为函数y=2£与丫=-3》-1交点的横坐标，

b为函数y=iog2x与y=-3x-i交点的横坐标，

C为函数y=/与y=-3x-l交点的横坐标，

在同一直角坐标系中，分别作出y=2£,y=log2X,y=9和y=-3x-l的图象，如图所示，

y=-3x-l\y~x3y=lx

由图可知，b>c>a.

故选：B

例题2.(多选)(2024上•云南德宏•高三统考期末)已知曲线/(尤)=e'+尤、g。)=lnx+x与直线y=2交

点的横坐标分别为毛、巧，则()

A.玉+9=2B.%2一%>1

X{

C.xfi=x2Inx2

【答案】ABC

【分析】根据题意4是〉=片与y=-x+2交点的横坐标，々是y=lnx与y=-x+2交点的横坐标，作出图象,

利用图象对称性依次求解判断.

【详解】由/(x)=e'+x=2,得^=一*+2,即4是y=e，与y=-x+2交点的横坐标，

由g(尤)=lnx+x=2,得lnx=-x+2,即4是y=lnx与y=-x+2交点的横坐标，

画出>=&]y=x,y=ln尤，y=—x+2的图象，如下图所示，

>=-尤+2与它们的交点依次为428,

>=^与〉=111天关于直线丫=%对称，

1

所以4(占户)，3(%,In%)关于y=x对称，则为=111%2，e^=x2,

[y=x,、

由c，解得x=y=i，，P1,1

[y=-x+2

所以玉+%=2,故A正确；

对于B,由9=%,且无I+%2=2,贝1]0<无1<1,1<%2<2,

所以X?=e*'—玉，令0(x)=e*_x,0<x<l,贝i]0'(x)=e、'_]>0,

所以函数火力在(0,1)上单调递增，

.,.0(x)>0(o)=l,即%-玉=炉-X]>1,故B正确；

X|

对于C,由e=x2,所以xg"=%山/，故C正确；

e'x

对于D,由％=In%,e"=x2,贝lj—=-~,

玉Inx2

当％=TnW口寸与1<尤2<2矛盾，又％=In%显然不成立，故D错误.

故选：ABC.

p/y=\nx

练透核心考点

1.(2024上•湖南株洲•高一统考期末).已知函数/(%)=2、+羽g(%)=log2%+x,h(x)=x3+x的零点分别

为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】将函数的零点转化为两个图象的交点的横坐标，结合函数的图象，即可求解.

【详解】因为函数/(x)=2'+无，g(x)=logzx+x,h{x)=x3+x的零点分别为a,6,c,

可转化为丁=-》与三个函数V=2工<=log2=丁的交点的横坐标为a,b,c,

在同一坐标系下，画出函数y=-x与函数y=2",y=log2X,y=/的图象，

如图所示，

结合图象可得：a<c<b.

故选：B.

2.(2024上广东•高三广东实验中学校联考期末)若(l-c)e"=(l-。地=1,则a,6,c的大小关系为()

A.c<a<bB.c<a<b

C.c<b<aD.b<a<c

【答案】A

【分析】由题意可得e"=lnb=占，构造函数〃x)=(l-x)e*(x<l),利用导数求出函数的最值，作

出函数了=//=10%,丫=1匚的图象，结合图象即可得解.

1-X

【详解】由(l—c)e"=(l—c)lnb=l,

可得e">0,所以1一。>0,故c<l,

所以6"=皿=占，

令/(X)=(l-x)e"(%<1),贝[]/,(x)=-xeY,

当x<0时，/,(x)>0,当0<x<l时，/'(无)<0,

所以/(元)在(-8,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

所以/(x)4〃0)=l,即£wi(x<l),

1-X

所以(尤<1),当且仅当x=0时取等号,

1-X

如图,作出函数y=ex,y=lax,y=---的图象,

l-x

由图可知，可知cVa<6.

故选：A.

高频考点五：求零点和

典型例题

例题1.(2024・广东•珠海市第一中学校联考模拟预测)已知定义在R上的函数/⑺满足：

且〃尤+2)"⑺，g(x)=生;，贝I方程/(x)=g(x)在区间［-5,1］上的所有实根

之和为()

A.—8B.—7C.—6D.0

【答案】B

【分析】首先利用函数的性质画出两个函数的图象，再结合对称性求所有实数根的和.

【详解】由题意知g(x)=m^=2(x+2)+l=2+-t_,关于点(一2,2)对称，

函数的周期为2,则函数〃力，g(x)在区间［-5』上的图象如下图所示：

由图形可知函数“X),g(无)在区间上的交点为A,B,C,

易知点8的横坐标为-3,

若设C的横坐标为"0<r<l),则点A的横坐标为-4-f,

所以方程〃x)=g(x)在区间［-5』上的所有实数根之和为-3+(TT)+f=-7.

故选：B

例题2.(2024下•湖南长沙•高二长沙一中校考开学考试)已知函数〃x)=sin(2*+工，则直线y=尤-2

x-2

与/(尤)的图象的所有交点的横坐标之和为.

【答案】12

【分析】由/(x)=x-2可得sin(2?w)=x-2——二，令g(x)=sin(2nx),h(x)=x-2——二，分析可知g(无)

x-2x-2

与〃(无)图象都关于点(2,0)对称，数形结合可得结果.

【详解】由/(尤)=尤-2可得sin(2m)=x-2-