热点4-3正弦定理与余弦定理解三角形5大题型（原卷版）

热点43正弦定理与余弦定理解三角形5大题型“解三角形”是每年高考常考内容，在选择题、填空题中考查较多，有时也会出现在解答题中。对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；而是考查两个定理的综合应用，多与三角变换、平面向量等知识综合命题。以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为容易题、中档题。一、解三角形中常用结论及公式1、解三角形所涉及的其它知识（1）三角形内角和定理：A+B+C=.（2）三角形边角不等关系：.2、诱导公式在中的应用（1）；（2）；3、三角形中，最大的角不小于，最小的角不大于.二、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状设a是三角形中最长的边，则（1）若，则是锐角三角形；（2）若，则是直角三角形；（3）若，则是钝角三角形；或（1）若,则是锐角三角形；若,则是直角三角形；若,则是钝角三角形；三、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。四、解三角形应用题的常见情形1、实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2、实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形．3、设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的角．4、涉及四边形等非三角形图形时，可以作辅助线，将图形分割成三角形后求解．【题型1利用正余弦定理解三角形的边与角】【例1】（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）在中，角的对边分别为已知，，（1）证明：（2）若求的周长.【变式11】（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）在中，角所对的边分别为．已知且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【变式12】（2023春·安徽·高三统考开学考试）在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．已知中，内角所对的边分别为，且________．（1）求的值;（2）若，求的周长与面积．【变式13】（2023·福建·统考一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）已知，求的面积．【题型2利用正余弦定理判断多边形形状】【例2】（2023·贵州·校联考一模）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（）A．直角三角形B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形D．等腰直角三角形【变式21】（2022·上海嘉定·统考一模）已知，那么“”是“为钝角三角形”的（）A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充要条件D．以上皆非【变式22】（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【变式23】（2022秋·北京·高三校考期中）在中，已知，那么一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形【变式24】（2022·全国·高三专题练习）在中，若，，则一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．无法确定【题型3利用正余弦定理解多三角形问题】【例3】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）在中，角，，对边分别为，，，且，.（1）求；（2）若，边上中线，求的面积.【变式31】（2022·江苏常州·华罗庚中学校考模拟预测）已知中内角的对边分别是，.（1）求的值；（2）设是的角平分线，求的长.【变式32】（2023·广东肇庆·统考二模）如图，在中，角的对边分别为.已知.（1）求角；（2）若为线段延长线上一点，且，求.【变式33】（2022秋·湖南常德·高三统考期末）如图，在梯形中，AD//BC，且，.（1）若，，求梯形的面积；（2）若，证明：为直角三角形．【变式34】（2022秋·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）如图，在四边形中，已知.（1）若，求的值；（2）若，四边形的面积为4，求的值.【题型4利用正余弦定理解与三角形有关的最值问题】【例4】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）设的三个内角A，B，C所对的边长为a，b，c，的面积为S．且有关系式：．（1）求C；（2）求的最小值．【变式41】（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求；（2）设，当的值最大时，求△ABC的面积．【变式42】（2022秋·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考期末）的内角的对边分别为，，.设.（1）求A；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【变式43】（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）在三角形ABC中，若.（1）求角A的大小；（2）如图所示，若，，求长度的最大值.【变式44】（2023秋·江西·高三校联考期末）设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（1）证明：；（2）求的最小值.【题型5利用正余弦定理解决实际应用问题】【例5】（2023·四川凉山·统考一模）我国古代数学家刘徽在其撰写的《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合．从后表却行一百二十七步，亦与表末三合．问岛高及去表各几何．这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年．其大意为：测量望海岛的高度及海岛离海岸的距离，在海岸边立两等高标杆，（，，共面，均垂直于地面），使目测点与，共线，目测点与，共线，测出，，，即可求出岛高和的距离（如图）．若，，，，则海岛的高（）A．18B．16C．12D．21【变式51】（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（）A．20米B．米C．米D．25米【变式52】（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行米绳索用尽（绳索与地面接触），则绳索长为（）A．米B．米C．米D．米【变式53】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且，，三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，的余弦值是（）A．B．C．D．【变式54】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）为测量河对岸的直塔AB的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，测得的大小为60°，点C，D的距离为200m，在点C处测得塔顶A的仰角为45°，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，则直塔AB的高为（）A．100mB．C．D．200m（建议用时：60分钟）1．（2022秋·河南驻马店·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为．已知．则（）A．B．C．D．2．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则C等于（）A．B．C．D．3．（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（）A．1B．C．2D．4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形5．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处B的距离（AB垂直于水平面），研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为，山脚B的俯角为.若该研究员还测得B到C处的距离比到D处的距离多，且，则（）A．B．C．D．6．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（）A．若，则B．若为锐角三角形，则C．若，则一定为直角三角形D．若，则可以是钝角三角形7．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则______．8．（2021秋·陕西汉中·高三校联考阶段练习）如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°方向，且与它相距海里，则此船的航行速度是______海里/