河南省许平汝名校2024−2025学年高三上学期10月期中考试 数学试题含答案

河南省许平汝名校2024−2025学年高三上学期10月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则的真子集个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知，，向量，满足，则“，不共线”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，，，则（

）A． B． C． D．4．若曲线与轴，直线的交点分别为为坐标原点，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．已知是以为直径的圆上一点，为的中点，则（

）A． B． C． D．6．已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则（

）A． B． C． D．7．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（

）A．6 B．4 C．3 D．28．在中，角为锐角，的面积为，且，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知函数，则（

）A．为偶函数 B．的最小正周期为C．在区间上单调递减 D．在上有4个零点10．若实数满足，则（

）A． B．C． D．11．已知函数，则（

）A．的图象关于点对称B．为奇函数C．是的极小值点D．在上有极值三、填空题（本大题共3小题）12．已知，则曲线在点处的切线方程为.13．若定义在上的函数满足：，且，则.14．如图的“心形”曲线恰好是半圆，半圆，曲线组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于.四、解答题（本大题共5小题）15．（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值；（2）已知，且，求的值.16．已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为.(1)求的值及的单调递增区间；(2)将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围.17．在中，角的对边分别为.(1)求；(2)已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长.18．如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.(1)若向量的“完美坐标”为，求；(2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；(3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，x∈R，求的值域.19．已知函数.(1)证明：当时，只有1个零点；(2)当时，讨论的单调性；(3)若，设，证明：.

参考答案1．【答案】B【详解】因为，所以，所以的真子集个数为个.故选：B.2．【答案】A【详解】若，不共线，由及平面向量基本定理，得；若，无论，共线与否，都有.综上，“，不共线”是“”的充分不必要条件.故选：A3．【答案】D【详解】因为，，，所以.故选：D.4．【答案】C【详解】依题意，，，解得，故，由，所以，解得，所以，所以，所以.故选：C5．【答案】B【详解】如图，连接，，因为是圆的直径，所以，又，，则，又是的中点，则，.故选：B.6．【答案】D【详解】由三角函数的定义，得，，所以，，.故选：D.7．【答案】D【详解】因为，，令，则，设，，则，所以是奇函数，最大值为，最小值为，则，由，解得.故选：D.8．【答案】A【详解】依题意，，由得，即，，由于是锐角，所以，与一正一负，或，若，即，由于，所以，所以，，此不等式组无解，所以不成立.同理可得不成立.所以，所以，所以，.所以，所以三角形的周长，当且仅当时等号成立，所以三角形的周长的最小值为.故选：A9．【答案】AB【详解】对于A：，显然为偶函数，故A正确；对于B：最小正周期，故B正确；对于C：当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递增，故C错误；对于D：由，得，所以在上的零点有，，，共3个，故D错误.故选：AB.10．【答案】AC【详解】因为，可得，当时，可得，令，求导得，令，可得，解得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，无最小值，故，当时，可得，令，求导得，令，可得，解得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，无最大值，故，故A正确，B错误；由，可得，所以，所以，当且仅当，即或时取等号，故C正确；当时，方程，，方程有解，所以，故D错误.故选：AC.11．【答案】ABC【详解】对于A，由易知,即满足，所以的图象关于点对称，可得A正确；对于B，易知，满足奇函数定义，即可得为奇函数，即B正确；对于C，求导可得，不妨只研究当时的单调性，当时，，当时，，可知函数在上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极小值，所以是的极小值点，即C正确.对于D，由可知，当时，，此时函数在上是单调递减的，因此在上没有极值，即D错误.故选：ABC12．【答案】【详解】，故，又，故曲线在点处的切线方程为，即，故答案为：13．【答案】3【详解】因为，所以，所以，4为的一个周期，则，又，取，得，所以，故.故答案为：314．【答案】【详解】设，线段的中点为，如图，因为曲线关于点对称，所以可将曲线与轴、轴围成的区域割补为直角三角形的区域，于是曲线与轴、轴围成的区域的面积就是直角三角形的面积，即；根据对称性，可得曲线与、轴围成的区域的面积为，又曲线所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为，所以曲线所围成的“心形”区域的面积等于.故答案为：15．【答案】（1）（2）【详解】（1）由，得，或，∵是方程的一个实根，且是第三象限角，∴，∴；（2）∵，∴，则，∵，所以，，故，.16．【答案】(1)；单调递增区间为：；(2)【详解】（1）由，因为图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为，所以其最小正周期为，则，令，解之得；（2）由题意可知将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度可得，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数，当，所以，令，则条件可化为在时有解，易知在上单调递减，在上单调递增，易知，则，解之得.17．【答案】(1)；(2).【详解】（1），，，，，，，又，.（2）因为BD为的平分线，，所以，又，，所以，即，①由余弦定理，得，即，②由①②可得（舍去负值），，所以a，c是关于的方程的两个实根，解得.又因为BD为的平分线，所以，又，，所以，，所以的周长为.18．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则，又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，所以,，所以.（2）由（1）知，所以，即.（3）因为向量，的“完美坐标”分别为，，由（2）得.令，则，因为x∈R，所以，即，令，因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的值域为.19．【答案】(1)证明见解析(2)答案见详解(3)证明见解析【详解】（1）当时，，则函数的定义域为，恒成立，所以在单调递增，且，根据零点唯一性定理可知，只有1个零点为0.（2），因为，所以定义域为，，因为，