广东省深圳市福田区红岭教育集团2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

红岭教育集团2024-2025学年度第一学期九年级期中考试数学试卷一．选择题（共8小题）1．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（）A． B． C． D．2．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．163．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（）累计抽测的学生数n100200300400500600800近视学生数与n的比值0.4230.4100.4000.4010.4130.4090.410A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.4104．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2）、B（﹣3，﹣1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣6，﹣2） B．（﹣2，4） C．（﹣6，﹣2）或（6，2） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（）A． B． C． D．6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BA延长线一点，CE交AD于点F，下列各式中可能错误的是（）A． B． C． D．7．每年春秋季节，流感盛行，极具传染性．如果一人得流感，不加干预，经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x人，则下列方程正确的是（）A．（x+1）2＝81 B．1+x+x2＝81 C．1+x+（x+1）2＝81 D．1+（x+1）+（1+x）2＝818．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为（）A．2 B． C． D．4二．填空题（共3小题）9．已知，则＝．10．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，∠ABC和∠ANM均为直角，AM与BC交于点D，测得AB＝40cm，BD＝30cm，BN＝22m，则信号塔MN的高度为m．11．如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为12．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，若BC：CD＝2：1，S△ADC＝，则k的值为．13．如图，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝，求BE的长．三．解答题（共8小题）14．解方程：x2+2x﹣24＝0．15．2024年10月21日，红岭中学举行了第十三届运动会．本届赛事共设置跳高、跳远、铅球三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：等级ABCD分数段90﹣10080﹣8970﹣7960﹣69频数440280m40请根据表中提供的信息，解答下列问题：（1）此次调查共抽取了名选手，m＝，n＝；（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是度；（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到跳高和跳远冠军的概率．16．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个．（1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？（2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率．17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF．（1）求证：四边形AFBO是矩形；（2）若∠E＝30°，OF＝2，求菱形ABCD的面积．18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2和x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．（1）根据上述定义，一元二次方程x2+2x﹣8＝0（填“是”或“不是”）“倍根方程”；（2）若点（p，q）在双曲线y＝上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；19．【综合实践】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图，即FA×L1＝FB×L2），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L1＝1m，距右端L2＝0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为N．（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L2的长度随之变化．设重物B的质量为xN，L2的长度为ycm．则：①y关于x的函数解析式是．②完成下表：x/N…1020304050…y/cm…8a2b…a＝，b＝．③在直角坐标系中画出该函数的图象．（3）在（2）的条件下，若点A的坐标为（20，0），B的坐标为（0，2）,在（2）所求得到函数图像中存在点C，使得S△ABC＝46．请直接写出所有满足条件的点C的坐标．20．【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着A逆时针方向旋转，连接BD和CE．如图2，找出图中的另外一组相似三角形；②若AB＝8，AC＝6，BD＝4，则CE＝；【迁移应用】在Rt△ACB和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE＝60°，AB＝6，AC＝8,点D为线段BC上的一个动点，连接EC如图3，写出CE比BD的的值及∠DCE的度数，并说明理由。如图4，点P为DE中点，在点D从B点运动到C点的过程中，请直接写出点P经过的路径长【创新应用】如图5：，BC＝4，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，tan∠ADE＝2，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，，连接CF，请直接写出CF的取值范围．红岭教育集团2024-2025学年度第一学期九年级期中考试数学试卷参考答案与试题解析（请注意：部分答案对不上）一．选择题（共9小题）1．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（）A． B． C． D．【分析】左视图是从物体左面看所得到的图形．【解答】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，故选：C．【点评】本题考查了三视图的概念，要注意看不见的线应当画虚线．2．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4．故选：C．【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．3．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（）累计抽测的学生数n100200300400500600800近视学生数与n的比值0.4230.4100.4000.4010.4130.4090.410A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410【分析】利用大量重复实验时的频率课估计概率求解即可．【解答】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.410，所以对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是0.410，故选：D．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2）、B（﹣3，﹣1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣6，﹣2） B．（﹣2，4） C．（﹣6，﹣2）或（6，2） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k计算．【解答】解：在y轴同侧时，∵A（﹣1，2），相似比为2，∴A′（﹣2，4）；在y轴两侧时，∵A（﹣1，2），相似比为2，∴A′（2，﹣4）；故选：D．【点评】本题考查的是位似变换，正确记忆相关知识点是解题关键．5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【解答】解：∵一次函数y＝﹣kx+k＝﹣k（x﹣1），∴直线经过点（1，0），A、C不合题意；B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，矛盾，不合题意；D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，一致，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，重点是注意系数k的取值．6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BA延长线一点，CE交AD于点F，下列各式中可能错误的是（）A． B． C． D．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．【解答】解：∵AD∥BC，∴＝，所以选项A不符合题意；∵CD∥BE，∴＝，∵AB＝CD，∴＝，所以选项B不符合题意；∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC，∴＝，∵AD＝BC，∴＝，所以选项C不符合题意；∵CD∥BE，∴△CDF∽△EBC，∴＝，所以选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练利用相似三角形的性质是解答本题的关键．7．每年春秋季节，流感盛行，极具传染性．如果一人得流感，不加干预，经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x人，则下列方程正确的是（）A．（x+1）2＝81 B．1+x+x2＝81 C．1+x+（x+1）2＝81 D．1+（x+1）+（1+x）2＝81【分析】设每人每轮平均感染x人，根据经过两轮后共有81人得流感，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设每人每轮平均感染x人，∵1人患流感，一个人传染x人，∴第一轮传染x人，此时患病总人数为1+x；∴第二轮传染的人数为（1+x）x，此时患病总人数为1+x+（1+x）x＝（1+x）2，∵经过两轮后共有81人得流感，∴可列方程为：（1+x）2＝81．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为（）A．4 B． C． D．2【分析】由SAS可证△ADE和△CDG全等得AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动，根据“垂线段最短”可知：当MG⊥CK时，MG为最短，即当点G与点T重合时，MG为最小，最小值为线段MT的长，由∠DAC＝45°，MT⊥CK得△CMT为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得GH的最小值．【解答】解：连接CG并延长与AD的延长线交于点K，过点M作MT⊥CK于T，如图所示：∵四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝60°，∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∠CDG+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°，∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动，根据“垂线段最短”可知：当MG⊥CK时，MG为最短，即当点G与点T重合时，MG为最小，最小值为线段MT的长．∵∠DAC＝45°，MT⊥CK，∴△CMT为等腰直角三角形，即MT＝CT，∵AB＝8，点M为CD的中点，∴MC＝4，由勾股定理得：MT2+CT2＝MC2，∴2MT2＝16，∴MT＝2．∴GM的最小值为2，故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形三角形的判定和性质，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形三角形的判定和性质是解决问题的关键．9．如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（）A． B．4 C． D．3【分析】由折叠的性质得，AM＝DM＝，∠DMA'＝∠AMA'＝90°，AD＝A'D，由勾股定理求出A'M的长，再证四边形ABNM是矩形，即可求出A′N的长．【解答】解：由折叠的性质得，AM＝DM＝，∠DMA'＝∠AMA'＝90°，AD＝A'D，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，∵BC＝6，∴AD＝6，∴DM＝3，在Rt△DMA'中，由勾股定理得A'M＝，∵∠A＝∠B＝∠AMA'＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝10，∴A′N＝MN﹣A'M＝10﹣，故选：A．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，折叠问题，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．二．填空题（共3小题）10．已知，则＝．【分析】由a、b的关系变形，用一个字母表示另一个，代入即可得解．【解答】解：∵，∴b＝2a，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的基本性质，变形求解是解题的关键．11．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，∠ABC和∠ANM均为直角，AM与BC交于点D，测得AB＝40cm，BD＝30cm，BN＝22m，则信号塔MN的高度为16.8m．【分析】由题意可知，AN＝22.4m，BD＝0.3m，证明△ABD∽△ANM，得到，即可求出信号塔MN的高度．【解答】解：∵AB＝40cm＝0.4m，BN＝22m，∴AN＝AB+BN＝22.4m，∵∠ABC＝∠ANM＝90°，∴BC∥MN，∴△ABD∽△ANM，∴，∴，∴MN＝16.8m，故答案为：16.8．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，若BC：CD＝2：1，S△ADC＝，则k的值为16．【分析】作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．首先证明S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．∵BC：CD＝2：1，S△ADC＝，∴S△ACB＝，∵OA＝AB，∴B（2m，2n），S△AOC＝S△ACB＝，∵A、C在y＝上，BC＝2CD，∴C（m，n），∵S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC，∴•（n+n）×m＝，∴mn＝16，∵A（m，n），∴k＝16．故答案为16【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，本题的突破点是证明S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC．三．解答题（共8小题）13．数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．（1）初步探究如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB；（2）尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长；（3）创新提升如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的长．【分析】（1）由∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，证明△ACD∽△ABC，得＝，则AC2＝AD•AB；（2）设AD＝m，则AD＝BD＝m，AB＝2m，根据相似三角形的性质得＝＝，则AC2＝2m2，求得AC＝m，所以＝＝，而BC＝4，则CD＝BC＝2；（3）解法一，作BF⊥DC交DC的延长线于点F，设CE＝DE＝n，则CB＝CD＝2n，再证明∠FBC＝30°，所以CF＝CB＝n，求得EF＝2n，BF＝n，则BD＝2n，BE＝n，作CH∥EB交AB的延长线于点H，则△HDC∽△BDE，所以＝＝＝2，则HC＝2n，HD＝4n，再证明△ACD∽△AHC，得＝＝＝，则AD＝AC＝2，AH＝AC＝14，所以HD＝4n＝12，则n＝，求得BE＝．解法二，取BD中点M，连接CM、EM，则EM∥CB，由∠CDB＝∠CBD＝30°，得CD＝CB，∠EMD＝∠CBD＝30°，则CM⊥BD，∠ADC＝∠BME，可证明△ACD∽△EBM，设CM＝x，则CD＝CB＝2x，BM＝x，所以＝＝，则BE＝AC＝．【解答】（1）证明：如图2，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD•AB．（2）解：如图3，设AD＝m，∵点D为AB中点，∴AD＝BD＝m，AB＝2m，由（1）得△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC2＝AD•AB＝m×2m＝2m2，∴AC＝m或AC＝m（不符合题意，舍去），∴＝＝＝，∵BC＝4，∴CD＝BC＝×4＝2，∴CD的长是2．（3）解法一：如图4，作BF⊥DC交DC的延长线于点F，则∠F＝90°，∵点E为CD中点，∴CE＝DE，设CE＝DE＝n，∵∠CDB＝∠CBD＝30°，∴CB＝CD＝2n，∠BCF＝∠CDB+∠CBD＝60°，∴∠FBC＝90°﹣∠BCF＝30°，∴CF＝CB＝n，∴EF＝CE+CF＝2n，BF＝＝＝n，∴BD＝2BF＝2n，BE＝＝＝n，作CH∥EB交AB的延长线于点H，则△HDC∽△BDE，∴＝＝＝＝2，∴HC＝2BE＝2n，HD＝2BD＝4n，∵∠ACD＝∠EBD，∠H＝∠EBD，∴∠ACD＝∠H，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△AHC，∴＝＝＝＝＝，∵AC＝2，∴AD＝AC＝×2＝2，AH＝AC＝×2＝14，∴HD＝AH﹣AD＝14﹣2＝12，∴4n＝12，解得n＝，∴BE＝×＝，∴BE的长是．解法二：如图5，取BD中点M，连接CM、EM，∵点E为CD中点，∴DM是△BCD的中位线，∴EM∥CB，∵∠CDB＝∠CBD＝30°，∴CD＝CB，∠EMD＝∠CBD＝30°，∴CM⊥BD，∠ADC＝∠BME＝180°﹣30°＝150°，∵∠ACD＝∠EBD，即∠ACD＝∠EBM，∴△ACD∽△EBM，∵∠CMB＝90°，∠CBM＝30°，AC＝2，∴CD＝CB＝2CM，设CM＝x，则CD＝CB＝2x，∴BM＝＝＝x，∴＝＝＝，∴BE＝AC＝×2＝，∴BE的长是．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．14．（1）计算：；（2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．【分析】（1）先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再计算加减即可得解；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）x2﹣4x﹣5＝0，因式分解得：（x﹣5）（x+1）＝0，则x﹣5＝0或x+1＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣1．【点评】本题考查了实数的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键．15．2024年4月21日，达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑，本次赛事以“相约巴人故里，乐跑红色达州”为主题，旨在增强全市民众科学健身意识，推动全民健身活动．本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：等级ABCD分数段90﹣10080﹣8970﹣7960﹣69频数440280m40请根据表中提供的信息，解答下列问题：（1）此次调查共抽取了800名选手，m＝40，n＝5；（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是126度；（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率．【分析】（1）先用A等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数乘以C等级所占的百分比得到m的值，然后D等级人数乘以调查的总人数得到n的值；（2）用360°乘以B等级所占的百分比即可；（3）用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．则通过画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出马拉松和欢乐跑冠军的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）此次调查共抽取的选手总人数为440÷55%＝800（名）；所以m＝800×5%＝40，所以n%＝＝5%，即n＝5；故答案为：800，40，5；（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数＝360°×＝126°；故答案为：126；（3）用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．画树状图为：共有6种等可能的结果，其中马拉松和欢乐跑冠军的结果数为2种，所以恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．16．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个．（1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？（2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率．【分析】（1）设售价应定为x元，则每个利润为（x﹣20）元，销量为个，利用总利润为8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；（2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为y，根据两周后销售量达到了484个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每个利润为（x﹣20）元，销量为个，由题意得：，整理得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60（不符合题意，舍去），答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为40元；（2）由（1）得：当售价为40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为y，由题意得：400（1+y）2＝484，解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（不符合题意，舍去），答：这两周的平均增长率为10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF．（1）求证：四边形AFBO是矩形；（2）若∠E＝30°，BF＝1，求OF的长．【分析】（1）证四边形ADBE是平行四边形，再证AE⊥AC，则∠OAF＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论；（2）由矩形的性质得∠AFB＝90°，OF＝AB，所以∠BFE＝90°．又由∠E＝30°，BF＝1，由直角三角形性质得BE＝2BF＝2．在Rt△AEC中，BE＝BC，由直角三角形性质得AB＝BE＝2，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC，∵BE＝BC，∴AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形，∴AE∥BD．∵BF∥AC，∴四边形AFBO是平行四边形．∵AC⊥BD，AE∥BD∴AE⊥AC，∴∠OAF＝90°，∴平行四边形AFBO是矩形．（2）解：由（1）知四边形AFBO是矩形，∴∠AFB＝90°，OF＝AB，∴∠BFE＝90°．又∵∠E＝30°，BF＝1，∴BE＝2BF＝2．在Rt△AEC中，BE＝BC，∴AB＝BE＝2，∴OF＝2．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2和x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．（1）根据上述定义，一元二次方程x2+2x﹣8＝0不是（填“是”或“不是”）“倍根方程”；（2）若点（p，q）在双曲线y＝上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；（3）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．【分析】（1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论；（2）方程px2+3x+q＝0化为方程px2+3x+＝0，解方程求得方程的根，根据倍根方程的定义即可求出答案．（3）根据定义可求出n＝4m或n＝m，代入原式后即可求出答案；【解答】解：（1）x2+2x﹣8＝0，（x﹣2）（x+4）＝0，解得x1＝2，x2＝﹣4，故一元二次方程x2+2x﹣8＝0不是“倍根方程”．（2）∵点（p，q）在双曲线y＝上，∴q＝，∴方程px2+3x+q＝0化为方程px2+3x+＝0，（px+1）（px+2）＝0，解得x1＝﹣，x2＝﹣，∴方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”．（3）由（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝2和x＝，∴＝4或＝1，当n＝4m时，原式＝＝，当n＝m时，原式＝＝1．故代数式的值为或1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义，本题属于中等题型．19．【综合实践】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图，即FA×L1＝FB×L2），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L1＝1m，距右端L2＝0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为200N．（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L2的长度随之变化．设重物B的质量为xN，L2的长度为ycm．则：①y关于x的函数解析式是．②完成下表：x/N…1020304050…y/cm…8a2b…a＝4，b＝．③在直角坐标系中画出该函数的图象．（3）在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为（2，0），在L上存在点Q，使得S△OAQ＝9．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．【分析】（1）根据公式FA×L1＝FB×L2进行计算即可；（2）①根据公式FA×L1＝FB×L2即可得到；②根据（2）①所求求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可；（3）先根据面积求出点Q的纵坐标，再根据反比例函数性质和平移的性质求出点Q的坐标即可．【解答】解：（1）∵FA×L1＝FB×L2，∴，∴重物B所受拉力为200N，故答案为：200；（2）①∵FA×L1＝FB×L2，∴，即，故答案为