重构数与运算一致性形成结构化知识体系

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出数与运算之间有密切的关联，数的概念本质上具有一致性，数的运算本质上具有一致性，并对数与运算的教学提出了新的要求。教师应在课程标准理念的指导下，探索“数的认识”和“数的运算”知识体系的构建策略。关键词：数与运算一致性；结构化；知识体系《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）增加了“数与运算一致性”的内容，这对教材编写和教学体系设计的影响尤其深远。因为这不是对课程内容做简单的补充，而是对整个小学阶段“数的认识”和“数的运算”知识体系的根本变革。教师可以从当前数与运算一致性的底层逻辑分析入手，探讨新课标中这种变革的必要性和可行性，并探索在这一理念下对“数的认识”和“数的运算”知识体系的构建策略。一、数与运算一致性的底层逻辑数与运算一致性包括三个方面的内容：一是数的概念的一致性；二是数的运算的一致性；三是数的认识与运算的一致性。数与运算的教学能否做到一致性？数与运算的教学怎样做到一致性？这是亟待解决的两个问题。（一）数与运算的教学能否做到一致性首先，数的产生和发展离不开运算，数的认识与运算具有一致性。古人在劳动实践中创造了简单的几个自然数，并逐渐产生了“加法”的运算。通过“加法”的运算扩充了自然数的范围，并进一步产生了“减法”“乘法”和“除法”运算。其中，“减法”运算为“0”和“负数”的产生提供了契机。“除法”运算促进了“分数”的产生。由于分数在计算和比较时不太方便，因此诞生了小数。其次，整数、分数、小数的构成都是以计数单位为基础的，有了这个基础，数的概念教学的一致性便有了自然的逻辑结构。最后，所有的运算都是以加法运算为基础的，所以加减乘除四则运算在算理上有共同的逻辑本源，数的运算之间具有一致性。（二）数与运算的教学怎样做到一致性数与运算的一致性可以通过以下教学方法达成：一是将“计数单位”确定为核心理念；二是将运算的意义以及基础运算规律（五个运算定律和等式特性）作为计算的逻辑基础；三是将两个基本事实（加法口诀和乘法口诀）作为算法的起点；四是把数的意义理解为计数单位的叠加，把数的运算归结为计数单位的运算和计数单位数量的运算。二、数的概念一致性的教学策略数的概念的教学以“计数单位”为核心概念，将数的认识归结为计数单位的累加。根据这个要点，数的概念的教学，一定要凸显计数单位的核心地位，通过帮助学生建立计数单位的概念，再通过计数单位来认识数，形成数感。（一）“一”是所有计数单位的基础当我们提到计数单位时，很多教师脑海里一定会涌现出“十、百、千、万……”“十分之一、百分之一、千分之一……”“二分之一、三分之一、四分之一……”，然而对“一”这个计数单位却似乎并不重视。事实上，其他的计数单位都是通过“一”得出的，通过“一”的累积，形成整数的计数单位，通过对“一”的均分，形成分数（小数）的计数单位。“一”是所有計数单位的基础，计数单位“一”把整数、小数、分数的计数单位连成一个整体。所以，在教学“10以内数的认识”时，教师应让学生体会“所有的整数都可以分解成若干个‘一”“‘一的不断累加可以产生各种不同大小的整数”的含义。（二）“十的认识”是数的认识的一次飞跃“十的认识”这一课，对于引导学生体会计数单位在数的认识和表示上的作用，初步理解“位值制”计数法的原理非常关键。而传统的教学没能注意到这一要点，只是将“十的认识”与“十以内各数的认识”等同起来教学。为了改变这一现状，笔者将“十的认识”这一课做了如下重构。教师先向学生呈现教材上的主题图，然后询问：“图中有几位孩子？（9位）请在计数器上用珠子表示。”师：再加上老师，一共有多少人？（10个）你会用数来表示吗？师：为什么9只要写一个数字，而10却要写两个数字？（教师组织学生讨论：为什么不再另外创造一个符号来表示“十”）通过讨论，学生明白了：如果数字“十”用一个符号来表示，那么“十一、十二、十三……”也要用单独的符号来表示，这样就需要记住很多符号，很不方便。接着，教师通过与学生一起在只有一个挡位的计数器上拨珠子表示“十、十一、十二……”，让学生进一步体会：在一个档位上拨太多的珠子，在计数上很不方便。所以人们就规定：计数器上的一个档位最多只能拨9个珠子，如果要表示更大的数，就得在左边增加一个档位，原来的档位叫做“个位”，新增加的档位叫做“十位”。师：现在谁知道“十”在计数器上该如何表示？生：在个位上拨9个，在十位上拨1个，合起来一共是10个。生：只要在十位上拨1个珠子就可以了。师：你认为哪种方法更好，为什么？经过交流，学生了解到：尽管第一个学生的方法能用于表示超过十的数，但是数值越大，需要的珠子就越多，所以对于表示一个很大的数就不十分方便。而通过第二个学生的方法，只需用十位的一个珠子替代个位的10个珠子，便可表示更大的数，这样就无需准备大量的珠子了。教师通过在计数器上拨珠，可以使学生明白“为什么9只要写一个数字来表示，而10却要写两个数字来表示”的道理。这样，学生会自然地明白“十进制计数法”的原理，理解“位值制”计数法的优越性。（三）基于“数量”引入分数，通过“计数单位”理解分数现行人教版数学教材是通过“率”来引入分数的，在认识分数的过程中淡化“计数单位”的作用，这与整数、小数的认识不太一致。为此，笔者对“分数的认识”这一单元做了如下重构。【认识几分之一】师：把1块月饼平均分给两个人，每个人能得到多少块月饼？生：半个。师：把1块月饼平均分给三个人，每个人能得到多少块月饼？生：小半个。师：把1块月饼平均分给四个人，每个人能得到多少块月饼？生：小小半个。随着情境的继续，学生发现，用生活中的“半个”“小半个”“小小半个”无法准确地表示分到月饼的数量，那到底该用什么数来表示每人分到的个数呢？通过对以上问题的探讨，教师自然地引入一种新的数——分数，体现了数是对数量的抽象，与整数的认识相一致。【认识几分之几】1.妈妈、小明和爸爸一起吃一块比萨。2.你能在下面的线段上找到妈妈、小明和爸爸吃的块数吗？你还能找到哪些数？以上教学使学生明白：分数也是用来表示数量多少的，分数也是可以“数”出来的，分数也是可以用“数线”上的点来表示的，分数也是可以和整数比较大小的。由此，分数与整数在意义、结构和研究方法等方面都是一致的。三、数的运算一致性的教学策略（一）数的加减运算的一致性在数的加减运算教学中，无论是教材还是课堂实践都做到了一致性。例如，在教学中教师通常都会引导学生将整数、小数、分数加减运算的算理、算法进行比较。学生需要明白，无论是在整数加减中的“数位对齐”、小数加减中的“小数点对齐”，或者是分数加减中的“通分”，都有相同的核心要领，就是“相同的计数单位上的个数相加减，计数单位保持不变。”（二）数的乘法运算的一致性与数的乘法运算一致的算法是：计数单位乘以计数单位，计数单位上的个数相乘。为了让学生理解其道理，教师需要分两个方面来引导他们进行探讨：一是计数单位乘以计数单位怎么算。整数的计数单位相乘可以通过“数数”的过程来理解。例如，对于“一个一个地数，10个一是1个十”“一十一十地数，10个十是1个百”“一百一百地数，10个百是1个千”……教师可以继续引导学生用算式来表示这些结论：“1×10=10”“10×10=100”“10×100=1000”……小数、分数的计数单位相乘可以借助“面积模型”来理解。例如，求下列阴影部分小长（正）方形的面积。二是为什么计数单位乘以计数单位作积的计数单位，计数单位上的个数相乘作积的计数单位的个数。需要以下三节“关键课”来学习。【整十数乘以整十数】六年级同学举行艺术队列表演活动，一共有30列，每列20人，参加艺术队列表演的同学一共有多少人？师：你会列算式吗？（30×20）师：到底有多少个人呢？逐个计数实在太麻烦，应该怎么数呢？（以百为单位来计数）師：在点子图里圈一圈、数一数。师：说一说你是怎么数的。生：按10行10列为一块，每块有10×10=100个；30里面有3个10，一行分成3块；20里面有2个10，一列有2块；用3×2算出一共有6块；每块100个，所以有600个。根据学生的回答，教师适时进行以下板书。【小数乘以小数】长方形玻璃的长是0.3米，宽是0.2米，求长方形玻璃的面积。教师同样也是引导学生将长方形分割成3×2个边长为0.1米的小正方形，先计算一个小正方形的面积为0.1×0.1=0.01（m2），再算3×2=6（块），最后算6×0.01=0.06（m2）。【分数乘以分数】分数乘以分数的教学方法与小数乘以小数相同。通过对乘法运算的算理、算法的重构，教师可引导学生发现整数、小数、分数乘法运算在思想方法上的一致性：都要先用两个因数的计数单位相乘得到积的计数单位，再用两个因数各自计数单位的个数相乘得到积的计数单位的个数，最后根据数的意义将积的计数单位个数和计数单位相乘，得到最后的积。（三）数的除法运算的一致性根据除法是乘法的逆运算，很容易得出除法运算的一致性算法：计数单位除以计数单位作商的计数单位，计数单位上的个数相除作商的计数单位个数。但是，在实际教学中还有一些细节需要处理。二是计数单位的个数除不尽的情况。例如，0.07÷3，计算时会出现7÷3除不尽的情况，这就需要在认识小数之后学习“整数除以整数得小数”这一关键课。这一课