黑龙江省哈尔滨市双城区2025届高三上学期期中考试数学试卷含答案

黑龙江省哈尔滨市双城区2025届高三上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（

）A． B． C． D．3．平行四边形中，为的中点，点满足，若，则的值是（）A．4 B．2 C． D．4．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，，，则数列的公比为A．3 B． C．2 D．5．已知，，则（

）A． B． C． D．6．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（

）A． B．为奇函数C．在上是减函数 D．方程仅有个实数解7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．8．设函数，下列判断正确的是（

）A．函数的一个周期为；B．函数的值域是；C．函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；D．当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点.二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．函数的最小值为10．下列命题正确的有（

）A．若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列B．若为等比数列，且，则C．若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大D．若，则数列的前2020项和为404011．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（

）A．的表达式可以写成B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数C．的对称中心D．若方程在0,m上有且只有6个根，则三、填空题12．已知i是虚数单位，复数满足，则.13．已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为．14．若，则的最小值为.四、解答题15．已知向量．(1)求向量与的夹角的大小；(2)若向量，求实数的值；(3)若向量满足，求的值．16．已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．(1)求的单调递减区间；(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围．17．已知函数.(1)求的极值；(2)若对于任意不同的，，都有，求实数的取值范围.18．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.(1)若，，求边上的角平分线长；(2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.19．一般地，元有序实数组称为维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如，则.若存在不全为零的个实数，，，，使得，则称向量组，，，是线性相关的，否则，称向量组，，，是线性无关的.(1)判断向量组，，是否线性相关.(2)已知函数，，且恒成立.①求的值；②设，其中，若，，数列的前项和为；证明：当时，.参考答案：题号12345678910答案BBDAACCDBCBCD题号11答案ABC1．B【分析】解一元二次不等式可得，再由交集、并集运算可得结果.【详解】解不等式可得；又可知，可知A错误，B正确；，即可得C错误，D错误.故选：B2．B【解析】由复数的乘法运算法则化简复数,根据共轭复数的定义即可求解.【详解】因为复数,由复数的乘法运算法则可得,,利用共轭复数的定义可得,=,故选:B【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数的定义;属于基础题.3．D【分析】利用M为CD的中点，点N满足，得到，再将等式转化成的关系，从而得到，的方程，求解即可．【详解】解：根据题意可得，，因为，所以，所以，由平面向量基本定理可得，解得，所以故选：D【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及了平面向量的数乘和线性运算，用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．4．A【解析】设正项等比数列的公比为，根据等比数列的性质，求得，进而得出公比的方程，即可求解.【详解】设正项等比数列的公比为，由，可得，因为，所以，又因为，所以，即，解得或，又由，可得，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的通项公式的应用，着重考查推理与计算能力.5．A【分析】以为整体，利用诱导公式结合倍角公式求，结合两角和差公式运算求解.【详解】因为，则，且，可得，则，，所以，故选：A.6．C【分析】根据fx−1与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形结合判断各选项.【详解】为奇函数，即，关于点对称，又为偶函数，即，关于直线对称，所以，即，所以，即函数的最小正周期为，A选项：，A选项正确；B选项：，所以为奇函数，B选项正确；C选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误；D选项：由，得作出函数及图像如图所示，

由已知函数的值域为，且，当时，，函数与无公共点，当时，由图像可知函数与函数有个公共点，即有个解，D选项正确；故选：C.7．C【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.【详解】在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，，则，当且仅当时取等号，因此，的面积，所以当时，的面积取得最大值.故选：C8．D【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断A；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断B；利用，结合两点间距离公式可判断C；结合解，根据解的情况判断D，即得答案.【详解】对于A，，，故不是函数的一个周期，A错误；对于B，，需满足，即，令，，则即为，当时，在上单调递增，则；当时，，（，故）此时在上单调递减，则，综上，的值域是，B错误；对于C，由B知，，当时，,满足此条件下的图象上的点到的距离；当时，,满足此条件下的图象上的点到的距离，当且仅当且时等号成立，而时，或，满足此条件的x与矛盾，即等号取不到，故函数的图象上不存在点Px,y，使得其到点1,0的距离为，C错误；对于D，由B的分析可知，则，即，又，故当且仅当时，，即当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，D正确．故选：D【点睛】难点点睛：本题综合考查了函数的知识的应用问题，涉及余弦函数的周期，值域以及最值和函数图象的交点问题，综合性强，难度较大，解答时要结合余弦函数的性质以及函数的单调性，综合求解.9．BC【分析】对A举反例即可；对B根据不等式性质即可判断；对C，利用指数函数单调性即可判断；对D举反例即可.【详解】对A，当时，，故A错误；对B，当，则，则，故B正确；对C，根据指数函数在上单调递增，且，则，故C正确；对D，当时，，故D错误.故选：BC.10．BCD【分析】A.利用等差数列的性质判断；B.利用等比数列的性质判断；C.根据等比数列前n项和公式判断；D.利用数列并项求和判断.【详解】A.等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列，故错误；B.为等比数列，且，则，所以，故正确；C.因为，则，，则，所以，，所以数列前项的和最大，故正确；D.因为，所以数列的前2020项和为：，，故正确.故选：BCD11．ABC【分析】利用特殊点求得函数的解析式即可判断A，根据相位变换求得新函数解析式即可判断奇偶性，即可判断B，先求出的解析式，然后代入正弦函数对称中心结论求解判断C，把问题转化为根的问题，找到第7个根，即可求解范围判断D.【详解】由，得，即，又，所以，又的图象过点，则，即，所以，即得，又，所以，所以，故A正确；向右平移个单位后得，为奇函数，故B正确；对于C，，令得，所以对称中心，故C正确；对于D，由，得，解得或，方程即，因为，所以，又在0,m上有6个根，则根从小到大为，而第7个根为，所以，故D错误.故选：ABC.12．【分析】根据复数运算的除法法则和模的计算公式，即可化简得到答案.【详解】因为，所以.故答案为：.13．【分析】利用基底，结合向量的线性运算表示，即可根据数量积的运算律求解.【详解】设，其中，已知边长为2的菱形中，，则为等边三角形，又，则又，故故．故答案为：

14．【分析】令，则，可得，求导求得最小值即可.【详解】令，则，所以，所以，令，则，所以在上为增函数，即在上为增函数，又，当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，所以函数.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用换元法，通过二次求导，求函数的最小值是一种常用方法，在平时的学习中应多体会.15．(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用向量的夹角公式计算即得.（2）利用平面向量共线的坐标表示，共线向量的坐标表示列式计算即得.（3）利用向量相等构造方程求得，再利用坐标求模即得结果.【详解】（1）由向量，得，于是，而，所以.（2）由向量，得，，由，得，解得，所以实数的值是.（3）依题意，即，于是，解得，所以.16．(1)(2)【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数，再结合三角函数的性质，即可求解；（2）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解.【详解】（1），，，因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，所以，得，所以，令,则，所以的单调递减区间为;（2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，再向左平移个单位得，令，则，所以，因为在上只有一个解，

由的图象可得，−3≤m<3或所以的取值范围是17．(1)极小值为，无极大值；(2).【分析】（1）根据导数的性质，结合函数极值的定义进行求解即可；（2）对已知不等式进行变形，构造新函数，利用新函数的单调性，结合导数的性质分类讨论求解即可.【详解】（1））因为，所以令，解得或（舍去）.当变化时，，的变化情况如表所示.20单调递减单调递增因此，当时，有极小值，且极小值为，无极大值（2）不妨令，则等价于，即令函数，可知在上单调递减，若，即，则在上恒成立，故在上恒成立，则在上单调递减，符合题意若，即，则在上不恒成立，故在上不恒成立，则在上不可能单调递减，不符合题意.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】关键点睛：由已知不等式构造函数，得到函数的单调性是解题的关键.18．(1)(2)【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出；利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得答案；（2）延长交于，延长交于，设，分别求出、，再根据三角恒等变换化，结合正切函数的性质即可得解.【详解】（1）因为，，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以；又因为，，所以，即，解得，设边上的角平分线长为，则，即，即，解得，即边上的角平分线长为；（2）延长交于，延长交于，设，所以，在中，在中，，，所以，在中，同理可得在中，所以，因为，所以，所以，所以，即的取值范围为12,1.19．(1)，，是线性无关的(2)①；②证明见详解【分析】（1）假设，，线性相关，根据题意列方程解得，即可得出矛盾；（2）①令，分析可知原题意等价于对任意恒成立，结合定点法求得；②利用放缩法结合裂项相消法可得，