河南省青桐鸣大联考2024−2025学年高二上学期10月联考 数学试卷含答案

河南省青桐鸣大联考2024−2025学年高二上学期10月联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．在正三棱柱中，则平面内不可能存在一条直线与直线（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面2．已知角，直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．3．已知退休的王大爷连续天户外运动的步数（单位：百步）分别为50，，，，，则该组数据的均值与方差分别为（

）A．50， B．50，10 C．， D．，4．已知在空间直角坐标系中，，，则在方向上的投影向量为（

）A． B．C． D．5．已知直线过点，且直线与直线平行，与直线垂直，，则直线的方程为（

）A． B．C． D．6．已知在中，，分别为，的中点，，，则可以用含，的式子表示为（

）A． B．C． D．7．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则下列说法错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则有两解 D．若，则有两解8．在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面上的一动点，且满足，则点的运动轨迹的长度为（

）A．8 B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数，为的共轭复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C． D．若为实数，则10．已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（

）A．，互为互斥事件 B．与互为互斥事件C． D．与互为对立事件11．如图，在正方体中，为与的交点，平面与平面交于直线，则下列说法正确的是（

）

A．平面 B．平面C． D．存在一条直线与直线，，都相交三、填空题（本大题共3小题）12．在平面直角坐标系中，向量，，且满足，其中，则.13．在四面体中，点为的重心，，，分别为，，的中点，且，则实数.14．甲、乙、丙三人一同下棋（无平局），甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲的概率分别为0.6，0.5，0.4.第一局由甲、乙二人先下，丙旁观，规则为负者在下一局旁观，胜者与丙比赛……依次类推.若其中有一人累计胜两局，则结束比赛，胜两局者最终获胜，则甲最终获胜的概率是.四、解答题（本大题共5小题）15．在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线：，.(1)若直线过点，求的值；(2)求点到直线距离的最大值.16．某高二实验班共有50名学生，数学老师为研究某次考试，将所有学生的成绩分成5组：，，，，，得到频率分布直方图如下.(1)求的值，并估计本班学生成绩的中位数（计算结果保留1位小数）；(2)全班共有24名女生，该次考试成绩在120分以下的女生有8人，则不低于120分的男生有多少人？17．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角的值；(2)若，求周长的最大值.18．如图，在三棱柱中，，平面平面，.(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.19．如图，在正三棱台中，，.

(1)求的长度；(2)求三棱台的体积.

参考答案1．【答案】A【详解】对于A，若平面中存在一条直线与平行，平面，则平面，显然不可能成立，故A正确；对于B，如图，取的中点记为，因为在正三棱柱中，平面平面，平面平面，，所以平面，故，故B错误；对于C，，C显然错误；对于D，与异面，D错误.故选：A.2．【答案】D【详解】设直线的倾斜角为，则，故角的取值范围是.故选：D.3．【答案】A【详解】均值：，方差：.故选：A.4．【答案】C【详解】由题意可得，，所以在方向上的投影向量为.故选：C.5．【答案】B【详解】由题意得，直线与直线垂直，则，解得，故直线的方程为，即.故选：B.6．【答案】B【详解】由题意得，，，故，故.故选：B.7．【答案】D【详解】由正弦定理，得，当时，，故A正确；当时，，故B正确；当时，，故B有两解，故C正确；当时，，得，仅有一解，故D错误.故选：D.8．【答案】B【详解】如图，在上取点，使，连接，则，故，故，又，，平面，平面，故平面，又平面，故.在上取点，使，同理可证.又，平面，平面，则平面.设平面与棱交于点，连接.则平面平面，又平面平面，由平面平面，则，同理可证，故四边形为平行四边形，则四点共面.在平面内，在棱上取点，使，连接，则，，则四边形是平行四边形，则，所以，又，所以四边形是平行四边形，则，即为棱的中点，由，可得，则四边形为菱形.且平面.由，则点在过点且与垂直的平面内，即平面内.又是该正四棱柱表面上的一动点，故点的运动轨迹即为菱形，且该菱形的周长为.所以点的运动轨迹的长度为.故选：B.9．【答案】ACD【详解】对于选项A：因为，所以，故A正确；对于选项B：因为，即，解得，故B错误；对于选项C：因为，可得，，所以，故C正确；对于选项D：因为，则，即，故D正确.故选：ACD.10．【答案】BD【详解】对于A，，两个事件可以同时发生，故A错误；对于B，与不可能同时发生，故B正确；对于C，为，的交事件，故C错误；对于D，对应的事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中，故与互为对立事件，D正确.故选：BD.11．【答案】ACD【详解】如图，连接交于点，连接，

则为的中点，故在中，为中位线，故，因为平面，平面，故平面，A正确；假设平面，由平面，则，又，，，平面，故平面，平面，所以，在正方形中不可能成立，故假设错误，B错误；由平面，又直线为平面与平面的交线，所以，又，所以，C正确；如图，延长至点，使，延长至点，使，连接，取的中点，连接，，，，

设正方体的边长为2，则，则，由，又，，则，则，故，，三点共线，故存在一条直线与直线，，都相交，D正确.故选：ACD.12．【答案】【详解】由，，则，，又，则，解得或，又，则，故答案为：.13．【答案】3【详解】如图，连接，则，故，而，故．故答案为：3．14．【答案】0.504【详解】甲最终获胜的所有比赛情形有3种，甲胜前两局：；第一局甲胜乙，第二局丙胜甲，第三局乙胜丙，第四局甲胜乙：；第一局乙胜甲，第二局丙胜乙，第三局甲胜丙，第四局甲胜乙：，故甲最终获胜的概率为.故答案为：0.504.15．【答案】(1)(2)5【详解】（1）将点的坐标−2,3代入直线的方程得，，整理得，解得.（2）直线的方程可化为，联立解得故直线恒过点，如图可知，当时点到直线距离的取最大值，最大值为，，故点到直线距离的最大值为5.

16．【答案】(1)，(2)【详解】（1）由，解得.因为，，故中位数为.（2）该次考试成绩在120分以下的总人数为，故120分以下男生人数为，故不低于120分的男生人数为.17．【答案】(1)(2)【详解】（1），由正弦定理得，故，又故.（2）由，即，解得，当且仅当时取得等号，故周长的最大值为.18．【答案】(1)证明见解析(2).【详解】（1）证明：由，得，又平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又，，平面，故平面.（2）不妨设，由（1）知，，两两垂直，以为原点，，，方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，易知平面的一个法向量为，故，故所求二面角的正弦值为.19．【答案】(