专题09数列求和（奇偶项讨论）-2022年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍

数列专题九：数列求和（奇偶项讨论）一、必备秘籍有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．二、例题讲解1．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和．解：（Ⅰ）等差数列的公差为2，前项和为，，，成等比数列，化为，解得．。（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．。当为偶数时，．当为奇数时，．感悟升华（核心秘籍）此类型难度较大；在讨论的时候特别注意分清楚为奇数；为偶数时最后一项到底加到哪里停止；三、实战练习1．（2021·全国高三专题练习）已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以.(Ⅲ)当n为奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和①由①得②由①②得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.2．（2021·河西·天津市新华中学）已知为等差数列，为等比数列，，，.（1）分别求数列和的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，（i）求证；（ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）（i）证明见解析；（ii）.【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式，结合题中所给的条件，列出等量关系式，求得首项、公差和公比，得到数列的通项公式；（2）（i）根据题意，求得，之后利用作差比较法求得结果；（ii）利用分组求和法和错位相减法求得数列的前项和.【详解】（1）为等差数列，，所以，，所以，即，所以；为等比数列，，因为，所以，解得，所以；（2）（i），，所以；（ii），所以，设的前项中，奇数项和为，偶数项和为，，，，两式相减得，所以，所以数列的前项和为.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）根据等差数列和等比数列的通项公式求相关量，之后确定其通项公式；（2）利用等差数列公差的相关公式求得，之后利用作差比较法求得结果；（3）利用分组求和法和错位相减法对数列求和.3．（2021·辽宁高三月考）已知等差数列中，.（1）求；（2）设，求的前项和【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据已知条件可得，所以两式相减可得公差，将公差代入即可得；（2）求出的通项公式，利用分组求和以及等差和等比数列求和公式即可求解.【详解】（1）由题得，所以，两式相减可得：，所以所以可得：；（2）由（1）知：，所以，.4．（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知正项数列满足.（1）求；（2）将数列分组：，记第组的和为.（i）求数列的通项公式；（ii）求数列前项的和.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.【分析】（1）根据题意，当n=1时，可得，当时，可得，根据，作差整理，即可求得.（2）（i）根据题意，可得，根据（1）可得表达式，代入整理可得；（ii）根据（i）可得，利用分组求和法，结合等差数列的求和公式，即可得答案.【详解】（1）因为，令n=1，所以，因为①，当时，②，①②得：，所以数列是公差为2的等差数列，所以，当符合上式，所以.（2）（i）由题意可知，，，，所以，而所以；（ii）由（i）可得所以【点睛】难点在于：将数列分组后，根据规律，总结出，在结合等差数列求和公式，化简求值即可，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.5．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）已知等比数列的前n项和为，公比，，，数列满足且，.（1）求和的通项公式；（2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前项和；（3）设数列的通项公式为：，，求．【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）根据已知条件求出、的值，利用等比数列的通项公式可求得，求出、的值，可求得等差数列的通项公式；（2）分析可知数列的前项中，有项，有项，利用分组求和法可求得的值；（3）求得，利用错位相减法可求得.【详解】（1）由，两式作差可得，即，，则，，解得，所以，，解得，所以，.因为，故数列为等差数列，设该数列的公差为，由于，可得，，，所以，；（2）当时，，当时，，所以，数列的前项中，有项，有项，所以，；（3），，设，则，则，两式作差可得，因此，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.6．（2021·江苏镇江市·扬中市第二高级中学高三开学考试）已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前2n项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依题意分别求出等差数列的公差d和等比数列的公比q即可求得通项；（2）求出，分组之后用裂项法和公式法求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．因为，所以.依题意得，即，解得或（舍）．∴．（2）由（1）可得．∴．∴设数列的前项和为，则．【点睛】方法点睛：本题第（2）问考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，是，的等比中项，数列满足：对任意的，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前2n项的和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由基本量法列出关于和公差的方程组，解得，得通项公式，求出后可得；（2）把的奇数项和偶数项分别求和可得．【详解】（1）设数列的公差为d，由题意得，化简得，因为，所以，，所以，，因为，所以；（2）由（1）知，所以.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列是等差数列，是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．8．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若求.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由，得，利用累乘法即可求得的通项公式；（2）利用分组求和法，其中偶数项和用错位相减法求解，奇数项用等差求和公式求解即可．【详解】（1）由，得，当时，，得，当时，，则.易得，符合，所以；（2）由（1）知记①，则①，得②，①－②得，，则.因此；【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和；(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和；(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．9．（2021·天津河西·高三三模）已知数列满足，，，，且，，成等比数列.（1）求的值和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）。【分析】（1）由递推关系，结合等比中项的性质可得，根据已知条件求，进而分别讨论n为奇数或偶数时的通项公式即可.（2）由（1）写出通项，将其奇偶项并项得，最后应用错位相减法求数列的前项和.【详解】（1）由题设知：，而，，，∴，即，，即，又，∴，整理得，，即可得，∴当n为奇数时，，，则，当n为偶数时，，，则，综上，.（2）由（1）知：，∴数列的前项和中，，∴，，∴，故.【点睛】关键点点睛：第二问，由于数列奇偶项的通项公式不同，由奇偶并项，将其转化为，求数列的前n项和.10．（2021·天津和平·高三月考）设等差数列的前项和为，且等比数列的前项和为，满足，，，.（1）求，的通项公式；（2）求满足条件的最小正整数，使得对不等式恒成立；（3）对任意的正整数，设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）先利用等差数列求和公式列方程组求出，从而可求出，再利用等比数列通项公式求出，从而可求出；（2）由，而当时，