112双曲线及其性质

考点11圆锥曲线11.2双曲线及其性质1．（2022·全国高三）设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据双曲线的方程求出的值，由双曲线的定义可得，由双曲线的性质可知，利用函数的单调性即可求得最小值.【详解】由双曲线：可得，，所以，所以，，由双曲线的定义可得，所以，所以，由双曲线的性质可知：，令，则，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值，此时点为双曲线的右顶点，即的最小值为，故选：C.2．（2021·吉林长春市·高三（理））若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，转化，即得解【详解】由，可得可解的，故双曲线的渐近线方程为，故选：A.3．（2021·江西科技学院附属中学高二月考（理））已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，是它们的一个公共点，且.若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用椭圆和双曲线的定义把，用长半轴长和实半轴长表示，再用余弦定理求得与的关系，从而得的等式，结合已知可求得．【详解】设，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦点为，不妨设在第一象限，则，解得，中由余弦定理得，即，所以，，，又，，所以，，所以．故选：B．4．（2021·全国）设双曲线：的左、右焦点分别是，，过作渐近线的垂线，垂足为．若的面积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由双曲线性质知，，，由得，，代入求得a，b，c的关系，从而求得离心率.【详解】由双曲线性质知，，，由得，，解得，，所以双曲线的离心率，故选：D．5．（2021·全国高三（理））将双曲线x2﹣y2＝2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y，据此类推可求得双曲线y的焦距为（）A．2 B．2 C．4 D．4【答案】D【分析】双曲线的图象与双曲线的图象全等，它们的焦距相同，又根据题意得：将双曲线绕原点逆时针旋转后可得到双曲线，故只须求出双曲线的焦距即可．【详解】解：双曲线y的图象可由y进行形状不变的变换而得，∴双曲线y的图象与双曲线y的图象全等，它们的焦距相同，根据题意：“将双曲线x2﹣y2＝2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y”类比可得：将双曲线x2﹣y2＝6绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y，而双曲线x2﹣y2＝6的a＝b，c＝2，∴焦距为2c＝4．故选：D．6．（2020·北京高三）设，为双曲线：的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由双曲线的两个顶点恰好将线段三等分得到求解.【详解】因为双曲线的两个顶点恰好将线段三等分点，所以，则，所以，所以，所以双曲线的渐近线的方程为，故选：A．7．（2021·肥城市教学研究中心高三）已知､分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上一点满足，直线与该双曲线的左支交于点，且恰好为线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件导出，再利用双曲线定义结合勾股定理计算作答.【详解】依题意，令，则有，令，由双曲线定义得，而点P是QF1中点且在双曲线左支上，则，在中，，即，解得，则，，在中，，即，，于是得，，所以双曲线C的渐近线方程为.故选：C8．（2022·浙江高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为θ的直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，可得出，，在中，利用余弦定理可得出关于的方程，结合可求得该双曲线的离心率.【详解】如下图所示，设，由双曲线的定义可得，则，所以，，

在中，，整理可得，即，，解得.故选：D.9．（2021·安徽（文））已知双曲线：的左、右焦点分别为、，、分别为双曲线的左、右顶点，过作直线，在直线上存在点，使得，则双曲线的离心率的最大值为（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由关于的方程有实数解，转化为一元二次方程，利用得的范围，在此范围内取最大值时，求方程的解，满足题意即可得．【详解】由已知，，，整理得，令，则（*），由题意此方程有正数解．首先，，解得，，当时，方程（*）化为，，满足题意．所以的最大值为．故选：D．10．（2021·云南曲靖·（文））已知双曲线的右焦点为，直线､是双曲线的两渐近线，，是垂足.点在双曲线上，经过分别与､平行的直线与､相交于､两点，是坐标原点，的面积为，四边形的面积为.则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由双曲线方程求出两条渐近线方程，设，得出两条与渐近线平行的直线方程，联立直线方程求出A、B的坐标，可得与的值，即可求出四边形OAMB的面积，再求出的面积即可.【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为，不妨设，则，设，所以过M与平行的直线方程为：，过M与平行的直线方程为：；所以，解得，同理，解得，所以，，得；又，为等腰三角形，所以，所以，所以.故选：A11．（2021·四川成都·高三（文））已知双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，可得，进而可得结果.【详解】因为一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，设焦点为，渐近线为所以，即，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A.12．（2021·四川眉山市·仁寿一中高三开学考试（理））若双曲线的离心率为，则（）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】首先将双曲线化为标准式，即可表示出，，再根据及离心率为得到方程，解得即可；【详解】解：因为，所以，即，，所以，因为离心率为，即，解得故选：D13．（2021·湖南益阳市箴言中学高三）已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，.若，且在，之间，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出焦点坐标，利用面积比得是线段的中点，设，则可得点坐标，由在另一渐近线上求得值，从而可得线段长．【详解】解：双曲线中，，所以，设，因为，所以点为线段的中点，则．又点在直线，则，解得，所以，此时，．故选：B．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的几何性质，渐近线方程，焦点坐标等等．解题关键是由面积比得出点为线段的中点，这样设出一个点的坐标，由另一点在另一渐近线上，求得（或）坐标，从而易得线段长．14．（2022·全国（理））在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把点代入双曲线方程求出的值，从而根据双曲线的渐近线方程公式求出答案.【详解】因为双曲线经过点，所以代入得，解得，即，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A.15．（2021·南京师范大学附属中学秦淮科技高中高三开学考试）已知双曲线的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线上的点到点的最小距离为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用已知条件求得、的值，可得出的值，求得双曲线的标准方程，然后利用两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得双曲线上的点到点的最小距离.【详解】由已知可得，，可得，，，所以，双曲线的方程为，设是双曲线上的点，则，且或，则，所以当时，.故选：B.16．（2021·福建高三）已知双曲线，为坐标原点，为的左焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若，且在，之间，则（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】求出焦点坐标，利用面积比得是线段的中点，设，则可得点坐标，由在另一渐近线上求得值，从而可得线段长．【详解】解：双曲线中，以，所以，设，因为，所以点为线段的中点，则．又点在直线，则，解得，所以，此时，．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，渐近线方程，焦点坐标等等．解题关键是由面积比得出点为线段的中点，这样设出一个点的坐标，由另一点在另一渐近线上，求得（或）坐标，从而易得线段长．17．（2021·陕西西安·高新一中（文））已知双曲线：(，)的一条渐近线被圆截得的线段长不小于8，则双曲线的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得，的关系，即可得到所求的离心率．【详解】双曲线的一条渐近线方程设为，由题得圆的圆心为，半径，可得圆心到渐近线的距离为，则由题意可知，解得：所以双曲线的离心率，即故选：D．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．18．（2021·全国高三专题练习（文））已知双曲线的左､右焦点分别为，，点，则的平分线的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先依题意判断，设的平分线交x轴于M，设，计算，求得，即得角平分线所在直线的斜率，再根据点斜式写直线方程即可.【详解】如图，依题意知，，而点在双曲线上，故，，.设的平分线交x轴于M，设，则，有，即，，化简解得，故的平分线所在直线的斜率，所以的平分线的方程为，即.故选：A.19．（2022·全国高三专题练习（理））已知椭圆和双曲线有公共焦点，，和在第一象限的交点为，且双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，椭圆长半轴长为，由双曲线定义和椭圆定义可求得关系，从而得离心率．【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，椭圆长半轴长为，设，则，，又，所以，，由余弦定理得，即，，，所以，，所以椭圆离心率为．故选：B．20．（2021·全国高三（理））已知直线被中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线所截得的线段长为6，被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为，则该双曲线的标准方程为（）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】先判断焦点位置，再利用当时，，当时，，即解方程组求解【详解】由直线被双曲线截得的线段长为6，被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为，可得双曲线的焦点在轴上，不妨设双曲线方程为，直线被双曲线截得的线段长为6，所以当时，，①由双曲线的渐近线方程为，直线被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为，所以对于，当时，，即，②由①②解得，故双曲线方程为，故选：．21．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，则的取值范围为__．【答案】.

【分析】依题意结合双曲线定义得，进而可得，换元之后由对勾函数的单调性可得结果.【详解】设F1（﹣c，0），F2（c，0），令x＝﹣c，可得y＝＝±，则|AB|＝，因为PQ为△ABF2的中位线，且△PQF2的周长为4，所以△ABF2的周长为8，即|AF2|+|BF2|+|AB|＝8，由双曲线的定义可得|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝4a，两式相减可得，所以＝8﹣4a，即，所以＝＝，由可知，设2﹣a＝t（0＜t＜2），设，则在（0，2）递减，所以.故的取值范围为．故答案为：．22．（2020·陕西高三（理））已知双曲线的右焦点为F，以（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若，则双曲线E的离心率为___________．【答案】【分析】利用圆的对称性，求出，即可求出渐近线的斜率，转化为离心率即可.【详解】因为为直径，点在圆上，所以，且，即,那么，渐近线的斜率为，所以离心率为.故答案为：23．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线E：＝1（m，n＞0）的焦距为4，则m+n＝___.【答案】4【分析】根据焦距为4，可求得半焦距c，根据双曲线中a，b，c的关系，即可得答案.【详解】由题意得，解得，且，因此所以，即，故答案为：424．（2021·重庆市第七中学校高三）已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为_____________．【答案】【分析】延长交于点，利用角平分线结合中位线和双曲线定义求得的关系，然后利用求得结果.【详解】延长交于点，∵是的平分线，，，又是中点，所以，且，又，，，．故答案为：.25．（2021·江苏高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为______．【答案】【分析】设与的内切圆圆心分别为，，的内切圆与三边分别切于点，，，利用内切圆的性质得．设直线的倾斜角为，在中，，在中，，由题得得，再由二倍角公式可得答案．【详解】设与的内切圆圆心分别为，，连接，，，的内切圆与三边分别切于点，，，如图，则，所以，即，同理，所以，设直线的倾斜角为，则，在中，，在中，，由题得，所以，解得，所以．故答案为：﹒26．（2021·江苏）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点的直线交该双曲线的右支于，两点（点位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，且满足，则直线的斜率___________.【答案】【分析】设，，，利用双曲线的定义可得，作出图形，结合图形分析，可知与直线的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，求出，即可得到直线的斜率【详解】解：设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示，设，，，设的内切圆为圆，由双曲线的定义可得，得，由引可知，在中，轴于点，同理可得轴于点，所以轴，过圆心作的垂线，垂足为，因为，所以与直线的倾斜角相等，因为，不妨设,则,在中，，所以所以直线的斜率为，故答案为：【点睛】此题考查直线与双曲线的位置关系，直线与圆的位置关系的综合应用，直线的斜率与倾斜角的关系的应用，解题的关键是将直线的倾斜角转化为进行求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于中档题

27．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，（为坐标原点）．若直线与的左支有交点，则的离心率的取值范围为______．【答案】【分析】设位于第四象限，可知，设，由和在双曲线上可构造方程组求得点坐标，由此表示出，由化简可得，根据可求得结果.【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：；不妨设位于第四象限，则若直线与的左支有交点，则；设，由得：，又，，，，，即，，整理可得：，即，，，即的离心率的取值范围为.故答案为：.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.28．（2021·正阳县高级中学高三（理））已知，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则双曲线的离心率为___________.【答案】2【分析】由双曲线的定义知，，再根据得，进而根据相似关系得，，，再结合双曲线的定义得，故，进而得答案.【详解】由双曲线的性质，可知，.因为，所以，.又，且，所以，所以，所以，.因为，所以.又，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.29．（2021·南京师范大学附属扬子中学）设O为坐标原点，直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为___________.【答案】【分析】写出双曲线C的渐近线方程，求出D，E坐标，由三角形面积建立a，b的关系，借助均值不等式即可作答.【详解】双曲线C的渐近线方程为，不妨令点D为在第一象限，E在第四象限，由解得，同理，，所以的面积，于是，双曲线的焦距，当且仅当时取等号，所以的焦距的最小值为故答案为：830．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线：的左､右焦点分别为,，点，分别为渐近线和双曲线左支上的动点，当取得最小值时，面积为___________.【答案】【分析】根据双曲线的定义把求的最小值转化为求的最小值；然后再判断出当，，三点共线且垂直于渐近线时，取得最小值.【详解】由题意知，，，不妨取其中一条浙近线，由双曲线定义知，所以，所以，所以当，，三点共线且垂直于渐近线时，取得最小值，此时，直线方程为，由，得，故点，.故答案为：.31．（2021·全国高三（理））已知双曲线的左､右焦点为，点是圆上且在轴上方的任一点，若的面积为则双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】根据题意利用点纵坐标表示出的面积，根据条件可得满足的不等式关系结合的取值范围求解出离心率的取值范围.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以且，所以，故答案为：.32．（2021·全国高二课时练习）过双曲线的右焦点F引一条渐近线的垂线，垂足为点A､在第二象限交另一条渐近线于点B，且，则双曲线的离心率的取值范围是___________．【答案】【分析】由垂线与另一条渐近线交于第二象限，所以1，所以；由已知可求得、，从而根据即可建立关于的方程，又，即可建立离心率的不等关系，从而可解.【详解】解：因为垂线与另一条渐近线交于第二象限，所以，所以1，所以．在直角中，，所以，即，联立，得，因为，所以，故，因为，所以，解得综上，可得

故答案为：33．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线C与双曲线有共同的渐进线，则双曲线C的离心率是________.【答案】或.【分析】根据题意得到双曲线的渐进线方程，从而得到双曲线C的渐近线方程，讨论双曲线C的焦点位置，从而应用离心率公式可求得答案.【详解】易知双曲线的渐进线方程为，所以若双曲线C的焦点在轴上，则，所以离心率为；若双曲线C的焦点在轴上，则，所以离心率为.故答案为或.34．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线右支上异于右顶点的一点，若的平分线垂直于x轴，则双曲线C的离心率的取值范围是_________.【答案】【分析】根据的平分线垂直于x轴得到，由此求得也即双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意可知，为等腰三角形，.设的平分线与x轴交于点H，则点H为线段的中点，所以.因为P为双曲线C右支上异于右顶点的点，所以，即，故双曲线C的离心率e的取值范围是.故答案为：.35．（2021·重庆高三）已知双曲线的右焦点为F，焦距为4，双曲线C的一条渐近线将以F为圆心，OF为半径的圆的圆周分成两段长度之比为的弧，其中为坐标原点，则双曲线C的离心率是___________.【答案】【分析】画出图形，结合题意计算圆心到直线的距离，即可计算出双曲线的离心率.【详解】设双曲线的一条渐近线与圆交、两点，因为渐近线将圆周分为两份，所以，设点为过点向渐近线作垂线的垂足，则渐近线为，且点为双曲线的焦点，，则焦点到渐近线的距离，，为等腰三角形，也是的角平分线，，则，故，又因为双曲线焦距为，即，，故，，则离心率.故答案为：36．（2022·全国高三专题练习（理））过作与双曲线（，的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于、两点，若四点共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为______．【答案】【分析】联立直线、与直线，求出点的坐标，联立直线、与直线，求出点的坐标，观察坐标可知，四边形为菱形，其外接圆圆心在、的交点处，再结合的数量积为0，即可求解．【详解】解：由题意可得，∵直线、都平行于渐近线，∴可设直线的方程为，直线的方程为，∴过点平行与的直线的方程为，过点平行与的直线的方程为，分别联立方程，，解得，，即线段与互相垂直平分，则四边形为菱形，其外接圆圆心在、的交点处，∴，则即，∵，，∴双曲线的离心率，故答案为：．37．（2021·全国高三专题练习（文））设，分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则__