2024-2025学年高中数学第三章统计案例3.2独立性检验的基本思想及其初步应用跟踪训练含解析新人教A版选修2-3

PAGE独立性检验的基本思想及其初步应用[A组学业达标]1．在某次飞行航程中遭受恶劣气候，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采纳的数据分析方法应是()A．频率分布直方图 B．回来分析C．独立性检验 D．用样本估计总体解析：依据题意，结合题目中的数据，列出2×2列联表，求出K2观测值，比照数表可得出概率结论，这种分析数据的方法是独立性检验．答案：C2．视察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是()解析：视察等高条形图发觉eq\f(x1,x1＋y1)和eq\f(x2,x2＋y2)相差越大，就推断两个分类变量之间关系越强．答案：D3．如表是一个2×2列联表：则表中a，b的值分别为()y1y2总计x1a2173x2222547总计b46120A.94,72 B．52,50C．52,74 D．74,52解析：a＝73－21＝52，b＝a＋22＝74，故选C.答案：C4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．假如K2的观测值k＞5.024，那么在犯错误的概率不超过________的前提下认为“X与Y有关系”()P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A.0.25 C．0.1 D．0.025解析：因为K2的观测值k＞5.024，而在临界值表中对应于5.024的是0.025，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X和Y有关系”．答案：D5．分类变量X和Y的列表如下，则下列说法推断正确的是()y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋dA.ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强解析：列联表可以较为精确地推断两个变量之间的相关关系程度，由K2＝eq\f(a＋b＋c＋dad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)，当(ad－bc)2越大，K2越大，表明X与Y的关系越强．(ad－bc)2越接近0，说明两个分类变量X和Y无关的可能性越大．即所给说法推断正确的是C.答案：C6.某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式，了解读书和健身的人数，得到的数据如表：读书健身总计女243155男82634总计325789在犯错误的概率不超过________的前提下认为性别与休闲方式有关系．解析：由列联表中的数据，得K2的观测值为k＝eq\f(89×24×26－31×82,55×34×32×57)≈3.689＞2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系．答案：0.107．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照耀小白鼠．在照耀后14天的结果如下表所示：死亡存活总计第一种剂量141125其次种剂量61925总计203050进行统计分析的统计假设是________，K2＝________，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用________．(填“相同”或“不相同”)参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)解析：统计假设是“小白鼠的死亡与运用的电离辐射剂量无关”，由列联表中数据得K2＝5.33＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为小白鼠的死亡与运用的电离辐射剂量有关．所以两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同．答案：小白鼠的死亡与运用的电离辐射剂量无关5.33不相同8．下表是关于男婴与女婴诞生时间调查的列联表：晚上白天总计男婴45AB女婴E35C总计98D180那么，A＝________，B＝________，C＝________，D＝________，E＝________.解析：由列联表学问得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(45＋E＝98，,98＋D＝180，,A＋35＝D，,E＋35＝C，,B＋C＝180，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝47，,B＝92，,C＝88，,D＝82，,E＝53.))答案：47928882539．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成果的影响，某地区教化主管部门从辖区初中生中随机抽取了1000人调查，发觉其中常常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形推断学生常常上网与学习成果有关吗？解析：依据题目所给的数据得到如下2×2列联表：常常上网不常常上网总计不及格80120200及格120680800总计2008001000得出等高条形图如图所示：比较图中阴影部分的高可以发觉常常上网不及格的频率明显高于常常上网及格的频率，因此可以认为常常上网与学习成果有关．10．随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了改变．某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的eq\f(2,5).已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性中只有eq\f(1,3)的人的休闲方式是运动．(1)完成下列2×2列联表：运动非运动总计男性女性总计n(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？(3)依据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？解析：(1)补全2×2列联表如下：运动非运动总计男性eq\f(1,5)neq\f(1,5)neq\f(2,5)n女性eq\f(1,5)neq\f(2,5)neq\f(3,5)n总计eq\f(2,5)neq\f(3,5)nn(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，则P(K2≥k0)＝3.841.由于K2的观测值k＝eq\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,5)·\f(2n,5)－\f(n,5)·\f(n,5)))2,\f(2n,5)·\f(3n,5)·\f(2n,5)·\f(3n,5))＝eq\f(n,36)，故eq\f(n,36)≥3.841，即n≥138.276.又由eq\f(1,5)n∈Z，故n≥140.故若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的至少有140人．(3)依据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有eq\f(2,5)×140＝56(人)的休闲方式是运动．[B组实力提升]11．某卫朝气构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，故在犯错误的概率不超过________的前提下认为糖尿病患者与遗传有关系．()A．0.001 B．0.005C．0.01 D．0.025解析：可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表糖尿病发病糖尿病不发病总计阳性家族史1693109阴性家族史17240257总计33333366依据列联表中的数据，得到K2的观测值为k＝eq\f(366×16×240－17×932,109×257×33×333)≈6.067＞5.024.故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为糖尿病患者与遗传有关系．答案：D12．在探讨性别与吃零食这两个分类变量是否有关系时，下列说法中正确的是________(填序号)．①若K2的观测值k＝6.635，则我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，假如某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误．解析：K2的观测值是支持确定有多大把握认为“两个分类变量吃零食与性别有关系”的随机变量值，所以由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误，故填③.答案：③13．依据下表计算：不看电视看电视男3785女35143K2的观测值k≈________(保留3位小数)．解析：k＝eq\f(300×37×143－85×352,122×178×72×228)≈4.514.答案：4.51414．某学校为了解该校高三年级学生在市一练考试的数学成果状况，随机从该校高三文科与理科各抽取50名学生的数学成果，作出频率分布直方图如图，规定考试成果在[120,150]内为优秀．(1)由以上频率分布直方图填写下列2×2列联表．若按是否优秀来推断，是否有99%的把握认为该校的文理科数学成果有差异.文科理科总计优秀非优秀总计5050100(2)某高校派出2名教授对该校随机抽取的学生成果中一练数学成果在140分以上的学生进行自主招生面试，每位教授至少面试一人，每位学生只能被一位教授面试．若甲教授面试的学生人数为ξ，求ξ的分布列和均值．解析：(1)由频率分布直方图知，该校文科学生中数学成果优秀的人数为(0.010＋0.004＋0.002)×10×50＝8，故非优秀人数为50－8＝42.该校理科学生中数学成果优秀的人数为(0.020＋0.014＋0.006)×10×50＝20，故非优秀人数为50－20＝30.则2×2列联表如下：文科理科总计优秀82028非优秀423072总计5050100∴K2的观测值k＝eq\f(100×8×30－42×202,50×50×28×72)≈7.143＞6.635，故有99%的把握认为该校文理科数学成果有差异．(2)由(1)知，该校随机抽取的学生成果中一练数学成果在140分以上的学生为4人，ξ的可能取值为1,2,3.将4人分给两名教授每名教授至少1名学生的不同分法种数为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(3,4)＋\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(2,2)＝14，则P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4),14)＝eq\f(2,7)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),14)＝eq\f(3,7)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),14)＝eq\f(2,7).∴ξ的分布列为：ξ123Peq\f(2,7)eq\f(3,7)eq\f(2,7)∴E(ξ)＝1×eq\f(2,7)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(2,7)＝2.15．某校为了了解学生对消防学问的了解状况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行消防学问竞赛．图(1)和图(2)分别是对高一年级和高二年级参与竞赛的学生成果按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图．(1)请计算高一年级和高二年级成果小于60分的人数．(2)完成2×2列联表，并回答：在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”？成果小于60分人数成果不小于60分人数总计高一高二总计附：临界值表及参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.