仿真卷-冲刺2023年高考数学（新高考专用）

绝密★考试结束前2023年新高考数学仿真试卷全卷满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1．若复数满足，则在复平面内的共阨复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数除法计算出，再根据共轭复数定义得出，最后确定对应点在复数平面的位置即可．【详解】由，得，所以，则其在复平面内其所对应的点为，位于第一象限．故选：A．2．已知全集，集合，则集合为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】计算出，从而根据交集，并集和补集概念计算出四个选项，得到正确答案.【详解】由题意知，，A选项，，A错误；B选项，，B错误；C选项，，故，C错误；所以.故选：D.3．在平面直角坐标系中，角的顶点为，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆相交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据三角函数的定义求出，再由二倍角公式和诱导公式求出答案.【详解】因为的终边与圆相交于点，所以，所以.故选：B.4．将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥（钢接处不重合），则该无底圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出无底圆锥的半径和高，从而得到圆锥的体积.【详解】由题意知，所卷成的无底圆锥母线长为6，设该无底圆锥的底面半径为，高为，则，所以，所以，所以.故选：C.5．计算机是20世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于工作和生活之中，在进行计算和信息处理时，使用的是二进制.已知一个十进制数可以表示成二进制数，且，其中.记中1的个数为，若，则满足的的个数为（

）A．126 B．84 C．56 D．36【答案】A【分析】根据题意，由条件结合组合的定义即可得到结果.【详解】由题意得中1的个数为6，因为，所以中1的个数为5，所以满足的的个数为.故选:A.6．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（

）（参考数据：，）A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15【答案】D【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．【详解】由题意知，所以，两边取以10为底的对数，得，所以．故选：D．7．已知是抛物线的焦点，过点且斜率为2的直线与交于两点，若，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】法一：设出的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦半径得到，从而列出方程，求出答案；法二：写成直线的参数方程，代入抛物线方程，利用参数的几何意义得到方程，求出答案.【详解】法一：由题意知，故的方程为，与的方程联立，得，显然，设，则，所以，又，所以，所以.法二：直线的斜率为2，设其倾斜角为，则，故，故直线的参数方程为（为参数），代入，整理得，，显然，设该方程的两根为，则，，所以.故选：.8．已知函数的定义域关于原点对称，且满足：（1）当时，；（2）、且，，则下列关于的判断错误的是（

）A．为奇函数 B．C．是的一个周期 D．在上单调递减【答案】D【分析】利用奇偶性的定义解结合（2）可判断A选项；由奇函数的性质结合（2）可判断B选项；根据（2）以及B选项推导出，可得出，再结合函数周期性的定义可判断C选项；利用（2）结合函数单调性的定义可判断D选项.【详解】因为、，，所以为上的奇函数，A对；因为，所以，所以，B对；因为，所以，所以是的一个周期，C对；、，且，则，因为当时，，所以、、均小于，又，所以，所以，所以在上单调递增，D错．故选：D．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每道题目至少有一个正确选项啊，漏选或者是少选得2分，不选或者是选错不得分）9．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为，，则（

）A．B．以AB为直径的圆与直线相切C．的最小值D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上【答案】ABD【分析】联立直线l与抛物线，利用韦达定理可判断A；取AB中点M即为圆心，分别过A、B、M作直线的垂线，由抛物线定义得M到直线的距离等于AB距离的一半，判断B；，韦达定理结合点满足抛物线方程，化简计算即可判断C；写出两条直线方程并联立求出交点坐标，结合前面结论化简交点纵坐标，即可判断D．【详解】解：由抛物线，知焦点，由题意知直线l斜率存在，设直线l方程为，联立，消x得，所以，故A正确；设AB中点为M，M为以AB为直径的圆的圆心，又是抛物线的准线，利用抛物线定义，分别过A、B、M作直线的垂线，垂足分别为、、，得，由抛物线定义知，即，故B正确；联立直线l与抛物线，得，，因为，所以，即；故C错误；经过点B与x轴垂直的直线为直线OA为，联立得交点，因为，则；所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线．故D正确．故选：ABD．10．已知函数（）在有且仅有3个零点，下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期B．函数在上存在，，满足C．函数在单调递增D．的取值范围是【答案】ABD【分析】设在有且仅有3个零点，，，且.A，最小正周期即可判断；B，取，，满足，，即可判断；D，结合正弦函数的零点，计算可得函数在轴右侧的前4个零点分别是，，，，再列出不等式，解之即可判断；C，由选项D可知，可取，此时，比较和的大小即可判断.【详解】解：设在有且仅有3个零点，，，且，对A，最小正周期，即A正确；对B，在上存在，，满足，，所以可以成立，即B正确；对D，令，，则函数的零点为，，所以函数在轴右侧的前4个零点分别是，，，，因为函数在有且仅有3个零点，所以，解得，即D正确；对C，由D选项可知，，不妨取，此时，所以，，即，并不满足在单调递增，即C错误.故选：ABD.【点睛】本题考查三角函数的性质，结合正弦函数性质，只要把作为一个整体，与正弦函数对比即可得出相应性质．11．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数，下列说法正确的是(

)A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则是间隔递增数列C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则【答案】BCD【分析】设等比数列的公比为，则，当时，，可判断A；，令，利用其单调性可判断B；，分n为奇数、偶数两种情况讨论可判断C；若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则，成立，问题转化为对于，存在使之成立，且对于，存在使之成立，求解可判断D．【详解】设等比数列的公比为，则．因为，所以当时，，故A错误；，令，则在上单调递增，令，解得，此时，，故B正确；，当n为奇数时，，存在，使成立；当n为偶数时，，存在，使成立．综上是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C正确；若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则，成立，则对于，存在使之成立，且对于，存在使之成立．即对于，存在使之成立，且对于，存在使之成立，所以，且，解得，故D正确．故选：BCD.12．设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（

）A． B．函数的图象关于对称C． D．【答案】AC【分析】由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件，判断B，再由条件判断函数，的周期，由此计算，，判断C，D．【详解】因为为奇函数，所以，取可得，A对，因为，所以；所以，又，，故，所以函数的图象关于点对称，B错，因为，所以，所以，为常数，因为，所以，所以，取可得，所以，又，所以，所以，所以，故函数为周期为4的函数，因为，所以，，所以，所以，所以，由已知无法确定的值，故的值不一定为0，D错；因为，所以，，所以，故函数为周期为4的函数，所以函数为周期为4的函数，又，，，，所以，所以，C对，故选：AC.【点睛】方法点睛：抽象函数对称性与周期性的判断如下：若，则函数关于对称；若，则函数关于中心对称；若，则是的一个周期填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．经研究发现，若点在椭圆上，则过点的椭圆切线方程为.现过点作椭圆的切线，切点为，当（其中为坐标原点）的面积为时，___________.【答案】【分析】点，由题意可得切线方程，进而可求点的坐标，根据的面积整理可得，结合椭圆方程即可得结果.【详解】设点，则切线，令，得，可得，则，∵点在椭圆上，则，即，解得，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：以点为切入点，设点，根据题意可得切线，这样就可得，再根据题意运算求解即可.14．已知平面向量，，，其中为单位向量，若，则的取值范围是__________.【答案】【分析】建立如图所示坐标系，不妨设，由题意，可知，记，，则，求出点的轨迹方程，由的几何意义可得即为点的轨迹上的点到点的轨迹上的点的距离，从而可得出答案．【详解】解：建立如图所示坐标系，不妨设，由知，点在直线或上，由题意，可知，记，，则，由定弦所对的角为顶角可知点的轨迹是两个关于轴对称的圆弧，设，则，因为，即，整理得或，由对称性不妨只考虑第一象限的情况，因为的几何意义为：圆弧的点到直线上的点的距离，所以最小值为，故．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，利用坐标法求出动点的轨迹，再结合解析几何的知识求出向量模的取值范围.15．已知双曲线的左，右焦点F1，F2，点P在双曲线上左支上动点，则三角形PF1F2的内切圆的圆心为G，若与的面积分别为，则取值范围是____________【答案】【分析】由圆的切线性质结合双曲线的定义可求圆心G的坐标，再利用三角形面积公式及其比值，由此可得取值范围.【详解】如图设切点分别为M，N，Q，由切线的性质可得，所以的内切圆的圆心G的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，．由圆的切线性质，，，所以，因为，所以，，Q横坐标为．因为双曲线的a＝1，b＝，c＝2，可设，设（m＞1），因为，，可得，所以取值范围是，故答案为：.16．已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则__________.【答案】【分析】根据对数运算法则可得，再利用等比数列性质和函数可得，利用倒序相加即可得.【详解】由题意可知，，所以；由等比数列性质可得；又因为函数，所以，即，所以；令，则；所以，即.故答案为：解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）．在已知数列中，.(1)若数列是等比数列，求常数t和数列的通项公式；(2)若，求数列的前项的和.【答案】(1)；.(2)【分析】（1）由，化简得到，得出时首项为，公比为的等比数列，求得，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）得到，结合等比数列的求和公式和并项求和法，即可求解.【详解】（1）解：由题意，数列满足，所以，又由，可得，所以数列时首项为，公比为的等比数列，又因为数列是等比数列，所以，可得，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知：，可得，所以数列的前项的和为：.18（12分）．在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求角B的大小；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用正弦定理把已知式子统一成边的关系，再利用余弦定理可求出角B的大小，（2）由（1）可得，由正弦定理可得，然后由为锐角三角形求出角的范围，再利用正切函数的性质可求得结果【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，化简得，所以由余弦定理得，因为，所以（2）因为，所以,由正弦定理得，，所以，因为为锐角三角形，所以，得，所以，所以，所以，，所以，即的取值范围为19（12分）．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，过E作EF⊥PB，交PB于点F．(1)证明：PB⊥平面EFD；(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为，求AD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2)a.【分析】(1)要证PB⊥平面EFD，则要证PB⊥DE，则证DE⊥平面PBC，则证DE⊥BC，则证BC⊥平面PCD；(2)以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC和平面PBD的法向量，利用向量方法即可求出AD．【详解】（1）∵PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，∴，，又，∴平面PDC，∵平面PDC，∴．又∵，E是PC的中点，∴，∵，∴DE⊥平面PBC，∴．又，，∴PB⊥平面EFD；（2）如图，由题意知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，，∴，，由(1)知，DE⊥平面PBC，故是平面PBC的一个法向量，且．设平面PBD的法向量为，由得即取，得，∴，解得，即．20（12分）．2021年3月5日李克强总即在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表维修次数0123机器台数20408060以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？【答案】（1）答案见解析；（2）．【分析】（1）根据统计表，维修0、1、2、3次的机器的比例分别为、、、，而2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数可能有，对应的基本事件为、、、、、、，进而可求各可能值的概率，写出分布列即可.（2）根据两个方案的描述，结合（1）所得的分布列，分别写出方案一、方案二所需费用的分布列，进而求它们的期望，要使选择方案二对客户更合算有，即可求的范围.【详解】（1）由题意得，，，，，，，，∴X的分布列为X0123456P（2）选择方案一：所需费用为元，则时，，时，；时，；时，，时，，∴的分布列为50006000700080009000，选择方案二：所需费用为元，则时，；时，；时，，则的分布列为6230，要使选择方案二对客户更合算，则，∴，解得，即的取值范围为．21（12分）．已知圆，圆，．