HPM视角下小学数学实践活动的设计与实施

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》提倡设计与实施实践活动，强调采用主题式学习和项目式学习等。HPM是数学史与数学教育的结合，HPM视角下的小学数学实践活动，既能发挥数学史“立德树人”的教育价值，又能帮助学生深入理解知识本源，提升思维能力，实现文化传承。教师要根据不同史料内容，设计体验式、实验式、探究式、游戏式等不同形式的实践活动，实现数学教学“开启智慧，润泽生命，立德树人”的教育目标。关键词：HPM；数学史；数学实践活动《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）在“教材编写建议”中强调：“内容设计要反映数学在自然与社会中的应用，展现数学发展史中伟大数学家，特别是中国古代与近现代著名数学家，以及他们的数学成果在人类文明发展中的作用，增强学生的爱国情怀和民族自豪感。”在现有的教材中，数学史内容包括数学知识的由来（含数学符号演变史）、数学工具迭代史，数学家故事及主要成就、传统游戏等。实际上，这些内容多数并未安排在教材正文中，而是安排在教材各章节练习后面“你知道吗”小栏目中，其展现形式往往仅有几行文字和几幅图片。人教版数学教材中共有40处数学史内容，共约17.5面；苏教版数学教材中共有31处数学史内容，共约14.5面。这些内容短小精悍，教师只有深挖其内涵，才能把底蕴深厚的数学史融入学生的数学实践活动之中。设计HPM视角下的数学实践活动，绝不是直接“点缀”和“附加”史料，而是通过“重构”，把数学史料融入数学实践活动中。在课堂上，教师要给予學生充足的时间与空间，引领他们操作、实验、探究、游戏，从而快乐地接受有历史温度、饱含古人智慧的数学知识，实现深入理解知识本源、提升思维能力、传承数学文化的目的。一、设计体验式数学实践活动，追溯知识演变史数学知识的形成经历了漫长的历史演变过程，哪怕一个小小的数学符号都经历了很多变化。教学中，教师要设计体验式数学实践活动，引领学生追溯知识演变史。例如，在教学“万以内数的认识”单元起始课时，其核心知识点“大数”的本质是十进位值制。位值制，即同样的数字在不同的位置上能表示不同数值。位值制对于二年级学生来说是非常抽象的，为此，教师可以设计“写数实践”环节，并引导学生对“中国算筹的位值制”与“古埃及的累加制”进行对比，帮助他们深刻体验中国位值制的简约与美妙，体会位值制的意义与优势。【第一环节】用算筹创编235，用算筹表示5555。教师介绍中国算筹有横向与纵向两种表示方法后，让学生尝试用算筹创编235（见图1）。学生独立思考，积极创造，教师呈现学生不同作品，师生评价交流，明确中国古人的记数规则，即“个位纵向十位横向”。教师引导学生按照规则用算筹写数5555。【第二环节】用古埃及数表示5555。教师出示图2，介绍古埃及1～9，10，100，1000，10000以及古埃及记数235，引导学生发现古埃及记数规则，尝试用古埃及数表示5555。学生用古埃及累加制记数5555时，纷纷感叹“古埃及数5555好长，有16个符号”“手都写酸了”。【第三环节】教师引导学生进行第一次对比。同样是两千多年前的记数方法，对比古埃及5555与古代中国5555，你想说些什么？生：古埃及的个、十、百、千有专门的符号，古代中国的算筹则用位置加以区分。生：古埃及的符号太多、太复杂，我们古代中国的算筹更方便。生：我们古代中国人真聪明。生：作为中国人，我很骄傲，我们的祖先太聪明了！教师引导学生进行第二次对比：对比古代中国算筹和现代记数法，你想说什么？生：用阿拉伯数写5555更简单。【第四环节】教师小结。数学追求简洁美，它是人类共同的智慧结晶。现在我们学习和掌握的数学知识，凝聚了一代又一代数学家们的努力和智慧。用不同的数位表示个、十、百、千，叫做“位值制”，它表现了古代中国人的智慧，被马克思称为“人类最伟大的发明”。数学知识的演变史（含数学符号演变史）内容在现行教材中占比最多，教师都可以遵循“追根溯源，回归历史”的设计策略，引导学生开展类似的体验式数学实践活动，使他们从历史、文化等多角度理解知识本源，传承科学精神。二、设计实验式数学实践活动，了解度量衡工具迭代史度量衡是专门用来测量长度、重量、容量、时间、方向等单位的器具。小学数学教材中的古代度量衡工具基本上都是中国发明的，有日晷、铜漏壶、指南针、算筹、算盘等。教师可以带领学生参观博物馆加以了解，也可以在课堂上组织学生进行实验操作，帮助学生了解中国古代度量衡工具的优势与缺点，明白新旧工具迭代的原因，明晰进化历程，培养批判性思维。例如，在教学“认识时间”单元时，教师可以结合中国古代计时工具——日晷，引导学生开展实验式数学实践活动：学生动手实验，四人为一小组合作探究，用手电筒模拟太阳光从东到西转动，描绘竹竿影子。教师提供白纸圆盘，中间插一根竹竿，让学生手持手电筒照竹竿，模拟太阳从东到西地转动，观察竹竿受光照后留下的影子，分别记录上午、中午、下午3个时间段的影子。学生记录完以后，教师呈现学生《阳光下的影子》作品，让学生说一说一天中竹竿影子的变化规律。对比自己的作品与日晷面、钟面，学生发现相似之处，并寻找内在关联，体会计时工具的演变历程。虽然当前日晷、水浮式指南针、滴漏壶、算筹、算盘等已经被更先进的工具所代替，但是其背后的原理，却是中国古人智慧的结晶，值得后人了解、熟知，这样有助于培养学生的爱国情怀，增强民族自豪感。实验式实践活动还可以让数学与科学相融合，这样有利于营造更为生动有趣的课堂氛围，激发学生学习兴趣。三、设计问题探究式数学实践活动，领悟古人思想方法《九章算术》《算法统宗》《庄子》等中国古籍记载了大量数学思想与方法。教师可以借助问题链激发学生进行数学思考，使他们领悟古人的数学思想与方法。例如，在引导学生进行三角形、梯形面积公式推导时，教材中的例题基本采用了倍拼法，而在推导平行四边形面积公式时却用了剪拼法，学生因迁移而质疑：“三角形与梯形是否也可以用剪拼法变成其他规则图形呢？”此时，教师可以呈现教材中的数学史小栏目内容，引导学生先阅读，再实践操作，最后自主推导得到面积公式（见图3）。在学生画一画，剪一剪时，教师用问题链启发学生思考，领悟“出入相补”的数学思想，提升学生独立思考能力与实践能力，渗透数学文化。【问题1】请观察图3，古人把三角形、梯形剪拼成长方形与平行四边形，用“出入相补”原理得到面积计算公式，你能猜猜古人的“出入相补”是什么意思吗？【问题2】通过剪拼会改变面积的大小吗？【问题3】三角形变成长方形后，怎样推导三角形的面积公式呢？【问题4】梯形怎样剪拼能变成长方形？梯形怎样剪拼能变成平行四边形？梯形怎样剪拼能变成三角形？在教学《九章算术》中圆柱、圆锥的体积计算，理解刘徽的割圆术、极限思想等时，教师都可以借助问题链激发学生的探究欲望，引导学生合作探究，使其与古人的数学思想方法实现碰撞。四、设计游戏式数学实践活动，不断进阶为系列化课程适合小学生的数学益智类游戏有七巧板、华容道、数独、魔方、汉诺塔等。教师可以将不断进阶的游戏开发成系列化的游戏课程，以游戏促思维、激兴趣，发展学生的核心素养。例如，在学习完“认识图形”后，教师就可以利用课内或课外時间，循序渐进地引导学生开展“七巧板”游戏活动。活动单可以设计如下：七巧板是我们祖先的一项卓越创造，为人类文化宝库增添了不少色彩。看似简单的七巧板很早就已流行于世界各地，被外国朋友称为“唐图”“东方魔板”。日本的七巧板、德国李希特的多巧板、丹麦庇德·哈恩的立体七巧板，都是根据中国的七巧板改良、发展而来的。那么，中国的七巧板是怎么发明的呢？宋代黄伯思设计发明了长方形案几（燕几），共7件，它们宽度相等，长度关系非常巧妙。其可以视宾客的多少和菜肴的丰盛程度拼合成不同形状的餐桌，一共能变化出76种组合。明代的严澄在宋代黄伯思燕几的基础上又设计了蝶翅几，首次出现了三角形几、梯形几。它们拼在一起是一只蝴蝶展翅的形状，分开后可以拼成正方形、长方形、八边形、S形等复杂的形状。明代的戈汕将蝶翅几创造出了一百多种组合。到了清朝，兼有三角形、正方形、平行四边形的七巧案几问世了，后来人们把它改造成玩具，就是现在的七巧板。那么，怎样才能利用七巧板快速拼出美丽的图案呢？首先，要会观察，观察边与角，发现边与边之间的关系，角与角之间的关系。其次，要根据边与角的特征拼组（见图4）。基于这样的实践活动，教师还可以将其进阶为游戏式实践活动课程（见表1）。基于新课标的相关要求，将数学史融入课堂，开展体验式、实验式、探究式、游戏式实践活动，能促进学生愉悦地学习有温度、有内涵、有情怀的