北师大版七年级上册数学全册教案教学设计及教学反思

北师大版七年级上册数学全册教案教学设计及教学反思第一章丰富的图形世界1生活中的立体图形第1课时认识生活中的立体图形教学目标课题第1课时认识生活中的立体图形授课人素养目标1.经历从现实世界中抽象出图形的过程，感受图形世界的丰富多彩。2.在具体情境中认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们的某些特征。3.会指出一个棱柱的棱、侧棱、顶点、侧面、底面。4.能按照几何体的特征进行分类。教学重点直观认识规则的立体图形。教学难点正确识别立体图形，能对它们进行分类。教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图直观引入，学生通过观察图片体会数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。【情境引入】我们生活在多姿多彩的图形世界中，许多美丽的图形装点着我们的生活，下面让我们一起来欣赏。大家在欣赏图片的同时，不妨用数学的眼光进行观察，看看它们都形似哪些我们已经学习过的几何体。今天我们将学习生活中的立体图形。【教学建议】教师可让学生以日常生活中的物品为例，列举出相应物品与对应的几何体，提高学生对立体图形的认识和辨析能力。活动二：问题引入，自主探究设计意图承接小学阶段所学的几何知识，联系生活中的物体，利用熟悉的知识和场景，降低学生的畏难情绪。探究点1常见的几何体及其分类问题1观察教材P2图1-1，在小颖的书房中，哪些物体的形状与我们已经学过的几何体类似？书架上的魔方与正方体类似；书架上的文件夹，书桌上的书与长方体类似；书架上的帽子与圆锥类似；书桌上的水杯与圆柱类似。问题2请找出小颖的书房中与笔筒形状类似的物体。与笔筒形状类似的物体有：书架上的笔筒、书桌上的三棱柱等。小颖的书房中与笔筒形状类似的几何体称为棱柱。问题3下图中是一些常见的几何体，请将它们进行分类，并说明分类的标准。按柱体、锥体、球进行分类：②③⑤⑥是柱体，④是锥体，①是球。（根据分类标注不同，答案不唯一）【教学建议】学生在回答时，可能会提到其他答案，教师对于合理的答案应予以肯定和鼓励，对于不合理的答案应帮助学生明确相应几何体的概念并找出两者之间的差异。对于几何体的分类，方法并不唯一，分类时要说明分类的标准。按某一标准分类时，要做到不重不漏。教学步骤师生活动【对应训练】1.与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是（B）A.圆柱、圆锥、正方体、长方体B.圆柱、球、正方体、长方体C.棱柱、球、正方体、棱柱D.棱柱、圆锥、棱柱、长方体2.教材P4随堂练习第1题。3.教材P6习题1.1第4题。设计意图旨在让学生结合图形认识棱柱的顶点、侧棱、侧面和底面，并用语言描述它们的特点，最终通过对特殊图形的辨认进一步认识棱柱。探究点2棱柱的特征问题1下图中指出了六棱柱的顶点、侧棱、侧面和底面，请你指出图中其他棱柱的顶点、侧棱、侧面和底面。概念引入：在棱柱中，相邻两个面的交线叫作棱，相邻两个侧面的交线叫作侧棱。问题2通过对上面几个棱柱的观察，小组内合作、交流，指出棱柱的侧棱、侧面和底面分别有什么特点？棱柱的所有侧棱长都相等，上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形。问题3图中三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱的底面分别是什么图形？据此你认为棱柱是怎么命名的？分别是三角形、四边形、五边形、六边形。命名规则：棱柱是按底面图形的边数来命名的。问题4棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱（如图），观察这两种棱柱，它们有什么区别？【教学建议】在教学过程中，可准备类似的实物让学生观察、触摸，熟悉棱柱的构成，进而讨论棱柱的特点，在此基础上再归纳、描述棱柱的特征。教学步骤师生活动直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是一般的平行四边形。本书今后主要讨论直棱柱（简称棱柱）。问题5小组内讨论，总结出棱柱与圆柱的相同点与不同点。【对应训练】1.教材P4随堂练习第2题。2.教材P6习题1.1第1题。【教学建议】对于棱柱和圆柱的不同点，能够找出底面和侧面的区别即可，对于顶点数及棱数的区别则不做要求。活动三：重点突破，提升探究设计意图进一步要求学生在具体情境中认识图形，学会从组合图形中分离出基本几何体。例下面物体可以近似地看成由一些常见几何体组合而成，你能找出其中常见的几何体吗？你还能举出其他组合几何体的例子吗？解：图（1）中有圆锥、圆柱；图（2）中有棱锥、棱柱；图（3）中有圆柱、球。【对应训练】教材P7习题1.1第6题。【教学建议】学生的回答可能不完全相同，教学时要鼓励学生相互交流，加深学生对有关几何体的认识。教学中给出的图形不要太复杂，建议组合图形中基本几何体不要超过两个。活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】“随堂小练”册子相应课时随堂训练。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.生活中有哪些你熟悉的几何体？它们分别有什么特点？请举例说明。2.常见的几何体有哪些分类方式？3.棱柱具有哪些特征？请简单说说棱柱与圆柱的异同点。【知识结构】教学步骤师生活动【作业布置】1.教材P6～7习题1.1第2，5，9题。2.本部分相应课时训练。板书设计1生活中的立体图形第1课时认识生活中的立体图形1.常见的几何体：棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球等。2.几何体的分类：通常按柱体、锥体、球的方式进行分类。3.棱柱的特征：①顶点，②侧棱，③侧面，④底面。4.棱柱与圆柱的异同：①相同点；②不同点。5.生活中常见组合图形的几何体构成。教学反思本节课以生活中的物体作为切入点，让学生直观地感受到常见的几何体，激发学生的学习兴趣，对点、线、面、体的知识有了初步的认识。在教学中应强化学生对基本几何体的认识，鼓励学生用自己的语言说出对某个几何体的理解和领悟，条件允许的情况下，可以让学生从一堆立体模型中闭眼摸出某种几何体，通过自主、合作、探究学习，更加深刻的感悟几何体的特征，激发学生的联想与再创造能力。解题大招常见几何体的识别及其分类对于常见的几何体，要牢记它们的基本特征，当遇到相应的几何体时，即可通过观察图形的基本特征来与所学几何体进行对应。对于几何体的分类，通常分以下三种分类方法：在几何体的分类中，一般不会给出几何体的名称，需要先观察几何体，识别后再分类。因此能够观察发现立体图形的基本特征和掌握常见几何体的基本特征是解决此类问题的关键。当所给立体图形中出现非常规几何体（如圆台等）时，可考虑选用方法②③进行分类。常见几何体的图例与特征：例如图所示的物体，它们类似于哪些几何体？小明想把这些物体分类摆放，请你帮助小明设计合理的摆放方案。解：①类似于长方体；②类似于圆锥；③类似于圆柱；④类似于球；⑤类似于棱柱；⑥类似于棱锥。方案一：按柱体、锥体、球分类：①③⑤是柱体；②⑥是锥体；④是球。方案二：按围成几何体的面的类型分类：②③④有曲的面；①⑤⑥无曲的面。方案三：按有无顶点分类：①②⑤⑥有顶点，③④无顶点。（上述方案任选一个即可）培优点立体图形中点、线、面的数量关系与欧拉公式例（1）观察下列图形，探究棱柱中各元素之间的数量关系：棱柱三棱柱四棱柱五棱柱…n棱柱图示…底面形状三角形四边形五边形…n边形侧棱数345…n棱数91215…3n侧面数345…n面数567…n+2顶点数6810…2n（2）请参考问题（1）中的表格，把下面关于棱锥中各元素之间的数量关系的表格补充完整。棱锥三棱锥四棱锥五棱锥…n棱锥底面形状三角形四边形五边形…n边形棱数6810…2n面数456…n+1顶点数456…n+1（3）在数学中，由若干个多边形所围成的几何体叫作多面体。数学家欧拉通过对多面体的研究，总结出任一多面体的顶点数、棱数和面数之间存在一定的数量关系，请你结合（1）（2），直接写出这个数量关系：顶点数+面数-棱数=2。第2课时立体图形的构成教学目标课题第2课时立体图形的构成授课人素养目标1.通过丰富的实例，进一步认识点、线、面、体，初步感受点、线、面、体之间的关系。2.进一步经历从现实世界中抽象出图形的过程，从构成图形的基本元素的角度认识常见几何体的特征。3.在对图形进行观察、操作等活动中，积累处理图形的经验，发展空间观念。教学重点体会点、线、面、体之间的关系。教学难点结合“面动成体”，由立体图形想象出通过旋转得到它的相应的平面图形。教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图通过生活中的实例，引导学生探究构成图形的基本元素及其关系。【情境引入】在小学阶段，我们就已经知道图形是由点、线、面构成的，其中面与面相交得到线，线与线相交得到点。观察下面的图形，回答问题：（1）从这些图形中，你能否找到其中的点、线、面？（2）是不是所有的图形都是由点、线、面构成的？（3）在你所找到的线中，可分为哪几种？（4）在你所找到的面中，又可分为哪几种？本节课，我们将通过点、线、面的角度，对之前所学过的几何体进行探究。【教学建议】引导学生观察图形，初步体会点、线、面之间的关系，要避免抽象地对点、线、面进行描述或定义。活动二：问题引入，自主探究设计意图结合六棱柱和圆柱，让学生直观地感受点、线、面、体之间的关系。探究点1图形的构成元素观察如图所示的六棱柱和圆柱，回答下列问题：（1）六棱柱是由几个面围成的？圆柱是由几个面围成的？它们都是平的吗？（2）圆柱的侧面和底面相交得到几条线？它们是直的还是曲的？（3）六棱柱有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？（1）六棱柱由8个面围成，它们都是平的；圆柱由3个面围成，其中上、下底面是平的，侧面是曲的。（2）圆柱的侧面和底面相交得到2条线，它们都是曲的。（3）六棱柱有12个顶点，经过每个顶点有3条棱。【教学建议】鼓励学生在已有知识的基础上，通过自己的主动思考，体会点、线、面、体是构成图形的基本元素，从构成图形基本元素的角度进一步认识常见几何体的某些基本特征。教学步骤师生活动【对应训练】教材P6习题1.1第3题。设计意图通过生活中的实例，从动态角度探究点、线、面、体之间的关系。探究点2点、线、面、体的相互关系观察图中流星、汽车雨刮器和直角三角形的运动轨迹，从动态的角度分析，你发现了什么？你还能举出生活中类似的例子吗？与同伴进行交流。将图中的流星看作一点，由它的运动轨迹可以得到一条线。将汽车雨刮器与玻璃接触的部分看作一条线，由它的运动轨迹可以得到一个面。将直角三角形看作一个面，由它的运动轨迹可以得到一个圆锥。生活中类似的例子还有：①铅笔在纸上画出线条；②时钟的指针绕一点旋转一周形成圆面；③酒店的旋转门活动空间设计成圆柱状等。教师总结：点动成线，线动成面，面动成体。【对应训练】1.车轮上的辐条旋转起来形成一个圆面，用数学知识解释为（B）A.点动成线B.线动成面C.面动成体D.以上都不对2.朱自清的散文《春》中，描写春雨“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成细丝说明了点动成线；硬币在桌面上快速旋转时，看上去像球，用数学知识解释为面动成体。【教学建议】鼓励学生通过自己的观察，认识“点动成线”“线动成面”“面动成体”的事实。教学时，可通过多媒体设备对部分现象进行演示，鼓励学生提出更多的实例，充分交流，加深对基本元素的认识。活动三：重点突破，提升探究设计意图学生通过逆向思考，探究形成旋转体的平面图形，发展几何观念，培养空间想象能力。例（1）圆柱可以看成由哪个平面图形旋转得到？圆锥呢？球呢？（2）图中各个花瓶的表面可以大致看成由哪个平面图形绕虚线旋转一周得到？用线连一连。解：（1）圆柱可以看成由长方形旋转得到，圆锥可以看成由直角三角形（或等腰三角形）旋转得到，球可以看成由半圆（或圆）旋转得到。【教学建议】问题（1）中对于圆柱、圆锥和球的形成，不要局限于绕一边旋转，要发散学生的思维，部分图形绕中心线旋转也能得到相应几何体，可利用多媒体演示相应的过程。问题（2）可通过对比花瓶实物图与所给平面图形的细节来确定对应关系。教学步骤师生活动（2）连线如图所示。【对应训练】教材P5随堂练习第1题。活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见“随堂小练”册子相应课时随堂训练。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.图形由哪些基本的元素构成？它们之间有什么联系？请举例说明。2.常见的几何体可以看成由哪些平面图形旋转得到？请举例说明。【知识结构】【作业布置】1.教材P6～7习题1.1第2，5，9题。2.相应课时训练。板书设计第2课时立体图形的构成1.构成图形的基本元素：点、线、面。2.点、线、面、体的相互关系：（1）体由面围成，面与面相交得到线，线与线相交得到点；（静态角度）（2）点动成线、线动成面、面动成体。（动态角度）教学反思立体图形是更好地认识、描述并交流生活空间的工具。本节课在前面的基础上，进一步学习图形的构成，通过生活实例感悟点、线、面、体之间的关系，并结合旋转体的形成过程培养学生的几何观念和空间想象能力。立体图形在生活中随处可见，教师在教学中要联系生活中的实物或图片，激发学生兴趣，丰富学生对立体图形的认识。解题大招判断旋转体与其对应的平面图形对于旋转体与其对应的平面图形，我们通常可以通过两种方法来判断：①根据对应线段与旋转轴的位置关系来判断。若线段与旋转轴平行，则该线段旋转一周后形成一个圆柱的侧面；若线段与旋转轴垂直，则该线段旋转一周后形成一个圆形的平面；若线段与旋转轴相交且不垂直，则该线段旋转一周后形成一个圆锥的侧面。②补全图形进行判断。作出平面图形关于旋转轴的对称图形，两者合在一起构成了对应立体图形（旋转体）的纵截面，再与所给几何体进行对比即可确认相应的旋转体。例如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（D）【解析】观察平面图形中三条线段与旋转轴的位置关系，可以知道所得旋转体从上到下依次由圆形平面、圆柱的侧面和圆锥的侧面围成，选项中只有选项D中立体图形满足相应关系和条件。故选D。培优点与旋转体有关的计算一个平面图形绕一条直线进行旋转时，旋转轴或旋转角度不同，所得到的几何体也不一定相同。与此同时，往往也伴随着相关表面积或体积的计算。例我们曾学过圆柱的体积计算公式V=Sh=πR2h（R是圆柱底面的半径，h是圆柱的高），现有一个长方形，长为2cm，宽为1cm，以它的一边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是多少？解：分以下两种情况讨论：①当以长方形的宽所在的直线为轴旋转时，如图①，得到的圆柱的底面半径为2cm，高为1cm。所以，其体积是V1=π×22×1=4π（cm3）。②当以长方形的长所在的直线为轴旋转时，如图②，得到的圆柱的底面半径为1cm，高为2cm。所以，其体积是V2=π×12×2=2π（cm3）。所以，得到的几何体的体积是4πcm3或2πcm3。2从立体图形到平面图形第1课时正方体的展开与折叠教学目标课题第1课时正方体的展开与折叠授课人素养目标1.通过充分的实践，使学生能将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形。2.通过展开与折叠的实践操作，经历和体验图形的转换过程，初步建立空间概念，发展几何直觉，积累数学活动经验。3.通过展开图判断正方体六个面的相对位置，发展空间观念及表达能力。教学重点通过操作活动，体会立体图形到平面图形的展开过程，发展学生的空间观念。教学难点由给出的平面图形想象出相应的立体图形，并用语言描述其中的展开与折叠过程。教学活动教学步骤师生活动活动一：回顾旧知，新课导入设计意图串联小学学过的知识，激发学生进一步探究的兴趣。【回顾引入】在生活中，我们经常见到正方体形状的盒子。你知道这些正方体形状的盒子是怎样制作的吗？你能不能制作一个？要制作这些盒子，就会涉及到小学时初步接触过的正方体的展开图，图④就是一个正方体的展开图，那么正方体是否还有其他形状的展开图呢？本节课我们将进一步探究，对正方体进行展开与折叠！【教学建议】只需要学生列举出其他形状的展开图，得出正方体的展开图不止一种即可，对列举出的展开图的正确性不做要求。活动二：动手操作，探究新知设计意图由学生动手实践操作，在操作中思考，深化对正方体展开图的认识。探究点1正方体的展开图学生分组操作，将事先准备好的正方体纸盒沿某些棱剪开，得到正方体的表面展开图（要求展开后所成的小正方形彼此相连）。问题1大家都得到了哪些形状的展开图呢？【教学建议】在指导学生动手操作的过程中，要有意识地渗透理性思考，提高学生的认识能力，并鼓励学生通过实际操作来验证自己的想法，描述具体操作过程，以发展空间观念和语言表达能力。对于正方体的11种展开图，不要求在操作中能够全部列举出来，教师简单介绍让学生了解即可，不要求背诵记忆。教学步骤师生活动问题2得到一个正方体的展开图需要剪开几条棱？请结合展开图说明理由。由正方体到展开图，需要剪开7条棱。结合展开图可以发现，在展开图中，还有5条棱没有剪开，而正方体一共有12条棱，所以需要剪开7条棱。问题3你能得到下面的展开图么？如果能，应如何操作？操作方法如图所示，沿标色的棱剪开即可。（图①对应左图，图②对应右图）问题4下面的图形经过折叠能否围成一个正方体？你是如何判断的？左图能，右图不能。右图中有四个小正方形组成“田”字，无法进行折叠。【对应训练】教材P9随堂练习第1，2题。【教学建议】对于问题4，一定要让学生先思考如何折叠可以得到正方体，对于有困难的学生可以复制图形尝试进行实际操作，避免通过机械式记忆展开图的形状来回答问题。设计意图让学生大胆想象，并动手操作验证，培养学生动脑猜想、动手操作的良好习惯和空间观念。探究点2正方体展开图中面的对应关系问题右面的图形经过折叠可以围成一个正方体形的盒子。折好以后，与“1”面相邻的面是什么？相对的面是什么？先想一想，再折一折，看看你的想法是否正确。与“1”面相邻的面是“2”面、“4”面、“5”面和“6”面；与“1”面相对的面是“3”面。教师总结：相对的两个面不相连，上下隔一行或左右隔一列。【对应训练】如图是正方体的展开图，将它折叠成正方体后“龙”字的对面是（C）A.学B.业C.进D.步【教学建议】鼓励学生先通过思考和想象，判断出结果，再通过实际操作验证。活动三：重点突破，提升探究设计意图加深对所学知识的理解和运用。例如图是一个正方体形的纸盒，它的三个面上分别画有不同的图案，另外三个面没有图案，则它的展开图可以是（C）【教学建议】本题亦可由图示中三个图案所在的面相邻得到三个图案不可能在相对的面上，从教学步骤师生活动【解析】将四个选项中的展开图折叠成正方体可以发现：A，B两项中的三个图案均不在相邻的三个面上，C，D两项中的三个图案均在相邻的三个面上，其中C项中的展开图能够折成图示的样子，D项中的展开图中“”与“”的位置与图示中相反。故答案为C。【对应训练】一个正方体的展开图如图所示，经过折叠后可围成的图形是（D）而排除A，B两项，再由三个图案的位置关系排除D项。注意提醒学生展开图展示的都是外表面，避免产生错误认知。活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】“随堂小练”册子相应课时随堂训练。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.请列举正方体常见的展开图。2.如何判断所给图形能否围成正方体？3.如何由正方体的展开图判断正方体中相邻的面和相对的面？【知识结构】【作业布置】1.教材P15～17习题1.2第4，8，11，13题。2.相应课时训练。板书设计2从立体图形到平面图形第1课时正方体的展开与折叠1.将正方体展开成平面图形。2.将正方体的展开图折叠成正方体。3.正方体展开图中面的对应关系。教学反思本节课为开放式教学，注重学生动手实践，让学生在实际操作的过程中体验探索，经历“立体-平面-立体”的转换过程。先通过任意剪开正方体得到多种不同的展开图，让学生思考原因，再要求剪出指定的展开图，让学生有意识的去想象并通过实践进行验证，有助于发展空间观念，提升空间想象能力。同时在教学中，要鼓励学生以实践者的身份自主活动，动手操作，学会思考，实现知识思考和实践行动的相互促进。解题大招一判断正方体的展开图下面几种类型的图形不是正方体的展开图（即不能折成正方体）：①一线连五六，即五个或六个正方形连成一条直线。②所给图形中的小正方形构成“7”“凹”“田”字。③特殊的组合形式：“二四”型和“一二三”型。例1如图，在正方形网格中选择一块小正方形与阴影部分构成完整的正方体展开图，共有4种选择方式。【解析】阴影部分共有5个小正方形，若要构成正方体的展开图，则需要在白色小正方形中选择，并且选择的小正方形与阴影部分要有一条边相连。共有如图10个小正方形可供选择，其中①②③⑧可与阴影部分构成正方体的展开图。故答案为4。解题大招二在展开图上寻找相对的面正方体上相对的面在展开图上表现为以下两种情况：①间隔型：当展开图上有三个面相连时，间隔面是相对面；②“Z”字型：“Z”字的两端是相对面。例2如图是一个正方体的表面展开图，将展开图折叠成正方体后，相对面上两个数字之和为5，则x+y=4。【解析】观察图形可知，2与x所在的面是相对面，4与y所在的面是相对面。因为相对面上两个数字之和为5，所以x=3，y=1，所以x+y=4。故答案为4。培优点确定看不到的面上的数字或字母正方体的6个面满足以下两条规律：①以某一个面为中心面，则有1个面与其相对，4个面与其相邻，且相邻的4个面中两两相对；②相对的两个面必相邻于同一个面。例如图，一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，根据图中从各个方向看到的数字，解答下面的问题：（1）分组写出正方体中相对面上的两个数字；（2）图③中“？”处的数字是6。思路分析：（1）（2）根据相对面的位置关系可以确认“？”处的数字为1或6，再结合图①中数字1，2，3的位置关系即可确认图③中背面上标有数字“1”，故“？”处的数字为“6”。解：（1）数字1与6相对，2与5相对，3与4相对。第2课时棱柱、圆柱、圆锥的展开与折叠教学目标课题第2课时棱柱、圆柱、圆锥的展开与折叠授课人素养目标1.经历展开与折叠、模型制作等活动，发展空间观念，积累数学活动经验。2.在操作活动中，进一步丰富对棱柱、圆锥、圆柱的认识。3.了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作简单的立体模型。教学重点通过展开与折叠活动，了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图。教学难点能根据展开图判断和制作简单的立体图形。教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图引发学生思考，明确本课时的学习目的。【情境引入】同学们，上节课我们将正方体的表面沿某些棱剪开，得到了它的展开图。下图是几种比较常见的棱柱，你能想象出它们的展开图吗？和正方体一样，棱柱的展开图也不止一种。这些棱柱是如何展开的？怎样将对应的展开图折叠成棱柱？今天我们将带着这些问题，进入本课时的学习。【教学建议】正方体是特殊的四棱柱，教师可带领学生回忆上节课正方体的剪开方式和展开图，对棱柱的展开图进行联想。活动二：问题引入，自主探究设计意图让学生经历棱柱展开与折叠的互逆过程，加深对棱柱的认识，进一步发展空间观念。探究点1棱柱的展开与折叠将“活动一”中的棱柱沿某些棱剪开，你能得到哪些形状的展开图？与同学进行交流。这些棱柱常见的展开图如下：问题1结合棱柱的特征，观察上面棱柱的展开图，分小组讨论，它们具有哪些特征？棱柱展开后具有下列特征：①一定有两个形状、大小相同的多边形（即底面），且剩下的图形都是长方形，长方形的个数与多边形的边数相等；②棱柱的侧面展开后是一个长方形，两个底面分别在侧面展开图的两侧。问题2下图中哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？先想一想，再折一折。【教学建议】和正方体一样，棱柱的展开图也是不唯一的，教学时给出常见的展开图即可，对于学生举出的其他正确的展开图，应予以肯定。“先想一想”是对学生空间想象能力的更高要求，在教学中，也不能忽视折一折的作用，它可以作为验证想象或辅助发现结论的方法，“想象-操作验证-思维改进”的相互促进有助于空间观念的培养。教学步骤师生活动图②和图④可以围成一个棱柱。问题3对于不能围成棱柱的图形，如何修改才能使所得图形围成一个棱柱？图①可以将两边的小正方形都改为正三角形，或者在上下位置增加一个相同的长方形。图③可以将左边的一个小正方形移到右边。教师总结：【对应训练】教材P11随堂练习第2题。【教学建议】问题3的修改方法可能不止一种，教学时要发散学生思维，打破常规思路。设计意图探究圆柱与圆锥的侧面展开图，进一步了解圆柱和圆锥的基本特征，加深对它们的认识。探究点2圆柱、圆锥的展开与折叠按照如图所示的方法把无底面的圆柱、圆锥的侧面展开，会得到什么图形？先想一想，再做一做。得到的图形与你的想法一致么？如图，圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形。【教学建议】鼓励学生通过自己的观察，认识“点动成线”“线动成面”“面动成体”的事实。教学时，可通过多媒体设备对部分现象进行演示，鼓励学生提出更多的实例，充分交流，加深对基本元素的认识。教学步骤师生活动问题对比棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，它们各有什么区别？棱柱的侧面展开图是一个长方形，由多个有一边相等的小长方形连在一起构成。（由多个面组成）圆柱的侧面展开图是一个长方形。（只有一个面）圆锥的侧面展开图是一个扇形。（只有一个面）教师总结：【对应训练】下列图形中，可能是如图所示的圆锥的侧面展开图的是（D）【教学建议】教师可事先在准备好的无底的圆柱和圆锥纸质模型上画好剪口线，让学生沿剪口线将模型剪开，以避免操作失误。在教学过程中，若学生不知道扇形，也可直观地给出名称。活动三：重点突破，提升探究设计意图综合常见几何体的展开图，加强学生分析和解决问题的能力。例如图所示为某些几何体的展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（D）A.正方体，圆锥，圆柱，三棱锥B.正方体，圆锥，圆柱，四棱锥C.正方体，圆锥，圆柱，四棱柱D.正方体，圆锥，圆柱，三棱柱【对应训练】1.教材P11随堂练习第1题。2.教材P15习题1.2第1题。【教学建议】经过前面几个课时的学习，学生已经具备了一定的空间想象能力，此时需要将前后的知识进行串联，让学生能够灵活运用，相互印证，加深理解。活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】随堂小练册子相应课时随堂训练。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.以三棱柱和四棱柱为例，画出它们常见的展开图。2.圆柱和圆锥的侧面展开图分别是什么图形？3.如何判断一个图形经过折叠能否围成指定的几何体？教学步骤师生活动【知识结构】【作业布置】1.教材P15～17习题1.2第5，12题。2.相应课时训练。板书设计第2课时棱柱、圆柱、圆锥的展开与折叠1.棱柱的展开图。2.圆柱的侧面展开图。3.圆锥的侧面展开图。教学反思本节课内容对学生空间观念要求比较高，有较强的自我发展意识和挑战意识，部分学生会感到很困难。在教学过程中，要充分地相信学生，释放学生思维。让学生自己动手实践，能够更加形象地了解立体图形与平面图形的关系，深刻地掌握立体图形的特征。同时，让学生合作交流、探讨，培养学生团队合作精神。解题大招常见几何体的展开与折叠熟悉相关几何体及其展开图的特征是解决此类问题的关键。下面给出一些辅助判断的小技巧：①棱柱的展开图由2个多边形和3个及以上的长方形组成（多边形边数等于长方形个数）；②圆柱的展开图由3个图形组成，分别为1个长方形和两个圆；③圆锥的展开图由2个图形组成，分别为扇形和圆；④棱锥的展开图由1个多边形和3个及以上的三角形组成（多边形边数等于三角形个数）；⑤图形在折叠过程中，面与面之间不能重叠。例1如图，把相应的立体图形与它的展开图用线连起来。例2下列图形中，经过折叠能围成棱柱的是（B）【解析】A选项中的三个长方形无法围在一起，无法围成棱柱；B选项折叠后能围成三棱柱；C选项折叠后围成的是四棱锥，不符合题意；D选项底面的边数与长方形的个数不相等，无法围成棱柱。故选B。培优点几何体展开与折叠的有关计算首先将展开图折叠成立体图形，然后根据展开图中的相关数据，确定几何体的长、宽、高、半径等，最后根据几何体的体积公式、面积公式求解。例如图是一个长方体包装盒的展开图及其相关数据（图中阴影部分为内部粘贴角料）：（1）将其折叠成长方体后的体积是384cm3；（2）若内部粘贴角料的面积占长方体包装盒表面积的，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方厘米？第3课时截一个几何体教学目标课题第3课时截一个几何体授课人素养目标1.经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中丰富几何直觉和数学活动经验，发展空间观念。2.通过截一个几何体的活动，认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱等几何体截面的一些特性。教学重点通过截一个几何体的活动，让学生在实际操作、自主探究、合作交流的过程中，体会截面与几何体的关系。教学难点从切截活动中发现方法，并能用自己的语言表述归纳；想象从不同角度切截同一个几何体所得截面的不同形状。教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图联系生活情境，让学生初步体会截面的意义，激发学生的求知欲。【情境引入】在生活中我们常常需要将一个物体截开，如切西瓜、锯木头、切杨桃等。将西瓜切开，有时候会得到扇形，有时候会得到圆形……将木头锯开，有时候会得到圆形，有时候会得到长方形……切开杨桃，可以得到五角星。截开的方式不同，得到的图形也可能会不同。如果我们把之前所学的几何体截开，又会得到什么样的图形呢？下面我们将进入本节课的学习。【教学建议】教学中可借助实物模型或多媒体技术进行演示，但不必对截面概念下严格的定义。活动二：问题引入，自主探究设计意图通过动手操作，培养学生的动手操作能力，并提升他们的空间想象能力。探究点1正方体的截面概念引入：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面。如图，用一个平面去截一个正方体，截面是什么形状？问题1截面的形状可能是三角形吗？先想一想，再试一试。可能是三角形，如图①。问题2截面的形状还可能是几边形？还可能是五边形和六边形，如图②和图③。【教学建议】在教学中可先向学生说明如何截，再让学生充分想象，然后让学生实际截或演示给学生看。由想象的结果与实际的结果之间的差异，进一步激发学生的思维。教学步骤师生活动问题3用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是七边形吗？你能否说明其中的道理？不能。因为正方体只有6个面，用平面去截一个正方体，在每个面上最多只能截出一条边，故最多只能截出6条边，所以不可能构成七边形。【对应训练】教材P12随堂练习第1题第（1）小题。【教学建议】对于问题3，可先引导学生对比之前得到的截面图，结合“面与面相交得到线”发现平面所经过正方体的面数与截面边数的关系，然后再进一步联想推理。设计意图先通过教材图示直接判断，结合已有的活动经验，再发散思维，猜想其他可能得到的截面形状。探究点2其他几何体的截面下图中的截面分别是什么形状？问题改变平面的角度和方向，继续截上面的几何体，能否得到其他形状的截面？先想一想，再试一试。圆柱：还可以截得圆、椭圆和其他不规则图形（残缺的椭圆）。棱柱：还可以截得三角形、四边形等多边形（多边形的边数最高为棱柱的面数）。圆锥：还可以截得圆、椭圆和其他不规则图形。球：无法截得圆以外的图形。【对应训练】教材P12随堂练习第1题第（2）小题。【教学建议】学生前面已经经历过确定正方体截面形状活动的过程，此时应结合活动经验和总结出的规律，以猜想为主，实践验证为辅，实现空间观念的进一步拓展。活动三：重点突破，提升探究设计意图发展学生逆向思维，通过已掌握的常见几何体的特征结合截面来判断可能的几何体的形状。例用一个平面去截一个几何体，可能得到的截面（部分）的形状如图所示，则原来的几何体可能是圆柱。分析：由截面①③④可以推断该几何体有曲的面，可能是圆柱或圆锥；由截面②可以推断该几何体不可能是圆锥。故原来的几何体可能是圆柱。【对应训练】1.教材P13随堂练习第2题。2.用一个平面去截一个几何体，能够截得长方形、三角形、梯形三种形状的截面，则原来的几何体可能是下面的（D）【教学建议】教学中可通过前面探究截面时的板书，让学生对应联想确认原来的几何体的形状。此类问题是逆向思维的运用，掌握常见几何体的基本特征，了解其截面的特性，有助于快速得出答案。教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见“随堂小练”册子相应课时随堂训练。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是截面？2.用一个平面去截一个正方体，截面的形状会是什么图形？3.用一个平面去截常见的几何体，截面的形状会是什么图形？【知识结构】【作业布置】1.教材P15～16习题1.2第2，6，7题。2.相应课时训练。板书设计教学反思经历之前课时的学习，学生已经具备了一定的空间观念，在此基础上，让学生经历用平面去截一个几何体的活动过程，体会截面形状的变化，化抽象为形象，在体与面的转化过程中进一步丰富学生的数学活动经历，进一步发展空间观念。同时通过课后阅读材料让学生了解CT技术、3D打印技术等前沿科技中截面的应用，将复杂技术用简单的道理讲清楚，进一步激发学生的学习热情。解题大招常见几何体与其截面形状用一个平面去截一个几何体，截面的形状既与被截几何体有关，又与截面的角度和方向有关，熟悉常见几何体的截面形状是解决此类问题的关键。常见截面形状与所对应几何体如下表（此处不讨论棱锥）：截面形状圆长（正）方形等腰三角形不规则多边形可能截出该形状的几何体圆柱、圆锥、球等棱柱、圆柱等棱柱、圆锥等棱柱等由上表我们还可以总结出一些一般性规律，比如：①圆柱截出的多边形必定是长（正）方形，圆锥截出的多边形必定是等腰三角形，棱柱截出的多边形的形状不固定；②球和圆锥可以截出大小不一的圆，圆柱截出的圆大小相同；③若截面中含有曲线，则对应几何体必定含有曲的面。例1用一个平面去截如图所示的圆柱，截面不可能是（B）例2有一个外观为圆柱形的物体，它的内部构造从外部看不到。当分别用一组平面沿水平方向（自上而下）和竖直方向（从左到右）截这个物体时，得到了如图所示的①②两组形状不同的截面，则这个物体的内部构造是（C）A.空心圆柱B.空心圆锥C.空心球D.空心半球【解析】通过观察截面的形状可以发现：在圆柱内部的圆由上至下由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成点，从左往右由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成点，结合上述结论可得这个圆柱的内部构造为空心球。培优点判断被截后剩余几何体的顶点数、棱数、面数例如果用一个平面截去正方体的一个角（即切去一个三棱锥），那么剩下的几何体有几个顶点？几条棱？几个面？思路分析:解：正方体截去一个角后，剩下的几何体可能是如下4种情况：如图①，剩下的几何体有10个顶点，15条棱，7个面；如图②，剩下的几何体有9个顶点，14条棱，7个面；如图③，剩下的几何体有8个顶点，13条棱，7个面；如图④，剩下的几何体有7个顶点，12条棱，7个面。第4课时从三个方向看几何体的形状教学目标课题第4课时从三个方向看几何体的形状授课人素养目标1.经历从不同方向观察几何体的活动，体会从不同方向观察同一几何体可能看到不同的图形，发展空间观念。2.会画立方体及其简单组合体从三个方向看到的形状图，能根据形状图确认几何体的构成。3.能在与他人交流的过程中，合理清晰地表达自己的思考过程。教学重点学会从不同方向看几何体的方法，画出从不同方向看到的形状图。教学难点根据从不同方向看到的形状图描述几何体。教学活动教学步骤师生活动活动一：回顾旧知，新课导入设计意图串联小学所学知识，结合生活实际，发散学生思维，迅速进入新课。【回顾引入】在小学，我们曾经辨认过从正面、左面（或右面）和上面三个不同方向观察同一物体时看到的物体的形状图。例如，图①是由大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图②所示。生活中的物体、事情要从多角度看，从不同的角度仔细观察，才能发现事物的本质。这就是我们这节课将要学习的内容：从三个方向看几何体的形状。【教学建议】实际的引入过程中,可以让不同的学生对同一件事情发表自己的看法,并说明各自的理由,进而引入新课。活动二：问题引入，自主探究设计意图通过合作交流，培养学生的合作意识，进一步巩固如何画出几何体从不同方向看到的形状图。探究点1从不同方向看到的几何体的形状图问题用6个大小相同的小立方块搭一个几何体，你能搭出哪些类型？然后请同伴画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图。搭出的几何体有多种类型，以下仅列举部分。【对应训练】1.教材P15随堂练习第1题。2.教材P16习题1.2第3（1）题。【教学建议】应鼓励学生尽可能地搭出不同的几何体，再从不同方向看一看自己所搭成的几何体，并与同伴进行充分的交流。要鼓励学生用不同的方式进行交流，如语言描述、画图等。教学步骤师生活动设计意图结合从不同方向看到的形状图想象出几何体，并与搭成的几何体进行验证，确认两者之间的关系。探究点2由从不同方向看到的形状图描述几何体问题1一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，请搭出满足条件的几何体。你搭的几何体由几个小立方块搭成？搭出的几何体可以是下列三种情况中的一种，由5个或6个小立方块搭成。问题2用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图，请同伴根据你画的形状图搭出相应的几何体。与同伴进行交流。将几何体转化为从三个方向看到的形状图，再由三个方向看到的形状图转化为几何体，可能会出现两种情况：①以问题1中的几何体为例，根据形状图搭出的几何体与原几何体一致。②将①中的几何体稍作变化，以下面的这个几何体为例，则根据形状图搭出的几何体就会出现多种结果。（仅按构成几何体的小立方块的个数举例，未全部列出）【对应训练】教材P20复习题第8题。【教学建议】通过部分形状图，反向思考几何体的构成，使学生逐步脱离实物观察，进入真正的想象层面，提高空间想象能力。在教学过程中，让学生脱离实物，先尝试独立寻求解决方法，然后再交流，同时要重视利用操作帮助解决问题或验证所得结果。教学步骤师生活动活动三：重点突破，提升探究设计意图强化学生对空间想象能力的运用，由小立方块的个数想象几何体并画出对应的形状图。例一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数。请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图。思路分析：解：从正面和从左面看到的形状图如图所示。方法总结：解决此类问题要抓住从三个方向看物体的形状和特点，即从正面看到的列数与从上面看到的列数相同，从正面看到每列方块数是从上面看该列中的最大数字。【对应训练】教材P17习题1.2第9题。【教学建议】鼓励学生先根据给出的信息想象几何体的构成，再画出对应的形状图。对于空间想象能力薄弱的学生，可用小立方块搭成实物后验证，从正面和从左面看到的形状图的层数与对应所在列的小立方块的最大个数相符。活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】“随堂小练”册子相应课时随堂训练。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.给出一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，你能否画出从不同方向看到的形状图？2.给出一个几何体从两个或三个方向看到的形状图，你能够搭出这个几何体吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P15～17习题1.2第3（2）题。2.相应课时训练。板书设计第4课时从三个方向看几何体的形状1.从不同方向看几何体的形状。2.根据从不同方向看到的形状图确认几何体的构成。教学步骤师生活动教学反思本节课的内容是从三个方向看几何图的形状。在教学过程中，教师通过实物模型、演示多媒体课件，使学生直观、具体、形象地感知图形。引导学生从不同的角度观察几何体，画出对应的形状图，并从中发现几何体与形状图之间的数量关系。通过形状图确认几何体的构成，锻炼学生的逆向思维和空间想象能力。组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探索与合作交流的过程中真正理解和掌握本节课的内容。解题大招由不同方向看到的形状图判断几何体先由从上面看到的形状图确定第一层小立方块的位置及个数，再结合从正面和从左面看到的形状图，确定几何体的层数及每层小立方块所在的位置。例已知一个几何体从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体是（D）【解析】由从上面看到的形状图可知，该几何体第一层共有4个小立方块，左列从前向后共3个，右列在最后一行有1个。由从正面和从左面看到的形状图可知，该几何体共两层，第二层有1个小立方块，在左列的最后一行。对照四个选项可得到正确答案为D。（本题也可运用逆推法进行判断，通过观察选项中的立体图形，与条件中的形状图进行比较甄别，确定符合题意的一项，得出答案）培优点根据形状图确定小立方块的个数由从三个方向看到的形状图确定需要的小立方块的个数时，一般结合从正面和从左面看到的形状图，在从上面看到的形状图中标出每一个小正方形所在位置上可能摆放小立方块的数目（至少为1），再把这些数按照所给要求相加，从而计算出搭成几何体所需小立方块的个数（范围）。对于未给出从上面看到的形状图的情况，可以直接由从正面看到的形状图确认列数，从左面看到的形状图确认行数，从而得到从上面看到的形状图（此种情况需要考虑摆放的小立方块的数目可能为0）例根据如图所示的从三个不同方向观察几何体所得到的形状图，试确定几何体中小立方块的数目的范围。思路分析:解：根据题意，在从上面看到的形状图中的小正方形中标出可能摆放的小立方块的数目。构成几何体所需小立方块的数目最多的情况如图①所示，构成几何体所需小立方块的数目最少的情况如图②所示。所以最多需要11个小立方块，最少需要9个小立方块。【拓展】若例题未给出从上面看到的形状图，求小立方块的数目的范围。解：构成几何体所需小立方块的数目最多的情况如图①所示，构成几何体所需小立方块的数目最少的情况如图②所示。所以最多需要13个小立方块，最少需要7个小立方块。第二章有理数及其运算1认识有理数第1课时有理数教学目标课题第1课时有理数授课人素养目标1.在具体情境中，进一步认识负数，理解负数的意义。2.经历用正数和负数表示具有相反意义的量的过程，体会负数是实际生活的需要。3.会判断一个数是正数还是负数，能按一定的标准对有理数进行分类，理解有理数的意义。教学重点能理解正数、负数的概念，会判断一个数是正数还是负数。教学难点1.会用正数、负数表示具有相反意义的量。2.有理数的分类及其标准。教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图借助温度计，引导学生回顾小学学过的负数，为引入新知做准备。【情境引入】你能用小学学过的数，表示下面温度计所指示的温度吗？今天我们将进一步认识负数，理解正数、负数的意义。【教学建议】教师可让学生列举生活中的其他有关负数的实例，认识到学习负数相关知识的必要性。活动二：问题引入，自主探究设计意图借助比赛得分的情境，用正数、负数表示得分情况。探究点1用正数、负数表示具有相反意义的量问题1某班举行知识竞赛，评分标准是：答对1题加1分，答错1题扣1分，不回答得0分；每个参赛队的基本分均为0分。下表是用如图所示的表情表示的两个参赛队的答题情况。（1）你能用适当的方式表示每个队答题得分的情况吗？试完成下表：参赛队答对题的得分答错题的得分不回答题的得分第一队+6-30第二队+8-20学生根据自己的理解填写。【教学建议】问题1中第（1）个问题教师宜让学生各自根据评分标准的理解进行填写，答案可以多样，目的是要引出用负数表示的必要性。教学步骤师生活动设计意图通过对实例的分析，使学生认识到正数、负数可以用来表示现实生活中具有相反意义的量；通过“自定标准”让学生体会不同“基准”对表示结果的影响。（2）如果用“+1”表示答对1题的得分，用“-1”表示答错1题的得分，那么你如何填写（1）中的表？见上表。问题2下表是2023年1月1日四个城市的气温情况。你能说出表中各数的实际意义吗？城市北京昆明西安哈尔滨气温-7℃～5℃7℃～13℃-2℃～2℃-19℃～-14℃表中的负数表示零下，正数表示零上。问题3珠穆朗玛峰的海拔大约是8848.86m，吐鲁番盆地最低处的海拔大约是-154.31m。8848.86m，-154.31m的实际意义分别是什么？8848.86m表示高于海平面8848.86m，-154.31m表示低于海平面-154.31m。问题4观察教材P24图2-2，请你说说-0.5%，2.4%等数的实际意义，并与同伴进行交流。-0.5%表示下跌0.5%，2.4%表示上涨2.4%。通过上面的几个问题，我们发现：为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用“+”“-”来表示。像+3，+15，+2.4%，…都是正数，正数前面的“+”可以省略不写。像-2，-8，-0.5%，…都是负数。0既不是正数，也不是负数。追问你认为具有相反意义的量有哪些特点？成对出现，属性相同（同类量），意义相反。思考选定一个身体高度作为标准，用正负数和0表示你们班每名同学的身高与选定的身高标准的差。你是怎样表示的？从你的表示能看出谁最高吗?表示方法不唯一。如：以全班同学的平均身高为标准，超出的部分记作正数，不足的部分记作负数，其中最大的正数所对应的同学最高。【对应训练】1.下列不是具有相反意义的量的是（C）A.前进5m和后退7mB.收入30元和支出10元C.长高2cm和减重3kgD.超过5g和不足2g2.教材P25随堂练习第1题。【教学建议】教学时，可引导学生对表格中正数、负数的含义加以分析，使学生不只看到“负数”，还体会到用负数表示的量在具体问题中的实际意义。引入负数之后，“0”的意义就不仅仅表示“没有”了，它还是正数和负数的分界，是“基准”。【教学建议】教学中应鼓励学生根据不同的理由选定不同的标准，同时引导学生发现不同的标准会导致不同的表示结果，进一步体会0的意义和作用。教学步骤师生活动设计意图将数扩充到有理数范围后，通过分类及小数与分数之间的转化加深学生对有理数的理解。探究点2有理数的概念及分类问题1你能将所学的数进行分类吗？与同伴进行交流。概念引入：整数与分数统称有理数。问题25.2，-3.5这样的小数为什么被归类为分数？因为这些小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数。问题3和在数量上存在什么样的关系？由此你有什么发现？和相等。发现：无限循环小数也可以化为分数，因此无限循环小数也可以看成分数。【对应训练】教材P25随堂练习第2题。【教学建议】对于有理数的分类，学生可能会对分数与小数的关系有疑惑，教师可举例说明有限小数和无限循环小数都可以化为分数。无限循环小数转化为分数的具体方法需要理解方程的相关知识，本课时不做要求。活动三：重点突破，提升探究设计意图通过实例，让学生认识到“基准”，能在一定的背景下说明正数或负数表示的量的实际意义。例（教材P24例1）（1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？（2）在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g，那么-0.03g表示什么？（3）某大米包装袋上标注着“净含量：10kg±50g”，这里的“10kg±50g”表示什么？解：（1）沿顺时针方向转了12圈记作-12圈；（2）-0.03g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03g；（3）每袋大米的标准质量应为10kg，但实际每袋大米可能有50g的误差，即每袋大米的净含量最多是10kg+50g，最少是10kg-50g。【对应训练】教材P31习题2.1第2题。【教学建议】教师注意重点介绍，并不是所有的“基准”都必须为零。活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】“随堂小练”册子相应课时随堂训练。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.如何区分正数和负数？2.如何用正数和负数表示一对具有相反意义的量？3.什么是有理数？有理数有哪几种常见的分类方式？请举例说明。教学步骤师生活动【知识结构】【作业布置】1.教材P31～33习题2.1第1，3，4，9题。2.相应课时训练。板书设计1认识有理数第1课时有理数1.正数与负数。2.用正数和负数可以表示具有相反意义的量。3.有理数的概念及分类。教学反思本节课是有理数全章的第一节，为以后“数”的学习奠定基础。学生在日常生活中已经有用正数和负数表示量的经验，但是体会它们的意义却是首次。在教学过程中，可用贴近学生生活实际的问题情境作为导入，让学生在生活实际背景中学习和感受正数、负数的意义，学会用正数、负数表示具有相反意义的量。通过对负数的进一步认识，体会数系的扩张，进而归纳出有理数的概念，并对有理数分类。解题大招一用正数、负数表示具有相反意义的量当题目中已明确“一种意义”的量对应的是正数(负数)时，我们就可以判断“与之具有相反意义”的量所对应的是负数(正数)。如果没有明确哪种意义的量用正数表示，那么我们可以任选一种意义的量用正数表示，而另一种意义的量必须用负数表示。例1（1）在知识竞赛中，如果用-10分表示扣10分，那么加20分记作（C）A.+10分B.-10分C.+20分D.-20分（2）如果风车顺时针旋转66°记作+66°，那么逆时针旋转78°记作（A）A.-78°B.78°C.-12°D.12°（3）我国古代数学名著《九章算术》中对正数和负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.如：库管员把仓库运进30t粮食记作“+30t”，则“-30t”表示运出30t粮食。解题大招二有理数的分类除了教材中给出的分类方式，有理数还存在其他分类方式，如：拓展：（1）小数的分类：（2）名称范围非负数正数和0非正数负数和0非正整数负整数和0非负整数（也叫自然数）正整数和0例2A.1个B.2个C.3个D.4个（2）下列各数中，是正整数的是（A）A.3B.2.1C.0D.-2（3）下列有理数中，既是正数又是分数的是（D）A.-5.2B.0C.2D.培优点有理数概念的开放性题例在如图所示的方格中填入相应的数，使它符合下列语句的要求：5（1）5的正上方是一个负整数；（2）5的左上方是一个正分数；（3）一个既不是正数又不是负数的数在5的正下方；（4）5的左边是一个负分数；（5）剩下的四格请分别填上正数和负数，使方格中正数与负数的个数相同。解：答案不唯一，示例如图②所示。第2课时相反数和绝对值教学目标课题第2课时相反数和绝对值授课人素养目标1.理解相反数和绝对值的概念，能求一个数的相反数和绝对值，进一步强化符号意识。2.知道|ɑ|的含义，清楚|ɑ|与ɑ之间的关系。3.会利用法则比较两个有理数的大小。4.通过运用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。教学重点正确理解相反数和绝对值的概念，能求一个数的绝对值和相反数。教学难点对绝对值的概念的理解以及利用绝对值比较两个负数的大小。教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图用具有特殊关系的正数、负数表示具有相反意义的量，方便引入相反数的概念。【问题引入】在上节课，我们学习了用正数、负数表示具有相反意义的量，请利用正数、负数解决下面的问题：比较问题中的三组数，你有什么发现？【教学建议】先让学生用正数、负数表示具有相反意义的量，然后教师引导学生发现问题中的三组数存在一定的特殊性，从而引入新课。活动二：问题引入，自主探究设计意图引入相反数和绝对值的概念，并通过例题让学生学会如何求一个数的相反数和绝对值。探究点1相反数和绝对值问题1在活动一中，3与-3，与，5与-5这三组数有什么共同特点？你还能列举几组具有这种特点的数吗？与同伴进行交流。三组数存在如下关系：列举略。教学步骤师生活动设计意图用绝对值的概念来求一个数的绝对值，利用从“特殊到一般”的思想归纳出绝对值的性质。问题2说一说问题1中三组数的数量大小分别是多少？三组数的数量大小分别为3，和5。概念引入：符号不同，数量相等的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。通常用|ɑ|表示数ɑ的绝对值。追问如果一个有理数用ɑ表示，那么这个有理数的相反数可表示为-ɑ。例1（教材P27例2）求下列各数的相反数和绝对值：思考观察例题中的数和它的绝对值，思考问题：一个数的绝对值与这个数有什么关系？一个数的绝对值与这个数存在如下关系（用ɑ表示这个数）：正数的绝对值是它本身如果ɑ＞0，那么|ɑ|=ɑ负数的绝对值是它的相反数如果ɑ＜0，那么|ɑ|=-ɑ0的绝对值是0如果ɑ=0，那么|ɑ|=0总结：任何一个有理数的绝对值都是非负数。【对应训练】1.教材P28随堂练习第1题。2.（1）若ɑ的相反数是2.5，则ɑ的值为-2.5；（2）若ɑ的绝对值是6，则ɑ的值为6或-6。【教学建议】概念中“互为”的意义是指相反数都是成对出现的，不能单独存在。【教学建议】求一个数的相反数和绝对值的方法：①改变一个数的符号即可得到它的相反数，在正数的前面加上“-”号，将负数的“-”号去掉，即可得到对应的相反数；②去掉一个数的符号部分，仅保留它的数字部分，即可得到这个数的绝对值。设计意图结合生活实例，激发学生兴趣，通过比较气温的高低，总结归纳有理数大小比较的法则。探究点2有理数的大小比较问题1下表呈现了2023年1月1日四个城市的最低气温和最高气温。你能将这四个城市的最低气温从低到高进行排列吗？你是怎么比较的？城市北京昆明西安哈尔滨气温-7℃～5℃7℃～13℃-2℃～2℃-19℃～-14℃这四个城市的最低气温分别是-7℃，7℃，-2℃和-19℃。结合生活常识可知，最低气温由低到高依次是-19℃，-7℃，-2℃，7℃。问题2你能仿照气温的比较将下列这组数按照从小到大的顺序进行排列吗？-1，0，-3，2.5，-1.5，4。从小到大依次为-3，-1.5，-1，0，2.5，4。问题3你认为负数和正数应怎样比较大小？负数和0呢？两个负数呢？与同伴进行交流。【教学建议】对于气温的排列问题，教师可利用温度计模型，利用上面对应读数的高低顺序来对应排序。教学步骤师生活动根据上面的两个问题，我们可以总结出有理数大小比较的法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数。两个负数，绝对值大的反而小。例2（教材P28例3）比较下列每组数的大小：（1）-2，6；（2）0，-1.8；（3）【对应训练】教材P28随堂练习第2题。【教学建议】此处所总结出的大小比较的法则是在小学基础上的扩充，在进行有理数的大小比较时要严格按照法则进行。活动三：重点突破，提升探究设计意图利用绝对值和有理数的大小比较解决生活中的实际问题。例某工厂生产一批零件，已知这批零件的标准直径是100mm，对这批零件进行抽检，抽查了五件样品，检查结果如下（用正号表示超过标准直径，用负号表示不足标准直径）：样品序号12345记录数据/mm+0.1-0.15+0.2-0.05+0.25（1）指出哪件样品的直径最接近标准；（2）如果规定偏差的绝对值在0.18mm以内的是正品，那么这5件样品中有几件正品？分析：（1）比较记录数据的绝对值，绝对值越小，则样品直径越接近标准直径。（2）将记录数据的绝对值与0.18mm进行比较，若小于0.18mm，则该样品是正品。解：（1）因为|+0.1|=0.1，|-0.15|=0.15，|+0.2|=0.2，|-0.05|=0.05，|+0.25|=0.25，0.05<0.1<0.15<0.2<0.25，所以第4件样品的直径最接近标准。（2）因为0.1＜0.18，0.15＜0.18，0.2＞0.18，0.05＜0.18，0.25＞0.18，所以这5件样品中有3件正品。【对应训练】教材P32习题2.1第10题。【教学建议】学生分小组讨论作答，教师可引导学生结合问题正确理解题意，偏差的绝对值越小的样品越标准，不能因为-0.15在5个数据中最小，就认为第2件样品最标准。活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】“随堂小练”册子相应课时随堂训练。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.相反数的概念是什么？一个数的相反数通常怎样表示？2.绝对值的概念是什么？一个数的绝对值通常怎样表示？它具有哪些性质？3.如何比较两个有理数的大小？教学步骤师生活动【知识结构】【作业布置】1.教材P31～33习题2.1第5，6，7，12，14，15，17题。2.相应课时训练。板书设计第2课时相反数和绝对值1.相反数的概念。2.绝对值的概念。3.绝对值的性质：4.有理数的大小比较。教学反思本节课通过分析几组特殊的正数、负数的符号关系和数量关系，引出了相反数的概念；又针对一个数的数量大小，引出了绝对值的概念。从数字特征角度入手，让学生观察、比较，并归纳、总结出相关概念，从代数角度理解相反数与绝对值。同时仿照气温的比较，在小学相应法则的基础上进一步扩充，总结出有理数大小比较的法则，教学时要结合实例帮助学生理解“两个负数，绝对值大的反而小”这一法则。解题大招多重符号的化简根据相反数的表示方法，-ɑ的相反数可表示为-（-ɑ），而ɑ与-ɑ互为相反数，所以ɑ=-（-ɑ）。因此，若一个数的前面有多个“+”“-”号，我们可直接根据“-”号的个数确定结果的符号：若“-”号有偶数个，则结果为正；若“-”号有奇数个，则结果为负。培优点绝对值非负性的应用根据绝对值的性质可知，对于任意有理数ɑ，|ɑ|均大于或等于0（即|ɑ|为非负数）。而对于非负数，则存在性质：若几个非负数的和为0，则这些非负数均为0。例若|x-2|+|y-3|=0，求3x-y的值。解：因为|x-2|+|y-3|=0，且|x-2|与|y-3|均为非负数，所以x-2=0，y-3=0。所以x=2，y=3。当x=2，y=3时，3x-y=3×2-3=3。第3课时数轴教学目标课题第3课时数轴授课人素养目标1.通过与温度计的类比认识数轴，能正确画出数轴。2.能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法。3.知道互为相反数的两个数在数轴上的位置关系，理解绝对值在数轴上的定义。4.能利用数轴比较有理数的大小。教学重点数轴的概念，在数轴上表示有理数。教学难点正确的画出数轴，了解有理数和数轴上的点的对应关系。教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图借助探究温度计上刻度的特点，为如何画数轴做铺垫。【情境引入】观察下面的三个温度计，回答问题：（1）图中温度计上显示的温度各是多少？依次是5℃，0℃和-10℃。（2）温度计上的刻度有什么特点？①刻度都标在一条直线上；②有一点表示0℃；③0℃以上的刻度表示零上温度，0℃以下的刻度表示零下温度，即刻度表示温度具有方向性；④刻度是均匀的，相邻刻度间的距离相等等。类比温度计，我们能否用直线上的点表示有理数呢？接下来的学习，想必会让你得到答案。【教学建议】温度计上刻度的特点可让学生自由表述，引导总结出对应数轴三要素的特点即可，方便后续画数轴及引入数轴的概念。活动二：问题引入，自主探究设计意图通过合作学习，明确数轴的概念及三要素，掌握数轴的画法。探究点1数轴的概念及画法问题1如何用直线上的点表示有理数？在一条水平直线上取一点（称为原点）表示0，选取某一长度作为单位长度，规定这条直线上向右的方向为正方向，那么相反方向就是负方向。原点右边的点可以表示正数，原点左边的点可以表示负数。这样，所有有理数就都可以用直线上的点表示了。概念引入：像这样，规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴。如图，通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向。问题2那么我们具体怎样操作，才能画出一条数轴呢？【教学建议】此处是类比温度计上刻度的特点，简单说明了如何用直线上的点表示有理数，至于数轴的具体画法，教师可在授课时与学生共同总结。教学步骤师生活动设计意图用绝对值的概念来求一个数的绝对值，利用从“特殊到一般”的思想归纳出绝对值的性质。画数轴的步骤如下：1画直线画一条直线（通常画成水平位置）2取原点在这条直线上取一点作为原点，这点表示03定方向通常规定直线上向右的方向为正方向，并用箭头表示出来4确定单位长度，标数字选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…问题3结合画数轴的过程说明：+3是如何在数轴上表示的？-4呢？在数轴上，+3可以用位于原点右边3个单位长度的点表示，-4可以用位于原点左边4个单位长度的点表示。【对应训练】判断下面所画数轴是否正确，并说明理由。理由让学生讲述。【教学建议】画数轴时需注意：①三要素缺一不可；②原点可取直线上任一点，取定后就不再改变；③正方向要用箭头表示；④单位长度应结合实际需要选取，取定后就不再改变,并且刻度要均匀。设计意图将用数轴上的点表示整数，扩充到表示其他有理数，探究有理数与数轴上的点的关系。同时借助数轴探究相反数和绝对值的几何意义。探究点2有理数与数轴上的点的关系问题用数轴上的哪个点表示？-1.5呢？其他数呢？可以用数轴上位于原点右边个单位长度的点表示；-1.5可以用数轴上位于原点左边1.5个单位长度的点表示；其他数均可按此方法用数轴上的点表示。教师总结：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。例（教材P29例4）（1）如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？（2）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：解：（1）点A表示-2，点B表示2，点C表示0，点D表示-1。（2）如图所示。【教学建议】引导学生探究如何用数轴上的点表示分数，进而扩展到有理数.注意：数轴上的点并不一定都表示有理数，在教学中不必专门向学生说明。【教学建议】例题中的两个问题分别是由“形”到“数”和由“数”到“形”的思维过程，授课时应注意让学生感受数与形之间的对应关系，加深对数轴的认识。教学步骤师生活动思考观察例题图中表示3与-3的两个点，它们在数轴上的位置有什么关系？表示与的两个点呢？表示5与-5的两个点呢？教师总结：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离。【对应训练】1.教材P30随堂练习第2，3题。2.数轴上的点A到原点的距离是5，则点A表示的数为5或-5。【教学建议】“思考”借助数轴引出在数轴上表示互为相反数的两个点的位置关系以及绝对值的几何意义，有利于学生进一步理解相反数和绝对值。设计意图通过数轴上点的位置关系比较大小，感受数形结合的数学思想的进一步应用。探究点3利用数轴比较有理数的大小问题将例题（2）中的各数按照从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来；观察它们在数轴上对应点的位置，你有什么发现？与同伴进行交流。这些数从小到大的顺序与它们在数轴上对应点的位置沿数轴正方向的顺序（即从左到右的顺序）是一致的。数轴上的点表示的数的大小关系，我们可以这样表示：教师总结：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。【对应训练】教材P30随堂练习第1题。【教学建议】由学生自主探究，教师可提醒学生将各数的大小关系与各数在数轴上的位置关系进行比较，最终得出一般性结论。活动三：重点突破，提升探究设计意图通过点在数轴上的移动，进一步认识有理数与数轴上的点的对应关系，理解数形结合思想。例如图，在数轴上有A，B，C三个点，试回答下列问题：（1）点A，B，C分别表示什么数？（2）将点A向左移动7个单位长度后，此时点A表示的数是多少？它在点C的左边还是右边？（3）将点C先向右移动9个单位长度，再向左移动3个单位长度后，此时点C表示的数是多少？【教学建议】学生分小组交流作答，由学生代表发言介绍解题方法，教师对方法进行优化总结，对于第（3）小问，可结合运动过程逐步确认表示的数。教学步骤师生活动解：（1）点A表示的数是1，点B表示的数是-2，点C表示的数是-7。（2）如图，将点A向左移动7个单位长度后，此时点A表示的数为-6，它在点C的右边。（3）如图，此时点C表示的数是-1。【对应训练】教材P32习题2.1第16题。不明确点的移动方向或改变原点的位置都是本题的变式，教师可结合实际情况进行拓展。活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】“随堂小练”册子相应课时随堂训练。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.数轴的概念是什么，怎样画一条数轴？2.有理数和数轴上的点有着什么样的关系？3.相反数和绝对值的几何意义。4.如何用数轴比较有理数的大小？【知识结构】【作