2024-2025学年新教材高中数学第六章立体几何初步6.2直观图课时作业含解析北师大版必修第二册

PAGE课时分层作业(四十一)直观图(建议用时：40分钟)一、选择题1．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成()A．平行于z′轴且大小为10cmB．平行于z′轴且大小为5cmC．与z′轴成45°且大小为10cmD．与z′轴成45°且大小为5cmA[平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一样．]2．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图肯定为等腰三角形B[由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，因此答案为B．]3．水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一个()A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形A[由图形，知在原△ABC中，AO⊥BC．∵A′O′＝eq\f(\r(3),2)，∴AO＝eq\r(3).∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，∴△ABC为等边三角形．故选A．]4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是ACC[因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD．]5.如图所示为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B′到O′x′轴的距离为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．1 D．eq\r(2)B[因为BC垂直于x轴，所以在直观图中B′C′的长度是1，且与O′x′轴的夹角是45°，所以B′与O′x′轴的距离是eq\f(\r(2),2).]二、填空题6．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．(4,2)[由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2)．]7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．36eq\r(2)[在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′(图略)，则易得O′D′＝3eq\r(2)，所以原平面图形为一边长为6，高为6eq\r(2)的平行四边形，所以其面积为6×6eq\r(2)＝36eq\r(2).]8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．eq\f(5,2)[由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为eq\f(5,2).]三、解答题9．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．[解]在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示，在直观图中，O′D′＝eq\f(1,2)OD，梯形的高D′E′＝eq\f(\r(2),4)，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(3\r(2),8).10．已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图．[解]画法：(1)在图(1)中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD．(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去协助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．(1)(2)(3)11.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为()A．eq\f(\r(73),2) B．eq\r(73)C．5 D．eq\f(5,2)A[由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝eq\r(73)，AB边上的中线长度为eq\f(\r(73),2).故选A．]12．梯形A1B1C1D1(如图所示)是一水平放置的平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥y′轴，A1B1∥x′轴，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝1，则平面图形ABCD的面积是()A．5 B．10C．5eq\r(2) D．10eq\r(2)A[由A1B1∥x′轴，A1D1∥y′轴，依据斜二测画法规则可知，该图形还原成平面图形时，A1B1，C1D1长度不变，A1D1长度变为原来的2倍，且∠A1D1C1变为∠ADC＝90°.该直观图还原成平面图形后如图所示，该平面图形为直角梯形，其中AB＝2，CD＝eq\f(3,2)AB＝3，AD＝2，∴S梯形ABCD＝eq\f(2＋3×2,2)＝5.]13.(双空)在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形态)，面积为________cm2.矩形8[由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2)．]14.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图(斜二测画法)，其中A′与O′重合，C′在y′轴上，且B′C′∥x′轴，A′C′＝2，B′C′＝3，则△ABC的最长边长为________．5[由斜二测画法可知△ABC是直角三角形，且AC＝2A′C′＝4，BC＝B′C′＝3，则最长边(斜边)AB15.如图所示，在△ABC中，AC＝12cm，AC边上的高BD＝12cm，求其水平放置的直观图的面积．[解]画x′轴，y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，作△ABC的直观图如图所示，则A′C′