考点33概率9种常见考法归类-2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019)（原卷版）

考点33概率9种常见考法归类1、判断事件间关系的方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．对立事件一定是互斥事件(2)利用集合观点设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅；②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.注：(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．2、基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型；(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法；(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求；3、求解古典概型的概率“四步”法4、解决有序和无序问题应注意两点(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．5、求复杂的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)6、含“至多”、“至少”等词语的概率的计算(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．7、相互独立事件与互斥事件的概率计算概率A，B互斥A，B相互独立P(A∪B)P(A)＋P(B)1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(AB)0P(A)P(B)P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))1－[P(A)＋P(B)]P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)P(A)＋P(B)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)注：①(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)，表示的是Aeq\x\to(B)与eq\x\to(A)B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)可简写为Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B.8、频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同名称不同点相同点频率计算公式频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值都计算了一个比值eq\f(m,n)古典概型的概率计算公式eq\f(m,n)是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化考点一随机事件的判断考点二样本空间和样本点的表示考点三事件间关系的判断考点四事件的运算考点五古典概型考点六互斥事件、对立事件的概率考点七求相互独立事件的概率考点八利用频率估计概率考点九统计概率的综合应用考点一随机事件的判断1．（2023春·全国·高一专题练习）下列事件：①空间任意三点可以确定一个平面；②367个人中至少有两个人的生日在同一天；③6个人的生日在不同月份；④掷两次骰子，点数和不小于2；⑤两条异面直线所成角为钝角.其中，______是不确定事件，______是必然事件，______是不可能事件（填写序号）.2．（2023·全国·高一专题练习）在100件产品中，有95件一级品，5件二级品，给出下列事件：①在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品；②在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品；③在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品；④在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品，其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号）3．（2023·全国·高一专题练习）下列事件中，随机事件的个数是（

）①未来某年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；④任取，则.A．1 B．2 C．3 D．44．【多选】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）设，是两个随机事件，则下列说法正确的是（

）A．表示两个事件至少有一个发生B．表示两个事件至少有一个发生C．表示两个事件均不发生D．表示两个事件均不发生考点二样本空间和样本点的表示5．【多选】（2023·浙江·二模）已知为实验的样本空间，随机事件，则（

）A．为必然事件，且B．为不可能事件，且C．若，则为必然事件D．若，则不一定为不可能事件6．（2023·全国·高一专题练习）先后掷一枚质地均匀的骰子两次，落在水平桌面后，记朝上的面的点数分别为x，y，则事件A:x，y都为偶数，事件B:x≠y的交事件包含的样本点的个数为___.7．（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为______.8．（2023春·全国·高一专题练习）从男生A、B、C和女生D、E五人中选出两人参加数学竞赛，写出事件“至少有一个女生”对应的样本空间．9．（2023·全国·高一专题练习）一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.(1)写出这个试验的样本空间；(2)写出“2个球都是白球”这一事件所对应的子集.10．（2023春·全国·高一专题练习）现有编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者，要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号表示事件“抽到的两名记者的编号分别为，，且”．(1)共有多少个基本事件？并列举出来；(2)列举出抽取的两名记者编号之和小于17，但不小于11的基本事件．考点三事件间关系的判断11．（2023·全国·高一专题练习）抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（

）A． B．C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或312．【多选】（2023春·全国·高一专题练习）抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数大于3”，“点数为4”，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．13．（2023·全国·高一专题练习）在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．14．（2023春·全国·高一专题练习）一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（

）A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品”C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品”15．（2023春·全国·高一专题练习）抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（

）A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上16．（2023春·全国·高一专题练习）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（

）A．至少有1名男生与全是男生；B．至少有1名男生与全是女生；C．恰有1名男生与恰有2名男生；D．至少有1名男生与至少有1名女生．17．（2023春·全国·高一专题练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（

）.A．是对立事件 B．都是不可能事件C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件18．（2023春·全国·高一专题练习）一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件表示向上的一面出现奇数点，事件表示向上的一面出现的点数不超过3，事件表示向上的一面出现的点数不小于4，则（

）A．与是互斥而非对立事件 B．与是对立事件C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件19．（2023春·全国·高一专题练习）一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.事件选出的球是红色，事件选出的球是绿色.则事件与事件（）A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件考点四事件的运算20．（2023·全国·高一专题练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（

）A． B． C． D．21．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（

）A．EF B．EF C．E D．22．【多选】（2023春·全国·高一专题练习）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．下列选项正确的是（

）A． B．是必然事件C． D．23．（2023春·全国·高一专题练习）掷一个骰子，下列事件：，，，，．求：(1)，；(2)，；(3)记是事件的对立事件，求，，，．24．（2023秋·高一单元测试）设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.（1）三个事件都发生；（2）三个事件至少有一个发生；（3）A发生，B，C不发生；（4）A，B都发生，C不发生；（5）A，B至少有一个发生，C不发生；（6）A，B，C中恰好有两个发生.考点五古典概型25．（2023·全国·高一专题练习）从5张分别写有1，2，3，4，5的卡片中不放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为___________.26．（2023·全国·高一专题练习）以下试验不是古典概型的有（

）A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率C．近三天中有一天降雪的概率D．3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率27．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：

，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（

）A． B． C． D．28．（2023春·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）现有分别写有数字1，2，3，4，5的5张白色卡片、5张黄色卡片、5张红色卡片.每次试验抽一张卡片，对1，2，3，4，5作如下约定：若取到一张写有数字i的白色卡片，则得i分；若取到一张写有数字i的黄色卡片，则得分；若取到一张写有数字i的红色卡片，则得分.(1)求得3分的概率；(2)求得分大于3分的概率.29．（2023·高一课时练习）某学校高中部共有学生2100名，高中部各年级男、女生人数如下表．已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在高中部抽取60名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为（

）高一年级高二年级高三年级女生372男生327420A．12 B．16 C．18 D．2430．（2023·全国·高一专题练习）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过5”的概率记为”，“向上的点数之和为奇数”的概率记为，“向上的点数之积为偶数”的概率记为”，则（

）A． B． C． D．31．【多选】（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（

）A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是32．（2023·全国·高一专题练习）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.(1)求第二次取到红球的概率；(2)求两次取到的球颜色相同的概率；(3)如果袋中装的是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？33．（2023春·全国·高一专题练习）某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次．(1)若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率；(2)若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？考点六互斥事件、对立事件的概率34．【多选】（2023·全国·高一专题练习）设为两个互斥的事件，且，则下列各式正确的是（

）A． B．C． D．35．（2023春·江西南昌·高一南昌市外国语学校校考阶段练习）已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（

）．A． B． C． D．36．（2023·全国·高一专题练习）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.837．（2023春·全国·高一专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．38．（2023春·全国·高一专题练习）已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．39．（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）现有7名世界杯志愿者，其中，，通晓日语，，通晓韩语，，通晓葡萄牙语，从中选出通晓日语、韩语、葡萄牙语志愿者各一名组成一个小组，则，不全被选中的概率为______．40．【多选】（2023春·全国·高一专题练习）利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（

）.A． B． C．D．41．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（

）①②③④A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③42．（2023春·全国·高一专题练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.43．（2023春·全国·高一专题练习）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求取球2次即终止的概率；（2）求甲取到白球的概率.44．（2023春·全国·高一专题练习）某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%，(1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设“一年内需要维修次”，，1，2，3，请填写下表：事件概率事件，，，是否满足两两互斥？(2)求下列事件的概率：①“在1年内需要维修”；②“在1年内不需要维修”；③“在1年内维修不超过1次”．考点七求相互独立事件的概率45．【多选】（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现3点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（

）A．A与B不互斥且相互独立 B．A与D互斥且不相互独立C．B与C不互斥且相互独立 D．B与D互斥且不相互独立46．【多选】（2023·全国·高一专题练习）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，则（

）A．事件A与事件B互斥 B．C．事件A与事件相互独立 D．47．【多选】（2023春·河南焦作·高一统考期中）若则（

）A． B．事件A与B不互斥C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不一定相互独立48．（2023春·全国·高一专题练习）设，是两个事件，以下说法正确的是（

）A．若，则事件与事件对立B．若，则事件与事件互斥C．若，则事件与事件互斥D．若，则事件与事件相互独立49．【多选】（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球､白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（

）A．事件互斥 B．事件与事件相互独立C． D．50．（2023春·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论错误的是（

）A．事件B与事件C是对立事件 B．事件A与事件B不是相互独立事件C． D．51．（2023·全国·高一专题练习）4粒种子种在甲坑内，每粒种子发芽的概率为．若坑内至少有2粒种子发芽，则不需要补种；否则需要补种，则甲坑不需要补种的概率为______.52．（2023·全国·高一专题练习）若甲､乙､丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别为，则甲､乙､丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为（

）A．0.26 B．0.29 C．0.32 D．0.3553．（2023春·辽宁本溪·高一校考阶段练习）某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，，，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（

）A． B． C． D．54．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）为抗击新冠肺炎，某单位组织中､老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）.根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为.(1)甲､乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？(2)若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率.55．（2023春·全国·高一专题练习）有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.考点八利用频率估计概率56．（2023·全国·高一专题练习）某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（

）A．该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件B．该厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件C．该厂生产的10000件产品中没有不合格的产品D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%57．（2023·全国·高一专题练习）某种福利彩票的中奖概率为0.1％，若某人买这种彩票999次，均未中奖，则此人第1000次买这种彩票中奖的概率为__________．58．（2023秋·江西吉安·高一统考期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是__________个．59．（2023·全国·高一专题练习）一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是，现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为（单位：）：542548549551549550551555550557若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在之间的概率估计为（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.760．（2023·高一课时练习）有m个大小相同的球共有3种颜色，已知红色球为4个，任取一个出现黑色球的频率为0.35，出现白色球的频率为0.45，求m的值．61．（2023春·高一单元测试）某鱼苗实验场进行某种淡水鱼的人工孵化试验，按在同一条件下的试验结果，10000个鱼卵能孵出8520尾鱼苗．(1)求这种鱼卵孵化的频率（经验概率）；(2)估计30000个这种鱼苗能孵化出多少尾鱼苗？(3)若要孵出5000尾鱼苗，估计需要准备多少个鱼卵？考点九统计概率的综合应用62．（2023春·河南焦作·高一统考期中）全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作,2023年2月14日24日在网上进行问卷调查,该调查是国家卫生城市评审的重要依据,居民可根据自身实际感受,对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计,评分的频率分布直方图如图所示,数据分组依次为:(1)求的值以及这100名居民问卷评分的中位数；(2)若根据各组的频率的比例采用分层随机抽样的方法,从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人,查阅他们的答卷情况,再从这6人中选取2人进行专项调查,求这2人中恰有1人的评分在内的概率.63．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了m名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率160.2501040.05合计(1)求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值；(2)如果用分层抽样的方法，从样本成绩在和的学生中共抽取5人，再从5人中选2人，求这2人成绩在的概率.64．（2023秋·江西赣州·高一统考期末）2022年秋季学期，全国各省（区、市）已全面实施新课程新教材.为了加快新课程新教材的实施，促进教考有效衔接，某市教育部门组织该市全体新高一教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分）.现从该市参加测试的数学老师中抽取了120名老师并统计他们的测试分数，将成绩