湖南省衡阳市衡阳县2025届高三一模 数学试题含答案

衡阳县2025届高考第一次模拟试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.复数满足，则的实部为（）A.B.C.D.3.已知古典概型的样本空间，“事件”，则命题“事件”是命题“事件与事件相互独立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知，，，，则（）A.B.C.D.5.的展开式中的系数为（）A.B.C.D.6.某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（）个人.A.B.C.D.7.已知双曲线，两焦点分别为，，过右焦点作直线交右支于，点，且，若.则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.8.平面直角坐标系中，若过点，作斜率不为0的直线，使得与正弦曲线的交点中，存在点，满足是线段的中点，则称是曲线的“平均割线”，为“平衡点”，则对任何一个整数，下列描述正确的是（）A.为偶数时，存在“平均割线”B.若存在“平均割线”，则唯一C.若存在“平均割线”，则所有“平衡点”共线D.若存在“平均割线”，则所有“平衡点”，中间隔相等，按从小到大顺序排列成等差数列二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.已知一组样本数据：，，，.其中，，将改组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（）A.序列不可能既是等比数列又是等差数列B.若成等比数列，和有组可能取值C.若成等差数列，和有组可能取值D.若该数据平均数是，则方差最小值为10.按指对数运算律定义两个函数与，则（）A.在定义域上单调递增B.在定义域上单调递减C.D.若存在，则11.，，非常数函数都有，则下列结论正确的是（）A.B.若，是偶函数C.若，则D.的值不可能是第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知三角形中，，是上中线的三等分点满足，记，则________.13.函数的值域为________.14.已知由系列圆构成的点集为，图形如图中的阴影部分所示，将平面剩余部分分为内外两部分（空白区域），给出以下命题：①图形内部空白区域的面积最小值为②图形到原点的最小距离为③时，图形关于直线对称④时，图形内外边界的长度和为其中正确的有________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点.（1）求证：平面；（2）若，且平面平面，求二面角的余弦值大小.16.（15分）已知函数（1）若在处的切线方程为，求、的值；（2）若时，在上恒成立，求的取值范围；17.（15分）如图，已知点、分别是椭圆的左、右焦点，点是负半轴上的一点，，过点的直线与交于点与点.（1）求面积的最大值；（7分）（2）设直线的斜率为和直线的斜率为，椭圆上是否存在点，使得为定值，若存在，求出点与值，若不存在，请说明理由.（8分）18.（17分）学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有个台阶，从下至上记台阶所在位置为，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨或个台阶（位置或）.（1）记甲迈步后所在的位置为，写出的分布列和期望值.（2）求甲步内到过位置的概率；（3）求步之内同时到过位置和的有多少种走法，及发生的概率.19.（17分）某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第条切痕看作直线，设切下，最多能切出的块数为，如图易知，.（1）试写出，，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的位小伙伴（不考虑大小平分），最少要切几下；（2）这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切下能划分成段，由此求出数列的通项公式；（3）若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切下，最多能切出的块数为，求出的通项公式，并指出这时最多需要切几下能分给个人.（已知）

数学答案1.【答案】D【解析】为函数的值域，令或，，为函数的定义域，即，定义域为，故，故选D.2.【答案】C【解析】设，，，，，所以的实部为，故选C.3.【答案】A【解析】样本空间中事件包含样本点个数可能为，，，，，对应的概率可能值为，，，，，，，事件与事件相互独立，有①时，，，即“事件”是命题“事件与事件相互独立”的充分条件②，，即，且或时事件与事件相互独立，此时“事件”，故命题“事件”是命题“事件与事件相互独立”的充分不必要条件，故选B.4.【答案】C【解析】由已知可得解得，∴，∵，，.故，故选C.5.【答案】D【解析】，项对应，，项对应系数为，展开后系数为，故选D.6.【答案】C【解析】已知个生肖，按先后顺序选择个人，每次选中的人有种等概率可能，由分步乘法原理共有种情况，若选取个人中生肖均不相同，有种可能，故选取个人中生肖均不相同概率，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，即，，，故至少要选个人，故选C7.【答案】C【解析】如图，由令，则，，由双曲线定义，，在中由余弦定理，故在中由余弦定理，故选C.8.【答案】C【解析】由题意，设，则，满足①.当为偶数时，①式为或，直线与轴重合，与题意不符，故不存在“平均割线”；当为奇数时，若，，①式为，，（若，，），由于有无穷解，如图，故对任一为奇数有无数条“平均分割线”；亦有无穷个，且在同一直线上，不成等差.9.【答案】A、B【解析】若为等比数列，由，可知若成等比公比小于，正负交替，而等差数列具单调性，相互矛盾，故不可能既是等比数列又是等差数列，A项正确；若排列后成等比数列，设公比绝对值大于有：①公比为，数列为，，，，，数列为，，，，.②公比为，数列为，，，，，公比绝对值小于，对应同解，故，有组可能取值，B项正确；由，，若，，，若排序后成等差数列，设公差大于有：①公差，数列为，，，，；②公差，数列为，，，，不符；③公差，数列为，，，，不符；公差小于，对应上述倒序排列，同解，故，有组可能取值，C项错误；数据平均数是1，，方差.D项错误；故选AB10.【答案】B、C、D【解析】由，，时，单调递减，时，单调递增，故A项错误；，可知在单调递减，故B项正确；，由，由，故C项正确；由，则，，令，，，，故上单调递减，故，又由时，单调递增得，故D项正确.故选BCD11.【答案】A、B、C【解析】条件①，取，有即，若，则为常数，故，A项正确；由，①式中取有②，再取，有或.若则，则②式为即为偶函数，B项正确；若取，①式为，由B项知为偶函数，①中令，有③，令，有（替换成）④，③④联立，结合，，，，可知，故，故C项正确；取符合①式，故，D项错误.故选ABC.12.【答案】【解析】如图，，，所以.13.【答案】【解析】，，周期，且关于点对称，故只要考虑的值域，设，，满足，，可知，或时，，单调递增，，，单调递减，且，由且，，由，，故由图象关于点对称，上，，，周期性可知在上值域为14.【答案】①②③【解析】如图，当时，内部空白区域面积最小，即半径为的圆，内部空白区域的面积最小值为，①项正确；图形到原点距离为，方法一（计算）：由，（其中），时，取最小值.方法二（分析）：由构成该图形的动圆中，圆心到原点距离，半径，故每个圆到原点最小距离均为，故图形到原点的最小距离为，②正确；时，若点，存在参数满足，则点与点关于直线对称，由，取代入，即点也在中，故时，图形关于直线对称，③正确；时，如图，内边界的长度，其中为圆，半径为，、为圆半径为外边界，而由，，为半圆，半径为，为半圆半径为，为圆，半径为，为圆，半径为，故内外边界和为，④错误.故答案为①②③.15.【解析】（1）证明：取的中点，连接，，在中，，分别为，的中点，且.在三棱柱中，.又为棱的中点，且，四边形为平行四边形，，又因为平面，平面，所以平面.（2）三棱柱中所有棱长都相等，则与都是等边三角形，取上的四等分点，满足则四点共面.由平面平面，平面平面，平面平面平面，且，则如图：可建立以为原点，，，所在直线分别为，，轴的空间直角坐标系，令可知，，，设平面法向量为，则，底面的法向量，，，设二面角的平面角为，则，由图知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.16.【解析】（1），，，故，.，故若上恒成立，，故是在上的极小值，，，，下证时，,令，,①在上单调递减，，，由零点存在定理，，使得，在上，单调递增，在上，单调递减，，，，由零点存在定理，使得在上，单调递增，在上，单调递减，所以上，，，，②在上，单调递增，，单调递减所以,综上，只有时上，.17.【解析】（1）由，设，由题意，联立得，,整理得，由，且，，所以的面积，令，则，当且仅当，即，时（此时适合的条件）取得等号.故面积的最大值为.（2）设椭圆上存在满足条件的点，定值，由题意，，，，，由，在上，，，，当，，时，该等式成立与取值无关，此时，故满足条件的椭圆上的点对应或对应.18.【解析】（1）由题意可知甲每步跨或个台阶的概率都为，可能的取值为，，，.取值分别对应步中分别有，，，次跨两个台阶.故，的分布列如下，.（2）步内到过位置记为事件可分为：步到达位置（记为）、步到达位置（记为）和步到达位置（记为）三种情况.即步中每步都；即步中有两步，步；即步中有两步，步.则.（3）记步内到过位置为事件，走法为，则由题意，故由，，递推，依次为，其中步和步到达位置的走法分别为和种，步到达位置情况下再到达位置只有种走法，步到达位置不可能再到达位置，其他到达位置的情况再到达位置都有种走法.故步之内同时到过位置和的走法为：种，记为，由题意，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，记步和步到达位置为分别为事件，，，，记步内到过位置为事件，则，，，其余情况下