2024-2025学年福建省福州某中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州一中高三(上)开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知复数z满足z+z=4,且z-z=2i,贝lj|z|=()

A.72B.<3C.2D.

2.已知集合A={x|2<x<4],B—{x\\x-4|>1],则An©B)=()

A.(2,3)B.(3,4)

C.[3,4)D.(-oo,4)U(5,+oo)

3.已知向量2,b,满足|五+23|=2，九同=2,|山则向量2与5的夹角为()

B.JC.vD.^

o336

4.已知函数/(%)=在(1,2)上单调递增，贝!Ja的取值范围为()

A.(0,2]B.(-8,2]C.(2,4)D.[4,+oo)

5.已知a,。为锐角,且cosa=|,sin(a—£)=亮，则cos夕=()

A16B.|f

ArD・嚏

65

6.设四棱台ABCD-的上、下底面积分别为S「S2,侧面积为S,若一个小球与该四棱台的每个面

都相切，贝1()

A.S2=B.S=Si+S2

C.S=2JS1S2D.TS=店+

7.如图，将绘有函数f0)=Msingx+9)(M>0,0<9<兀)部分图像的纸片沿x轴折成直二面角，止匕时

4B之间的距离为，彳弓则9=()

8.已知/(%)=2,+2-%+cos%+/,若。=/(4①兀3),6=/(九①43),c=/(4Zn37r),则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知数列｛&J、｛bn｝,下列说法正确的有()

A.若与=—(—2)"+3,则｛%｝为递减数列

2

B.若数列｛an｝的前n项和Sn=n+3n,则为等差数列

C.若数列｛an｝,｛%｝都是等差数列，贝式斯-.｝为等差数列

D.若数列｛即｝,伯„｝都是等比数列，贝式厮-%｝为等比数列

10.抛物线C：/=2py的焦点为F,P为其上一动点，当P运动到«,1)时，|PF|=2,直线I与抛物线相交

于4、B两点，下列结论正确的是()

A.抛物线的方程为：x2=By

B.抛物线的准线方程为：y=-1

C.当直线2过焦点F时，以力F为直径的圆与％轴相切

D.AF+BF>4

11.已知函数/(%),g(x)的定义域为R,g(x)的导函数为g'Q),且/(%)+g'(久)=5,/Q-1)一g'(5-

x)=5,若g。)为偶函数，则下列说法正确的是()

A./(0)=5

B.比肾/0)=10120

C.若存在而使/0)在(0,而)上单调递增，在(久0,2)上单调递减，则9。)的极小值点为4k(keZ)

D.若/(久)为偶函数，则满足题意的f(x)唯一，满足题意的g(x)不唯一

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知随机变量X〜N(〃42),y〜B(6,p),且P(X>4)=I，E(X)=E(Y),则P=.

13.已知椭圆方程为冬+A=l(a>b>0),双曲线方程为a—%=l(?n>0,71>0),若该双曲线的两条

渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的

离心率之和为.

14.已知/(x)是定义在R上的奇函数，/(I)=1,且对任意％<0,均有(占)，贝I

万肾募0)=

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知函数/(久)=登=.

(1)若函数/(©单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若函数g(x)=(/(%)+1)矿只有一个极值点，求实数a的取值范围.

16.(本小题12分)

已知△ABC的三个内角4B,C的对边分别为a,b,c,ab=2acosC+2ccosA.

⑴求a；

(2)若tcmB+tanC—2,求△ABC面积的取值范围.

17.(本小题12分)

如图，四棱锥M-ABCD的底面是边长为2的正方形，平面DMC!_平面4BCD,DM1MC.

(1)求四棱锥M-ABC。体积的最大值；

(2)若二面角M—BC—D为45。，设平面与平面MBC的交线为2,N为1上的点，且NB=/百，|MN|<

2,求MB与平面NA8所成角的正弦值.

18.(本小题12分)

已知双曲线C：最一*1的中心为0,离心率点4在%轴上，|0*=6,点P是C上一定点，P到x轴的

距离为1,且|0P|=|P2|.

(1)求双曲线C的方程；

⑵求C上任一点和4的距离的最小值；

(3)若C上的点M,N满足MN〃PA,求证：在C上存在定点Q(异于P)使得P,M,N,Q在同一个圆上.

19.(本小题12分)

有2九朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：

n=2时，共有4朵花，以1、2、3、4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1、2所

示.

(1)当n=3时，求满足要求的绑缎带方法总数；

(2)已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，如n=2时，出现图1和图2所示方法的概率均为去记一

次绑法中，共有y对相邻的两朵花绑在一起.

①当几=4时，求丫的分布列和期望;

(ii)已知:对任意随机变量Xg=1,2，…,m,m€N*),有E已之］2)=(X)

记满足条件的绑缎带方法总数为。2小y的期望为E2".求%-E4••…E2式用n和a2n表示)•

参考答案

l.D

2.C

3.A

4.B

5.B

6.D

l.D

8.D

9.BC

10.BC

11.ABD

13./3+1

92022

14-——

・2023!

15.解：(1)根据题意，函数〃乃=嗅，xeR,则/(久)=

2ax—ax24-1

因为函数/(%)单调递增，

所以/'(%)>0,即a/_2ax—1<0,

当a=0时，—140恒成立，

当a#0时，则有If?”/n，解得—lWa<0,

综上，即a的取值范围为{a|-l〈a<0}.

(2)gQ)=(/(%)+l)ex=ax2—1+ex,

因为g(%)只有一个极值点，

则“(%)=2ax+e%只有一个变号零点，

显然％=0不是g(%)的零点，

所以2a%+u*=0=—2a=幺有一个变号交点,

x

.pXvpX_pXpX

令h(x)=7Q"(x)=-^2—=7(久一1)，

所以函数似乃在(-8,0)和(0,1)分别单调递减，在(1,+8)上单调递增，

如图象所示，可得：/i(l)=e,所以一2a<0,所以Q>0,即。的取值范围是(0,+8).

16.解：(1)由ab=2acosC+2ccos4及正弦定理，

可得asinB=IsinAcosC+IsinCcosA,

BPasinB=2si?i(Z+C),又/+C=n—B,

则有asinB=2sinB,又BEsinBW0,

所以a=2；

(2)由(1)知a=2,即BC=2,

xx

则CD=2—y,tanB=tanC=了彳，

故;+启=2，即久=y(2-y),

又ye(0,2),所以y(2-y)=-y2+2y=-(y-l)2+1G(0,1],

1i

三角形ABC的面积S=BC•AD=々x2x=x,

所以△ABC的面积取值范围是(0,1].

17J?：(1)在平面“CD中过M作M。1CD,

因为0MlMC,故：*M。XVMD?+MC2=3MDXMC,且VM"+MC2=2,

nsMDXMC1

故MO=/MDXMC,

JMDZ+MCZ

22

因为A/M£)2+MC2=2,^LMD+MC=4,故422MDxMC,

即MDXMC<2,当且仅当MD=MC=时等号成立，故M。的最大值为1,

因为平面DMC1平面ABCD,MO1CD,平面DMCn平面4BCD=CD,

MOu平面。MC,

故M。1平面4BCD,

而正方形4BCD的面积为4,

故四棱锥M-ABCD体积的最大值为争X1X4=|.

(2)由正方形2BCD可得BC7/4D,而BCu平面MCB,2。C平面MCB,

故A。〃平面MCB,而力。u平面ZDM,平面MCBC平面4DM=I,

故Z〃4D,

由正方形4BCD可得BC1CD,而面DMCC平面力BCD=CD,

BCu平面ABC。，平面DMC_L平面ABC。，

故BUL平面MCD,而MCu平面MCD,

故3clMC,

故NDCM为二面角M-BC-D的平面角，故NDCM=45。，

故AMCD为等腰直角三角形，故M01CD,

由(1)可得M。1平面2BCD,取48的中点T,连接。7,则。T1CD,

故可建立如图所示的空间直角坐标系，则4(2,-1,0),5(2,1,0),D(0,-l,0),M(0,0,l),

则而=(-2,0,0),故而=2(-2,0,0)=(—24,0,0)，

故N(-24,0,l),故前=(-24-2,-1,1)，

而|BN|=故(—24—2产+1+1=3,

即24+2=±1,

即a=一^或入=一|，

而I而1<2,故a=-g,即N(1,O,1),

又丽=(-2,-1,1)，通=(0,2,0)，丽=(-1,1,1)，

设平面/NB的法向量为沅=(%,y,z),

则由区巫=0,可得代：：

故可取沅=(1,0,1),

设48与平直M48所成角为氏

则SMI=g

18.解:(1)因为|OP|=|P2|,故点P在。4的垂直平分线上，

且点力在x轴上，\OA\=6,故点P的横坐标|冷|=3,

P到x轴的距离为1,故点P的纵坐标|"|=1,

将点P代入双曲线的方程得：=

且离心率e=(=结合c2=a2+b2,

解得：a=b=2y/-2fc=4,

故双曲线C的方程为=1；

88

(2)点力在x轴上，|0*=6,由对称性可知，

点a在久轴正半轴或者负半轴上，双曲线上任一点和a的距离的最小值都一样，

不妨设力(6,0),设双曲线上任一点B(x,y),则网=J(K—6)2+y2,

1，Sfcy2=x2—8,xe(—oo,-2-\/-2]U+oo),

88

所以1ABi2=(%-6)2+y2=(x-6)2+x2-8=2x2-12x+28=2(久-3)2+10>10,

即MBI2CU，当点B为(3,1)时，|4B|取最小值，而，

故c上任一点和a的距离的最小值为YIU；

(3)证明:当点力在x轴正半轴，P在第一象限时,易得4(6,0),P(3,l),

故凝4=-：，设直线PQ，MN的倾斜角分别为a,0,

由MN〃P4得tcm/7=七4=一全

若a=0,则PQ〃MN,且P,M,N,Q都在双曲线上,

易知此时四边形PQMN非等腰梯形，

故一定不满足P，M,N,Q四点共圆，所以

故直线PQ,MN一定有交点，设直线PQ,MN的交点为T(x,y),

x=x0+tcosa叱—/y2_

设直线PQ的方程为:f

y=y0+tsina联"滔一7=1'

22222222222

化简得:(asina—bcosa)t+(2ay0sina—2bxQcosa)t+ayg—bx^+ab=0,

।次%―庐弓+02b2

^\PT\.\QT\=|tlt2|=|

a2sin2a—Z72cos2aI,

口2光—/无价a2b2

同理可得|MT|•=|

a2sin2j&—d2cos2j&b

又P,M,N,Q四点共圆等价于|PT|•|QT|=•|NT|,

BP|a2sin2a—b2cos2a\=|a2sin2jff—b2cos2/?|,即a+£=TT,

故kpQ=tana=tan(7r-/?)=-,且P(3,l),

1

X

故直线PQ的方程为y3-联立双曲线"―「=1，有Q(—3,—1),

OO

此时在C上存在定点Q(-3,-l)使得P,M,N,Q在同一个圆上，

由对称性可知，当点4在久轴负半轴，或者点P在其他象限时，

在C上同样存在定点Q(异于P)使得P,M,N,Q在同一个圆上.

19.解：(1)当n=3时，有6朵花围绕在一个圆形花圃周围，以1、2、3、4、5、6表示，

由题意可知，满足要求的绑缎带方法，任意一条缎带绑后，其同侧不能剩余奇数个点，

故1必不与奇数3、5配对，

按花朵1的配对情况，分为三类：

①1与2配对：另4朵3、4、5、6的配对情况，同n=2时共有4朵花的配对方法数相同，故有2种方法;

②1与6配对：由对称性可知同1与2配对的方法数，故有2种方法；

③1与4配对：2必与3配对，6必与5配对，故只有1种方法.

综上，完成这件事的方法数共有2+2+1=5种方法，

列举如下：(12)(34)(56)；(12)(36)(45)；(16)(23)(45)；(16)(25)(34)；(14)(23)(56),

即满足要求的绑缎带方法总数为5.

(2)(。当n=4时，有8朵花围绕在一个圆形花圃周围.以1、2、3、4、5、6、7、8表示，

由题意可知，满足要求的绑缎带方法，任意一条级带绑后，其同侧不能剩余奇数个点，故1不能与3、5、7

配对，

故按花朵1的配对情况，可分为两类：

①12或18配对：

若12配对，则另6朵3、4、5、6、7、8的配对情况，

同n=3时共有6朵花的配对方法数相同，故有5种方法；

若18配对，由对称性可知与12配对方法相同，故也有5种方法；

故有2X5=10种方法;

②14或16配对：由对称性，这两类配对方法也相同，

不妨设14配对，由题意，23必配对，而另外5、6、7、8的配对情况,

即同n=2时共有4朵花的配对方法数，有2种方法；

故有2X2=4种方法；

综上，完成这件事的方法数共有10+4=14种方法.

已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，则每一种