河北省衡水市2024−2025学年高二上学期综合素质评价二 数学试题含答案

河北省衡水市2024−2025学年高二上学期综合素质评价二数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．已知圆的面积为，则（

）A． B． C． D．4．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为()A．eq\f(5\r(22),66)B．－eq\f(5\r(22),66)C．eq\f(5\r(22),22)D．－eq\f(5\r(22),22)6．在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．7．若动点，分别在直线与直线上移动，则MN的中点P到原点的距离的最小值为（

）A． B． C． D．8．边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（

）A．1 B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（

）A． B．C． D．10．已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为C．若，则 D．若，则直线，一定相交11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（

）

A．存在点，使得B．存在点，使得异面直线与所成的角为C．三棱锥体积的最大值是D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大三、填空题（本大题共3小题）12．点与圆上任一点连结的线段的中点的轨迹方程；13．已知点和直线，则点到直线的距离的取值范围是.14．如图，已知点A是圆台O1O的上底面圆O1上的动点，B,C在下底面圆O上，AO1=1，OO1=2，BO=3，BC=25四、解答题（本大题共5小题）15．在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.

(1)求直线的方程；(2)求直线的方程及点的坐标.16．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点.

(1)证明：平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值.17．已知直线过定点．(1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程；(2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.(1)求证：平面.(2)求直线与平面所成角的正弦值.(3)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．在空间直角坐标系中，己知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离；(3)（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积；（ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.

参考答案1．【答案】A【详解】设直线的的倾斜角为，且，直线的斜率，所以，故选：A2．【答案】C【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，由，可得，所以A不正确，C正确；对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确；故选：C.3．【答案】B【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，即可求解.【详解】因为圆，即，所以，解得.故选B.4．【答案】A【详解】，而，故直线的取值范围为，故选：A.5．【答案】A【详解】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2，－1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3，－3)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,3×\r(22))＝eq\f(5\r(22),66)，∴直线AB，CD所成角的余弦值为eq\f(5\r(22),66).6．【答案】D【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的法向量为，则，取，得，所以点到平面的距离为，故选：D．7．【答案】C【详解】解：由题意知，MN的中点P的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为，到原点的距离的最小值为．故选：C8．【答案】D【详解】

如图，建立空间直角坐标系，设，则，所以，则，因为，又，所以，即，所以，又，所以，当且仅当，此时时，等号成立，所以的最大值是.故选：D.9．【答案】BD【详解】，即，故A错误、B正确；，即，故C错误，D正确.故选：BD.10．【答案】AD【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合，若，则，得，检验符合，故A选项正确；若，由A选项可知，：，直线的方程可化为，故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确；若，则，得，故C选项不正确；由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确.故选：AD.11．【答案】ACD【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

A0,0,0，，，，，，，；对于A，假设存在点，使得，则，又，所以，解得，即点与重合时，，A正确；对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，因为，，所以，方程无解；所以不存在点，B错误；

对于C，连接，设，因为，所以当，即点与点重合时，取得最大值；又点到平面的距离，所以，C正确；对于D，由上分析知：，，若是面的法向量，则，令x=1，则，因为，设直线与平面所成的角为，，所以，当点自向处运动时，的值由到变大，此时也逐渐增大，因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确.故选：ACD12．【答案】【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．【详解】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得．故答案为：．【点睛】求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.13．【答案】【详解】可化为：设直线的定点为，点P到直线的距离为，则有：可得：为直线的定点则有：，此时为点P到直线的最大距离若在直线上，则有：，即可得：不可能在直线上，则有：综上可得：故答案为：14．【答案】310【分析】以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.【详解】连接OC，过C点作CH垂直于BO的延长线于点H，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：在三角形OBC中，因为OB=3,OC=3,BC=25故cosB=OB则BH=BC⋅cosB=25×则CH=BCOH=BH−OB=13故点C−13,453,0，又O设点Am,n,2，m,n∈−1,1，由O1A=1BC=−103,设平面O1BC的法向量m则m⋅BC=0m⋅取y=5，则x=2,z=3故平面O1BC的法向量m又OA=m,n,2设直线AO与平面O1BC所成角为θ，θ∈则sinθ=cosOA因为m,n∈−1,1，且m2故令m=cosα，n=sinα，α∈0,2π则2m+5n+6=5sinα+2cosα+6=3sinα+φ+6，又α∈0,2π，所以sinα+φ所以3sinα+φ+6∈3,9所以sinθ的最大值为9310故答案为：31010【方法总结】求直线与平面所成角的方法：(1)定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；(2)向量法：sinθ＝|cos〈→，n〉|＝AB⋅nAB⋅n(其中AB→为平面α的斜线AB的方向向量，n为平面α15．【答案】(1)(2)直线的方程为：，【详解】（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为，与互相垂直，直线的斜率为，结合，可得的点斜式方程：，化简整理，得，即为所求的直线方程．（2）由和联解，得由此可得直线方程为：，即，，关于角平分线轴对称，直线的方程为：，直线方程为，将、方程联解，得，，因此，可得点的坐标为．16．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由，得到，即可得证；（2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）不妨设，则，如图建立空间直角坐标系，

则，，，A1,0,0，，，所以，，，设m=x,y,z是平面则，取，则，所以平面的一个法向量，又，所以，因为平面，所以平面.（2）因为平面，所以是平面的一个法向量，又因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.17．【答案】(1)或或(2)最小值为24，直线【详解】（1）直线，则直线过定点，①当，时，设的方程为．点在直线上，．若，则，直线的方程为，若，则，，直线的方程为；②当时，直线过原点，且过点，直线的方程为，综上所述，所求直线的方程为或或；（2）令，则；令，则，直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，，为坐标原点，设的面积为，则，当且仅当时，即时取等号，故的最小值为24，此时，直线．18．【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在；【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而得，再结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行求解即可；（3）要使平面，则，由此列式求解可得.【详解】（1）∵平面平面，且平面平面，且，平面，∴平面，∵平面，∴，又，且，平面，∴平面；（2）取中点为，连接，又∵，∴．则，∵，∴，则，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，，设为平面的一个法向量，则由，得，令，则．设与平面的夹角为，则；（3）假设在棱上存在点点，使得平面.设，，由（2）知，，，，则，，，由（2）知平面的一个法向量．若平面，则，解得，又平面，故在棱上存在点点，使得平面，此时.19．【答案】(1)(2)(3)（i）；（ii）【分析】（1）利用题中概念分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可；（2）先计算平面法向量，找到平面上一点然后利用向量的投影计算即可；（3）（i）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内图像，得到其二面角为钝角；【详解】（1）由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则有，所以，直线与平面所成角的余弦值为.（2）由题可知平面的法向量为，且过点，因为,所以，所以点到平面的距离